Problem Set 1 Soluzioni Esercizio 1. Il modello di Blanchard

Problem Set 1
Soluzioni
Esercizio 1. Il modello di Blanchard
Considerate il modello di Blanchard. Le equazioni di partenza sono:
(1)
y = (aq + g
by)
(2)
i = cy
p)
(3)
q
q
h(m
con
1
> 0, a > 0
con h > 0 e c > 0
0 +a1 y
=i
> 0; b
con
q
1
0
dove y rappresenta il reddito, q il valore del mercato azionario, g un indice di
spesa pubblica, i il tasso di interesse nominale a breve, m e p rispettivamente il
logaritmo della quantità nominale di moneta e del livello dei prezzi. Assumiamo
che i prezzi sono …ssi: il tasso di in‡azione atteso ed e¤ettivo saranno entrambi
uguali a zero e, pertanto, il tasso di interesse nominale i e reale r coincidono.
L’equazione (1) rappresenta la dinamica dell’output (guidata dalla domanda
aggregata), la (2) rappresenta l’equilibrio sul mercato monetario e la (3) la condizione di non-arbitraggio fra azioni e titoli a breve.
1. Combinando la condizione di equilibrio sul mercato monetario (2) con la
condizione (3) di non arbitraggio fra azioni e titoli a brave otteniamo:
q
q
= cy
h(m p)
0 +a1 y
q
=)
q = [cy
h(m
p)] q
(
0
+ a1 y)
(4)
L’equazione (4) che descrive la dinamica del valore del marcato azionario e
l’equazione (1) che descrive la dinamica dell’output formano il sistema di equazioni
di¤erenziali ordinarie che descrive l’evoluzione dell’economia nel tempo.
2. Nello stato stazionario (per de…nizione) sia q che y non devono variare nel
tempo. Pertanto, devono essere soddisfatte entrambe le seguenti condizioni:
1
(
q=0
=)
y=0
+ 1y
q = cy 0h(m
p)
y = ab q + 1b g
(5)
(6)
Le equazioni (5) e (6) - dette anche isocline - allorquando sono soddisfatte contemporaneamente de…niscono implicitamente il punto y; q tale per cui y j(y; q ) =
h
i
(a q + g by) = 0 e q j
= cy h(m p) q
0 + a1 y = 0.
y;q
3. Per studiare la dinamica dell’economia occorre linearizzare il sistema in un
intorno dello stato stazionario.
Sia dato un sistema di equazioni di¤erenziali ordinarie:
y 1 (t) = f 1 [y1 (t); y2 (t)]
y 2 (t) = f 2 [y1 (t); y2 (t)]
dove f 1 e f 2 sono funzioni non lineari. L’espansione del prim’ordine di Taylor
in un intorno dello stato stazionario y 1 ; y 2 può essere scritta come:
y 1 + fy12 (y 1 ; y 2 )(y2
y 1 (t) = f 1 y 1 ; y 2 + fy11 (y 1 ; y 2 ) y1
y 2 (t) = f 2 (y 1 ; y 2 ) + fy21 (y 1 ; y 2 )(y1
y 1 ) + fy22 (y 1 ; y 2 )(y2
y 2 ) + R1
y 2 ) + R2
Il termine Ri ; con i = 1; 2 rappresenta il residuo di Taylor. Se il sistema
è su¢ cientemente vicino allo stato stazionario, i residui sono piccoli e possono
essere trascurati. E’ conveniente linearizzare il sistema in un intorno dello stato
stazionario, in quanto per de…nizione di stato stazionario, il primo elemento dell’espansione
di Taylor - f 1 y 1 ; y 2 , f 2 (y 1 ; y 2 ) - è uguale a zero. In altre parole nello stato
stazionario il valore di y i (t) e’uguale a zero per ogni i = 1; 2:
Consideriamo la linearizzazione del nostro sistema dato da:
(
q = [cy h(m p)] q ( 0 + a1 y)
(7)
y = (aq + g by)
(8)
L’espansione di Taylor del prim’ordine della (7) e della (8) in un intorno dello
stato stazionario y; q sarà data rispettivamente da:
2
h
h(m
y = a(q
q)
q = cy
i
_
p) (q q)+(c q
_
ovvero
" # "
q
=
y
b(y
1 )(y
_
y) = i (q q)+(c q
1 )(y
y)
(9)
y)
i
(10)
cq
#"
1
a
b
q
y
_
q
y
#
(11)
Indichiamo con A la matrice dei coe¢ cienti della (11):
4. Condizioni per avere Bad e Good News Case.
Stabiliamo innanzitutto quale condizione ci assicura che siamo nel Bad o nel
Good News Case.
