L`analisi degli spostamenti dei pendii secondo l`EC8 e la Normativa

Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica 2006 - IARG 2006
Pisa, 26-28 Giugno 2006
EQUIVALENZA TRA ANALISI PSEUDO-STATICA E METODO
DEGLI SPOSTAMENTI
Giovanni Biondi(1), Ernesto Cascone(2), Michele Maugeri(1)
(1)
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Università di Catania
(2)
Dipartimento di Ingegneria Civile, Università di Messina
Sommario
La nota descrive una procedura per la definizione di un’equivalenza tra approccio pseudo-statico e
analisi degli spostamenti permanenti per i pendii soggetti ad azione sismica. La procedura consente di
definire un valore del coefficiente sismico equivalente con il quale i due metodi di analisi forniscono lo
stesso fattore di sicurezza e di valutare le condizioni di stabilità in termini di ammissibilità degli
spostamenti rispetto al raggiungimento di uno stato limite del pendio.
Introduzione
Nell’analisi pseudo-statica gli effetti di un evento sismico su un pendio sono rappresentati
mediante un’azione statica equivalente. L’analisi consiste nel valutare un fattore di sicurezza
pseudo-statico FPSD introducendo le componenti orizzontale keq,H e verticale keq,V del
coefficiente sismico equivalente: keq,H è generalmente scelta come aliquota ηH della
componente orizzontale della massima accelerazione sismica attesa al sito kMax,H; keq,V è,
invece, assunta pari ad una frazione di keq,H funzione delle caratteristiche dell’evento sismico
di riferimento. La recente O.P.C.M. 3274/2003, per esempio, assume keq,H=0.5⋅kmax,H (ηH=0.5)
e keq,V=±0.5⋅keq,H.
Nello spirito del metodo keq,H, rappresenta un parametro mediante il quale sintetizzare gli
effetti dell’azione sismica; poiché questi dipendono dalle caratteristiche dell’evento sismico e
del pendio, una corretta scelta di keq,H dovrebbe tenere conto di entrambi questi aspetti.
Pertanto, ηH non può assumere un valore costante e indipendente dalle caratteristiche
dell’evento sismico e la sua scelta deve dipendere da un parametro che ne descriva gli effetti
sul pendio. Assumendo, per esempio, che gli spostamenti permanenti rappresentino una valida
stima degli effetti del sisma, è lecito ipotizzare che la scelta di keq,H (o di ηH), debba dipendere
sia dalle caratteristiche dell’accelerogramma considerato sia da un parametro, quale il
rapporto tra kMax,H e la componente orizzontale dell’accelerazione critica del pendio kc,H, che
sintetizza la suscettibilità del pendio a subire spostamenti permanenti.
La necessità di definire keq,H in relazione ad un parametro che descriva gli effetti del sisma è
schematicamente descritta nella Figura 1(a,b); la figura mostra due accelerogrammi che
presentano la stessa accelerazione massima ai quali, pertanto, corrisponderebbe lo stesso
valore di keq,H; tuttavia, le evidenti differenze nel contenuto in frequenza, energia e durata
lasciano prevedere effetti molto differenti a cui devono corrispondere differenti valori di keq,H.
D’altra parte, assumere keq,H pari ad una frazione della massima accelerazione sismica attesa
non esclude a priori la possibile insorgenza di spostamenti permanenti del pendio anche nel
caso in cui la verifica pseudo-statica è soddisfatta; viceversa, una verifica pseudo-statica non
soddisfatta non necessariamente implica l’insorgenza di spostamenti permanenti non
tollerabili dal pendio. Nel caso in cui risulti FPSD=1 (Figura 2a), keq,H è pari a kc,H (per
definizione di kc,H) e, risulta kc,H=keq,H<kMax,H il che implica l’insorgenza di spostamenti
Giovanni Biondi, Ernesto Cascone, Michele Maugeri
Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica 2006 - IARG 2006
Pisa, 26-28 Giugno 2006
permanenti. Nel caso FPSD>1 deve essere keq,H<kc,H e poiché è anche keq,H<kMax,H possono
insorgere (Figura 2b) o meno (Figura 2c) spostamenti permanenti in relazione al valore del
rapporto kc,H/kMax,H. Nel caso, infine, FPSD<1 (Figura 1c,d) deve essere keq,H>kc,H e poiché è
anche keq,H<kMax,H risulta certamente kc,H <kMax,H; in tal caso, nonostante la verifica pseudostatica non sia soddisfatta, l’entità degli spostamenti permanenti (che certamente insorgono)
potrebbe non essere tale da alterare la stabilità o la funzionalità del pendio; tale evenienza
dipende dalle caratteristiche dell’accelerogramma e dal rapporto kc,H /kMax,H e può valutarsi
solo introducendo una soglia limite dLim dello spostamento che definisce la perdita di
funzionalità (stato limite di esercizio) o il collasso (stato limite ultimo) del pendio o delle
infrastrutture interessate dall’eventuale frana. In tale contesto, la scelta di keq,H (o di ηH),
intesa come definizione di un parametro che sintetizzi gli effetti dell’azione sismica, deve
necessariamente tenere conto di kc,H, kMax,H e dLim.
