08 estremi - Matematica e Applicazioni

Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod.Analisi
prof. B.Bacchelli a.a. 2010/2011
08- Estremi:
Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 4.1. Esercizi 4.1
Estremi liberi: punti di massimo, di minimo, punti stazionari, punti di
sella, condizioni necessarie, condizioni sufficienti, matrice hessiana, test delle
derivate seconde.
Estremi liberi per funzioni reali di più variabili
Def. Sia f : Rn → R una funzione a valori reali, definita in un dominio
A ⊂ Rn . Si dice che f ha un massimo assoluto (o globale) in un punto
a ∈ A se
f (x) ≤ f (a)
per ogni x in A. Si dice che la funzione f ha un massimo relativo (o
locale) in a se la disuguaglianza f (x) ≤ f (a) è soddisfatta per ogni x in un
intorno U (a) contenuto in A.
Si definiscono in modo analogo i termini minimo assoluto e minimo
relativo usando la disuguaglianza opposta f (x) ≥ f (a).
Def. Si dice estremo di f un punto a che sia un massimo o un minimo,
assoluto o relativo.
Def. Un punto a si dice punto stazionario (o critico) se f è differenziabile in a e vale ∇f (a) = 0. Un punto a stazionario è detto punto di sella
(o colle) se in ogni intorno di a ci sono punti x in cui f (x) < f (a) e altri
in cui f (x) > f (a).
Oss. Per funzioni di due variabili la condizione di stazionarietà ha una
interpretazione geometrica: se a =(a, b) è un punto stazionario, esiste il piano
tangente alla superficie z = f (x, y) nel punto P = (a, b, f (a, b)), di equazione
z = f (a, b), cioè la superficie ha un piano tangente ”orizzontale” (parallelo
al piano xy). Inoltre, se si pensa alla superficie come la superficie (liscia) di
una montagna, i punti stazionari di massimo, minimo e sella corrispondono
rispettivamente alle cime, ai fondi delle valli e ai passi montani.
1
Teorema. Condizioni necessarie per un estremo.
Una funzione f : Rn → R ha un estremo in un punto a del suo dominio
solo se è verificata una delle seguenti condizioni:
(a) a è un punto di frontiera del dominio di f,
(b) a è un punto singolare di f, cioè f non è differenziabile in a,
(c) a è un punto stazionario.
Dim. E’ evidente che un estremo può essere un punto di frontiera o
un punto in cui f non è differenziabile (in realtà neppure continua!). Se a
è un estremo interno al dominio e f è differenziabile in a, allora anche la
restrizione di f alla direzione di un asse cartesiano gi (t) = f (a+tei ) avrà
un estremo in t = 0, punto interno e derivabile, e per il teorema di Darboux (applicato alla restrizione gi ) necessariamente gi0 (0) = 0. Allora, poichè
Di f (a) =gi0 (0) = 0 per ogni i = 1, ..., n, si ha ∇f (a) = 0.
Esempi
p
Sia f (x, y) = x2 + y 2 . Il punto (0, 0) è un minimo assoluto essendo
sempre f (x, y) ≥ 0 = f (0, 0). f non è differenziabile in (0,0) che quindi non
è punto stazionario.
p
Sia f (x, y) = x2 + y 2 − 1. I punti tali che x2 + y 2 − 1 = 0 sono punti di
frontiera e punti di minimo assoluti.
Sia f (x, y) = 3 − x2 − y 2 . Il punto (0, 0) è punto stazionario ed è un
massimo assoluto essendo sempre f (x, y) ≤ 3 = f (0, 0).
½ 2
x + 4, se x2 + y 2 > 1
.
Sia f (x, y) =
0
se x2 + y 2 ≤ 1
I punti {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1} sono punti di minimo. I punti per cui x2 +y 2 <
1 sono stazionari, mentre i punti per cui x2 + y 2 = 1 sono di discontinuità
per f.
Sia f (x, y) = xy. Il punto (0, 0) è punto stazionario ed è una sella essendo
(esclusi gli assi in cui vale zero) f (x, y) < 0 = f (0, 0) nel secondo e quarto
quadrante del piano di definizione di f, f (x, y) > f (0, 0) nel primo e terzo
quadrante .
2
Sia f (x, y) = e−y + x4 + 1. Il punto (0, 0) è punto stazionario ed è una
sella essendo f (0, y) − f (0, 0) < 0 se y 6= 0 e f (x, 0) − f (0, 0) > 0 se x 6= 0.
2
Teorema di Weierstrass (Condizione sufficiente di esistenza).
Se f : K ⊂ Rn → R è definita e continua in un insieme K chiuso e
limitato, allora esistono in K un punto di massimo assoluto e un punto di
minimo assoluto per f .
Esempio
p
Sia f (x, y) = 3 (x − 1)(y 2 − x)
f è continua in R2 , non differenziabile nei punti dell’insieme
C = {(x, y) : x = 1 ∨ x = y 2 } . Il segno del ∆f nei punti di C coincide col
segno della funzione. Pertanto si ha che in ogni intorno di tali punti ∆f
cambia segno, quindi non sono estremi. Inoltre nel chiuso e limitato K =
{(x, y) : y 2 ≤ x ≤ 1} f è continua. Valendo zero nel bordo di K ed essendo
f positiva all’interno di K, allora deve esistere un massimo all’interno di K
per il teorema½di Weierstrass.
½
−(x − 1) + y 2 − x = 0
y=0
∇f = 0 :
⇒
2y = 0
x = 1/2
il punto P = (1/2, 0) ∈ K è il massimo che cercavamo.
Si noti che i punti della frontiera di K sono punti di minimo per la restrizione di f all’insieme K.
Teorema. Test delle derivate seconde per funzioni di due variabili.
Supponiamo che f : R2 → R abbia derivate parziali del secondo ordine
continue in un intorno U (a, b) contenuto nel dominio di f, dove (a,b) è un
punto stazionario di f . Costruita la matrice hessiana (simmetrica)