Nel caso Bad News un aumento del reddito y determina una riduzione del valore
dei prezzi di mercato q, ovvero
dq
dy
< 0:Per calcolare tale derivata è possibile utilizzare il teorema della funzione
implicita.
Partendo dalla (5) possiamo de…nire una funzione H(y; q) = 0 :
0+ 1y
cy h(m p)
H=q
dq
dy
dH=dy
dH=dq
=
=
= 0:
=
1 [cy h(m p)] ( 0 + 1 y) c
[cy h(m p)]2
1
1
=
[cy h(m p)] ( 0 +
[cy h(m p)]2
1 y)
c
Il denominatore nella (12) è sempre maggiore di zero. Pertanto
1
[cy
h(m
p)]
(
Dalla (5) notiamo che (
1 [cy
come:
1 [cy
0
+
1 y)
0 + 1 y)
h(m
p)]
(
h(m
p)]
q [cy
0
+
1 y)
dq
dy
< 0 se:
c < 0:
= q [cy
h(m
c<0
h(m
p)] c < 0;
ovvero, in stato stazionario:
1i
(12)
q i c < 0; che per i > 0 implica
3
p)] ; per cui possiamo scrivere:
cq
>0
1
(13)
dq
Se la (13) è soddisfatta (Bad News Case), allora dy
< 0 e l’isoclina q = 0 avrà
inclinazione negativa.
dq
Se vale c q
1 < 0 (Good News Case), allora dy > 0 e l’isoclina q = 0 avrà
inclinazione positiva.
5. Calcoliamo il determinante della matrice A :
_
det(A) =
i b
(c q
1)
a:
Se c q
1 > 0 (Bad News Case), allora det(A) < 0 =)avremo saddle-path
stability. Lo stato stazionario è un punto di sella e la q = 0 avrà inclinazione
negativa.
Se c q
1 < 0 (Good News Case), il det(A) non è necessariamente negativo.
L’assunzione che la q = 0 interseca la y = 0 dal di sopra - garantito dal fatto che
dq
lim dy
jq=0 = 0 per y ! 1 - ci assicura che det(A) < 0: L’equilibrio è ancora un
punto di sella. In questo caso, tuttavia, la q = 0 avrà inclinazione positiva.
In…ne, quando c q
1 < 0, ci potrebbe essere un secondo caso in cui det(A) > 0
e tr(A) > 0 con equilibrio instabile.
6. Il sistema dato dalla (11) è non diagonale.
Operiamo pertanto la seguente trasformazione di variabili:
z1
z2
=P
1
"
q
y
_
q
y
#
(12)
dove P è una matrice con colonne i due autovettori linearmente indipendenti
e1 ed e2 tale che:
P
1
AP =
4
1
0
0
2
dove
1
e
2
sono gli autovalori associati della matrice dei coe¢ cienti A.
Possiamo allora scrivere il seguente sistema diagonale di equazioni di¤erenziali:
" #
z1
=
z2
1
0
0
2
z1
z2
(13)
la cui soluzione è data da:
z1
ke
= 1
k2 e
z2
1t
2t
dove k1 e k2 sono due costanti arbitrarie.
