Verifica del limite ed esempi

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Verifica del limite ed esempi
Roberto Petroni, 2011
Per verifica del limite si intende la serie di operazioni attraverso le quali è possibile affermare che
un limite dato è esatto oppure no.
Per verificare un limite dato è, quindi, sufficiente seguire i seguenti passi:
1. scrivere, con la f(x) data, la disequazione presente nella definizione di limite considerato, cioè
| f(x) - l | < ε oppure | f(x) | > M o f(x) < − M;
2. risolvere la disequazione;
3. esaminare la soluzione per verificare che si sia ottenuto o meno l’intorno richiesto dal tipo di
limite trattato: I(x0), I(+ ∞) ecc.;
4. concludere che il limite è verificato, in quanto si è effettivamente ottenuto l’intorno dato nella
definizione; concludere che il limite è errato in quanto non si è ottenuto l’intorno previsto.
Esempi
Verranno ora presentati alcuni esempi per ogni tipo di limite considerato precedentemente.
Saranno scelti i casi più semplici possibili, poiché il loro scopo non è quello di sviluppare
un’adeguata tecnica di calcolo (che si può ottenere risolvendo molti esercizi progressivamente più
complicati) ma rinforzare, anche attraverso il calcolo, la comprensione del complesso concetto di
limite.
Es. 1 (limite finito per x che tende ad un valore finito)
Si è trovato un intorno completo di 2, quindi il limite è VERIFICATO.
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Es. 2 (limite destro finito per x che tende ad un valore finito)
La prima delle due disuguaglianze ottenute ( x < 3 + ε) è un intorno destro di 5, quindi il limite è
VERIFICATO.
Si può provare in maniera ugualmente immediata che 5 non è anche il limite sinistro.
lim f(x) = 5
X  3-
In questo caso dobbiamo prendere y = x e non, come prima, y = x + 2, che vale solo per x >3:
Poiché ε deve essere piccolo a piacere il limite è NON VERIFICATO.
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Es. 3 (limite + ∞ per x che tende ad un valore finito x0)
f(x) = 1/(x-1)2;
lim f(x) = + ∞;  1/(x-1)2 > M
X1
l’intervallo trovato è un intorno completo di x = 1, per ogni valore di M (infatti all’aumentare di M
l’intorno si restringe intorno ad 1); quindi il limite è VERIFICATO.
Es. 4 (limite − ∞ per x che tende ad un valore finito x0)
f(x) = − 1/(x-1)2;
lim − 1/(x-1)2 = − ∞;  − 1/(x-1)2 < − M
X1
Ripercorrendo i passaggi dell’es. 3 dimostrare che il limite è VERIFICATO.
Es. 5 (limite finito l per x che tende a − ∞)
f(x) = 1/x;
lim 1/x = 0; 
X−∞
| 1/x − 0| < ε
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Poiché si è ottenuto un intorno di − ∞ il limite è VERIFICATO.
Es. 6 (limite finito l per x che tende a + ∞)
lim 1/x = 0; 
f(x) = 1/x;
X+∞
| 1/x − 0| < ε
Occorre ripetere i passaggi dell’esempio precedente e notare che nella soluzione del sistema vi è
anche un intorno di + ∞, quindi il limite è VERIFICATO.
Es. 7 (limite + ∞ per x che tende a + ∞)
f(x) = 2x – 1;
lim 2x – 1 = + ∞;

2x – 1 > M
X+∞
2x – 1 > M 
2x > M + 1  x > (M + 1) / 2
Essendo M grande a piacere, si è ottenuto un intorno di + ∞, quindi il limite è VERIFICATO.
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Es. 8 (limite – ∞ per x che tende a – ∞)
f(x) = 2x – 1;
lim 2x – 1 = – ∞;
2x – 1 < – M

X-∞
2x – 1 < – M 
2x < – M + 1  x < (– M + 1) / 2
Essendo M grande a piacere, si è ottenuto un intorno di – ∞, quindi il limite è VERIFICATO.
Es. 9 (limite – ∞ per x che tende a + ∞)
lim – 3x +1 = – ∞;
f(x) = – 3x +1;

– 3x +1 < – M
X+∞
– 3x +1 < – M
– 3x < – M – 1  3x > M + 1


x > (M + 1) / 3
Essendo M grande a piacere, si è ottenuto un intorno di + ∞, quindi il limite è VERIFICATO.
Es. 10 (limite + ∞ per x che tende a – ∞)
lim – 3x +1 = + ∞;
f(x) = – 3x +1;

– 3x +1 > M
X-∞
– 3x +1 > M

– 3x > M – 1  3x < – M + 1

x < (– M + 1) / 3
Essendo M grande a piacere, si è ottenuto un intorno di – ∞, quindi il limite è VERIFICATO.
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