a2 f
a2 f
(x, y)
(x, y)
 ax2

ayax


H(x, y) = 

a2 f
a2 f
(x, y)
(x,
y)
axay
ay 2
si hanno le seguenti condizioni sufficienti:
a2 f
(a, b) > 0, allora (a, b) è un punto di minimo;
(a) se detH(a, b) > 0 e
ax2
a2 f
(b) se detH(a, b) > 0 e
(a, b) < 0, allora (a, b) è un punto di masax2
simo;
(c) se detH(a, b) < 0 allora (a, b) è un punto di sella.
N.B. Se detH(a, b) = 0, questo test non ci fornisce informazioni sulla
natura del punto stazionario (a, b).
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Per esempio per le funzioni
f (x, y) = x4 + y 4 ,
g(x, y) = −x4 − y 4 ,
h(x, y) = x4 − y 4 ,
il punto P = (0, 0) è stazionario. La matrice hessiana in (0, 0) ha tutti gli
elementi nulli,quindi det H(0, 0) = 0, e (0, 0) è un minimo per f , un massimo
per g e una sella per h (si valuti il segno del ∆f, ∆g e ∆h).
Dim. Scriviamo la formula di Taylor al primo ordine col resto di Lagrange
e centro nel punto stazionario a=(a, b) e incremento h =(h, k) 6= (0, 0): esiste
un θ, 0 < θ < 1 tale che
∆f(a,b) (h, k) := f (a + h, b + k) − f (a, b)
1
= (hD1 + kD2 )2 f (a + θh, b + θk), 0 < θ < 1..
2
Oppure equivalentemente, usando la scrittura vettoriale,
1
∆fa (h) := f (a + h) − f (a)= hT H(a + θh)h, 0 < θ < 1.
2
Poichè le derivate parziali sono continue, se hT H(a)h ha segno costante (non
nullo) per 0 < khk < r, allora anche hT H(a + θh)h per θ piccolo, e quindi
∆fa (h), avrà lo stesso segno di hT H(a)h per khk sufficientemente piccolo e
non nullo.
La espressione hT H(a)h si chiama forma quadratica., di cui quindi
esaminiamo il segno, per khk < r :
1) se il segno di hT H(a)h per khk < r è positivo, a è un minimo (la
forma quadratica è definita positiva);
2) se il segno di hT H(a)h per khk < r è negativo, a è un massimo (la
forma quadratica è definita negatva);
3) se esistono degli h non nulli per cui hT H(a)h >0 e degli h non nulli
per cui hT H(a)h <0, allora a è una sella (la forma quadratica è indefinita).
N.B. Se esistono degli h non nulli per cui hT H(a)h =0, non si può decidere, e questo succede se e solo se il det H(a) = 0.
Per esempio per le funzioni
f (x, y) = x4 + y 4 , g(x, y) = −x4 − y 4 , h(x, y) = x4 − y 4 ,
il punto a = (0, 0) è stazionario e det H(a) = 0, e (0, 0) è minimo per f,
massimo per g e sella per h (si valutino i segni di ∆f , ∆g, ∆h).
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Siano quindi A = fxx (a, b), B = fxy (a, b) e C = fyy (a, b) i valori delle
derivate seconde nel punto. Allora
hT H(a)h = Ah2 + 2Bhk + Ck 2 e det H = A.C − B 2 = −∆
Poichè (h, k) 6= (0, 0), sia per esempio k 6= 0. Posto t = h/k, si ha
Ah2 + 2Bhk + Ck 2 = k 2 (At2 + 2Bt + C).
e distinguiamo tre casi:
i) Se det H > 0, deve essere A.C 6= 0. Ma il discriminante ∆ del trinomio
è negativo poichè ∆/4 = − det H, e quindi il trinomio (e quindi ∆f(a,b) (h, k))
ha il segno di A(6= 0), e sono mostrati i casi (a) e (b).
ii) Se det H < 0 e A.C 6= 0, il discriminante ∆ è ora positivo, e il trinomio
ha segno diverso in quattro regioni delimitate da due rette passanti per (0, 0)
di equazione h = t1 k e h = t2 k. (dove t1 , t2 sono le radici del trinomio).
Quindi (a, b) è sella.
iii) Se det H < 0 e A.C = 0 deve essere B 6= 0, allora ∆f (a, b) =
k
(2Bh + Ck) che ha segno diverso nelle quattro regioni delimitate dalle rette
2
passanti per (0, 0) di equazione k = 0 e 2Bh + Ck = 0, quindi (a, b) è sella..
I casi ii) e iii) mostrano (c), e abbiamo finito.
Esercizi Si vedano nella directory ESERCIZI estremi/ i file
estremi soluzione temi.pdf e esempi critici.pdf
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