Utilizziamo la (12) per tornare alle nostre funzioni incognite orignarie:
"
_ #
q
q
k e 1t
=)
P 1
= 1 2t
k2 e
y y
"
q
y
(
q
y
_
q
y
#
=P
k1 e
k2 e
_
q = k1 e11 e
y = k1 e21 e
1t
1t
2t
e2
= e1
+ k2 e12 e
t
1
+ k2 e22 e
k1 e
k2 e
1t
2t
=
e11 e12
e21 e22
2t
2t
(14)
Determiniamo l’autovettore e1 associato all’autovalore
Occorre risolvere il seguente sistema:
(A
1 I) e1
=0
Nel nostro caso avremo:
"_
#
e11
0
i
cq
1
1
=
e
0
a
b
21
1
da cui
( _
(i
1 )e11 + (c q
ae11 + ( b
k1 e
k2 e
1 )e21 = 0 =)
)e
1 21 = 0
5
1:
1t
2t
da cui
8
< e =
11
: e =
21
(c q
_
(i
8
>
<
>
:
1)
a
b
(
8
>
< e11 =
>
:
1)
e21
1
e21 (c q
(c q
1)
i
1)
i
(c q
1
1)
1)
b+
a
e1 = m
a
b+
=
1
m
8
>
<
>
:
=)
8
>
<
e11 =
>
: e21 =
(c q
a
b+
=
1)
=)
8e21 = m 6= 0
(
1)
e21
i
(c q
1
1)
(c q
i
1
e21
)
i
1)
b+
a
e11 =
a
b+
=
1
8
>
>
<
1
2 )e12
+ cq
ae12 + ( b
cq
>
>
:
1
_
e12 =
8
<
a
b+
cq
2
1
_
cq
2
_
cq
e2 = n
i
=
1
b+
a
a
b+
2
=)
e22
i
2
e12 =
2
e22 = 0
e12 =
=)
:
)e
=
0
2 22
e22 =
1
e22
i
2
>
>
: e =
22
8
>
>
<
)
1
_
(i
m
8e21 = m 6= 0
1
Analogamente per l’autovettore e2 associato all’autovalore
#
"_
e12
0
i
cq
2
1
=
)
e22
0
a
b
2
(
=)
e21
8e21 = m 6= 0
_
1
1
1)
i
1
i
a
b+
(c q
_
1
(c q
1
e11 =
i
1
_
1
=)
(c q
e11 =
e21
i
a
e
b+ 1 11
e21
a
b+
=
1)
1
e11 =
1)
i
1
_
e21 =
(c q
1
_
i
8
>
>
<
>
>
:
n
8e22 = n 6= 0
cq
e12 =
2
_
e22
e22
2
cq
)
8
<
:
2
1
6
i
1
_
i
=
cq
2
cq
i
1
2
a
b+
e22
a
b+
1
_
1
_
e12
)
2
e12 =
=
avremo:
e22 =)
i
2
2
a
b+
b+
a
2
2
n
8e22 = n 6= 0 =)
Sostituendo e1 e e2 nella (14) possiamo scrivere la soluzione generale in un
intorno dello stato stazionario come:
_
q = K1 ( _b+a 1 ) e 1 t + K2
y y = K 1 e 1 t + K2 e
q
b+
a
2t
e
2
2t
con K1 = mk1 e K2 = nk2 :
7. Ricordiamo che nel Bad News Case e nel Good News Case (sotto alcune
ipotesi) det(A) < 0: Pertanto gli autovalori 1 e 2 associati alla matrice dei
coe¢ cienti A avranno segno opposto. Poniamo 1 < 0 e 2 > 0:
A¢ nchè l’economia si muova sul sentiero di sella dobbiamo imporre la condizione iniziale che K2 = 0:Il comportamento del sistema sarà determinato soltanto
dall’autovalore 1 < 0 ed un equilibrio saddle-path stable sarà raggiunto dall’economia
nel lungo periodo. Se K2 6= 0 il comportamento dell’economia sarebbe determinato
nel lungo periodo dall’autovalore positivo 2 > 0 generando in questo modo una
dinamica esplosiva.
Imponendo la condizione iniziale K2 = 0; avremo che le equazioni di moto sullo
stable arm - cioè sull’unico sentiero saddle - path stable che passa attraverso lo
stato stazionario - saranno:
_
q = _K1 ( b+a 1 ) e
y y = K1 e 1 t
q
1t
_
q
)
q = c1 ( b +
y = c1 a e 1 t
_
y
1)
e
1t
(15)
con c1 =
(16)
K1
a
y y
:
ae 1 t
Dalla (16) ricaviamo c1 =
Sostituendo quest’ultima espressione nella (15) otteniamo:
q
_
q=
y y
(
a
b+
1)
Sappiamo inoltre che
(17)
b+
a
1
=
(c q
1
_
1)
i
sempre negativo (con i > 0) in quanto
Pertanto
: Notate che il denominatore di
(c q
1
1
< 0:
dq
dy
< 0 , cq
1
> 0 (Bad News Case)
dq
dy
> 0 , cq
1
< 0 (Good News Case)
7
1)
i
è
8. Si veda l’articolo di Blanchard "Output, the Stock Market, and Interest
Rates" - paragrafo "A …scal expansion under Fixed Prices"
8
Esercizio 2 – modello di Dornbush
1) Riprendiamo le equazioni del modello:
equilibrio del mercato della moneta
(1)
parità scoperta dei tassi di interesse
(2)
equazione dinamica del livello dei prezzi
(3)
Applichiamo a queste equazioni le ipotesi introdotte:
0
0
Otteniamo quindi:
(1’)
(2’)
(3’)
Abbiamo quindi trovato la prima equazione (3’) che descrive la nostra economia, ossia l’equazione
per il livello dei prezzi, p.
Ora dobbiamo trovare l’equazione che descrive l’andamento del tasso di cambio, e.
Riprendiamo l’equazione (2’):
Il tasso di interesse è quindi uguale al valore atteso della variazione del tasso di cambio nel tempo.
Ma per l’ipotesi di previsione perfetta imposta nel modello, possiamo scrivere che
Da cui
Sostituisco questa nuova condizione nell’equazione (1’), l’equazione dell’equilibrio del mercato della
moneta e ottengo:
Da cui, riscrivendola per il tasso di cambio,
Il nostro sistema è quindi guidato da queste due equazioni:
Linearizziamo il nostro sistema ricavato al punto precedente attorno allo stato stazionario,
0
dove
0.
La linearizzazione (calcolando le derivate prime parziali) ci porta quindi ad ottenere:
1
In forma matriciale può essere riscritto nel modo seguente.
1
0
Dove
1
0
È la nostra matrice dei coefficienti.
Per studiare la stabilità del nostro sistema dobbiamo verificare il segno del determinate di A.
1
0
det
0
Il determinante della nostra matrice è minore di zero e quindi avremo un sistema stabile, con
due radici reali e di segno opposto. Inoltre, il nostro sistema sarà guidato al suo stato
stazionario da un saddle path.
2) Risolvendo il sistema
0
0
Ottenuto imponendo le condizioni di equlibirio, giungiamo alla soluzione generale del sistema data
da
Per derivare l’equazione del saddle path, dobbiamo riprendere gli auto valori e gli auto vettori
del nostro sistema.
Sappiamo che il sistema è governato dalle seguenti equazioni:
Sappiamo che per la stabilità del sistema dobbiamo imporre
0
E quindi otteniamo
Da cui
4 e 5 e 7) consideriamo un aumento anticipato e permanente della quantità di moneta, m.
Al tempo dell’annuncio, in t0, il livello dei prezzi è fissato e quindi la nostra variabile p non può
variare. Inoltre, per la continuity condition, sappiamo che il tasso di cambio non può saltare
istantaneamente. Tuttavia, in t0, gli agenti sanno che aumenterà la quantità di moneta che ridurrà i
tassi di interesse.
Tra t0 e t1 il mio tasso di cambio e inizia gradualmente a deprezzarsi, andando verso il suo nuovo
valore provvisorio e’, ossia il livello del deprezzamento che era stato previsto al momento
dell’annuncio.
Il livello del tasso di cambio e’ è tale da condurre il tasso di cambio sul suo nuovo sentiero di sella.
Infatti, quando l’economia di trova al tempo t1 la politica monetaria precedentemente annunciata
viene implementata e il tasso di cambio è nel suo nuovo stato stazionario, dove ci era stato portato
dal sentiero di sella in cui era incorso in e’.
Rispetto allo stato stazionario prima dell’annuncio, abbiamo un nuovo valore sia dei prezzi che del
tasso di cambio.
L’aumento della quantità di moneta ha generato un deprezzamento del tasso di cambio e ha
generato al momento dell’implementazione della politica monetaria anche una spinta
inflazionistica, per la quale nel nuovo equilibrio abbiamo un livello dei prezzi maggiore al
precedente.
Nel nuovo stato stazionario valgono le medesime condizioni di staticità del sistema:
0
0
6) Se e saltasse immediatamente a e’, questo deprezzamento immediato provocherebbe
istantaneamente infiniti guadagni o infinite perdite in quando la condizione di parità dei tassi di
interesse sarebbe violata.
Subito prima che gli agenti possano prevedere il cambio, gli agenti avrebbero infatti un forte
incentivo a causare una forte variazione in e, ma questo fatto sarebbe in forte violazione delle
aspettative razionali.
L’unico modo per governare il sentiero dell’economia è quello di vietare salti discreti imponendo la
continuity condition.
8) Una volta che la variazione annunciata di politica monetaria è stata implementata, l’economia si
trova nel suo nuovo stato stazionario, come abbiamo visto precedentemente.
In stato stazionario le nostre equazioni dinamiche, e e p, non subiscono più variazioni. Nel nuovo
stato stazionario viene ripristinata la condizione di arbitraggio che era stata provvisoriamente
violata durante la fase di transizione verso il nuovo stato stazionario (ossia tra t0 e t1. La nostra
condizione di parità di interessi prevede che il nostro tasso di interesse domestico sia dato dal tasso
di interesse mondiale e dagli scostamenti (apprezzamenti/deprezzamenti) attesi del tasso di cambio,
in formule
Quando però siamo di nuovo nello stato stazionario, per la perfetta previsione degli eventi futuri,
dobbiamo nuovamente imporre
0
E quindi abbiamo nuovamente che il nostro tasso di interesse domestico è determinato
univocamente dal tasso di interesse mondiale.
9) Commenti alle variazioni delle variabili.
Abbiamo detto che i prezzi sono predeterminati e quindi non possono subire modifiche tra un
periodo e l’altro. Perciò l’unico movimento che fa registrare la nostra p è quello di aumentare solo
nel momento in cui la quantità di moneta viene effettivamente aumentata, ossia in t1.
Abbiamo ipotizzato anche che il livello di produzione sia fisso. Quello che infatti vuole dimostrare
il nostro modello è che shock di politica monetaria possono generare variazioni sulla domanda
aggregata attraverso il tasso di cambio. Nel momento in cui il nostro cambio inizia lentamente a
deprezzarsi (ricordiamo che ciò avviene già al momento dell’annuncio), il nostro tasso di cambio si
sposta in una zona del grafico in cui abbiamo un eccesso di domanda rispetto all’offerta a
disposizione. È quindi necessario che la produzione si adegui al nuovo livello di domanda
aggregata: durante la fase di transizione la nostra produzione è destinata ad aumentare per poi
ridursi gradualmente, all’avvicinarsi del nuovo stato stazionario.
Il nostro tasso di interesse invece inizia a scendere sin dal momento dell’annuncio.
Esercizio 3- Il modello di Dornbush
1) Diminuzione permanente anticipata della quantità di moneta.
Il nostro sentiero di sella, vedere l’esercizio precedente, prima dello shock monetario e durante la
fase di transizione è dato da
Durante la fase di transizione verso in nuovo stato stazionario è
1
∆
Graficamente:
Tra t0 e t1, lo stato stazionario non si sposta, ma la gente sa che da t1 in poi lo stato stazionario si
abbasserà (sia i prezzi che il tasso di cambio saranno più bassi, quindi si avrà un apprezzamento
della moneta).
Dato che gli agenti iniziano a comprare moneta domestica, facendo muovere istantaneamente verso
il basso e, trovandosi al di fuori dello stato stazionario, anche i prezzi inizieranno a muoversi,
decrescendo. In t1, lo stato stazionario dell’economia di sposterà e, grazie all’ipotesi di perfetta
anticipazione, siamo sicuri che l’economia si troverà esattamente sul sentiero di sella che la
riporterà al nuovo stato stazionario. Siccome tale sentiero è inclinato negativamente, in t1 il tasso di
cambio dovrà essere a un livello più basso di quello stazionario. Questo implica un apprezzamento
tra t0 e t1 della moneta domestica e un suo lieve deprezzamento fra t1 e il raggiungimento del nuovo
equilibrio.
2) Diminuzione permanente non anticipata dell’offerta di moneta
Già in t0 il nostro sentiero di sella diventa immediatamente
1
∆
In questo caso l’economia cambia stato stazionario istantaneamente. Per fare ciò, si ha un salto
immediato del tasso di cambio e (apprezzamento istantaneo del tasso di cambio) che consente
all’economia di riportarsi nel nuovo equilibrio. Rispetto a prima, i prezzi si muovono solo una volta
raggiunto il sentiero di sella e quindi l’overshooting è maggiore di prima.
3) Se i prezzi fossero perfettamente flessibili, ci sarebbe una elevata elasticità dei prezzi e quindi
l’overshooting non sarebbe più necessario per riportare il sistema al suo nuovo stato stazionario. In
seguito ad un aumento di m, i tassi di interesse aumenterebbero e il tasso di cambio si
deprezzerebbe meno che proporzionalmente dell’aumento della quantità di moneta. Il processo di
aggiustamento vedrebbe un aumento dei prezzi e un deprezzamento del tasso di cambio