Fattore di sicurezza in termini di spostamenti e di accelerazione
Detto dMax il massimo valore dello spostamento permanente, valutato per un evento sismico di
riferimento, una misura del margine di sicurezza nei confronti del raggiungimento di uno stato
limite definito dal valore dLim è il seguente fattore di sicurezza: Fd =dLim/dMax. Valori di Fd
superiori all’unità (dLim>dMax) indicano che la verifica è soddisfatta in quanto il valore
massimo dello spostamento permanente è inferiore al valore per il quale si incorre in uno stato
limite. L’equivalenza con il metodo pseudo-statico potrebbe essere definita individuando un
valore keq,H in corrispondenza del quale il fattore di sicurezza pseudo-statico FPSD è pari ad Fd.
Tuttavia la definizione di Fd non consente di conseguire tale equivalenza, infatti, (i) se si
volesse verificare il pendio fissando dLim=0 risulterebbe Fd=0 indipendentemente da dMax;
(ii) per pendii che non manifestano spostamenti permanenti (dMax=0), Fd diverge senza fornire
una misura finita della sicurezza rispetto al raggiungimento di uno stato limite.
Per superare tali limitazioni è necessario introdurre una misura alternativa delle condizioni di
stabilità. A tal fine è necessario disporre di una relazione che definisca un legame tra kc,H, dMax
e kMax,H; la Figura 3a mostra alcune delle relazioni disponibili in letteratura. Nota la relazione
tra dMax, kc,H e kMax,H, per un dato valore di kc,H è possibile fissare un valore limite dLim dello
spostamento e determinare il corrispondente valore kLim,H di accelerazione massima. Per come
è stato introdotto kLim,H rappresenta un valore generalizzato dell’accelerazione critica del
pendio intesa non più come il valore dell’accelerazione al di sotto della quale non si
manifestano spostamenti permanenti ma come il valore dell’accelerazione sismica al di sotto
della quale non si supera una fissata soglia limite di spostamento. Se la soglia è pari a zero
(dLim=0) risulta kLim,H=kc,H e kLim,H assume il tradizionale significato di accelerazione critica
introdotto da Newmark. Facendo riferimento ad esempio ad una relazione tra dMax, kc,H e
kMax,H che presenta una formulazione analitica del tipo log d Max = A − B ⋅ kc,H k Max,H , la
relazione che definisce kLim,H assume la forma: k Lim,H = (B ⋅ kc,H ) ( A − log d Lim ) .
La Figura 3b mostra i valori del rapporto kLim,H/kc,H valutati utilizzando le relazioni definite in
Figura 3a. In tal modo, un fattore di sicurezza di significato analogo a Fd può essere definito
in termini di livelli di accelerazioni nella forma: Fk = k Lim,H k Max,H rappresentando il rapporto
tra la massima accelerazione tollerabile dal pendio (perché riferita allo stato limite individuato
da dLim) e la massima accelerazione attesa al sito. Poiché kLim,H e kMax,H rappresentano
l’accelerazione massima correlata rispettivamente a dLim e dMax, Fk ha lo stesso significato di
Fd ovvero rappresenta una misura della sicurezza nei confronti del raggiungimento di uno
stato limite del pendio. Tale misura è espressa, però, in termini di livelli di accelerazione
piuttosto che in termini di spostamento. Valori di Fk superiori all’unità (kLim,H>kMax,H) indicano
che la verifica è soddisfatta in quanto l’accelerazione massima attesa al sito kMax,H (che
produrrebbe lo spostamento dMax) è inferiore al valore kLim,H valutato in corrispondenza della
Giovanni Biondi, Ernesto Cascone, Michele Maugeri
Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica 2006 - IARG 2006
Pisa, 26-28 Giugno 2006
soglia di spostamento dLim. In sintesi se kLim,H>kMax,H risulta dLim>dMax.
A differenza di Fd, Fk fornisce in tutti i casi una misura finita delle condizioni di sicurezza del
pendio. In particolare se per la verifica si assume dLim=0, poiché risulta kLim=kc, Fk assume il
valore Fk=kc,H/kMax,H; nel caso, invece, in cui il pendio non manifesti spostamenti permanenti
(dMax=0) Fk assume un valore finito sempre maggiore o uguale al rapporto kLim,H/kc,H.
Definizione dell’equivalenza
L’equivalenza tra il metodo degli spostamenti e il metodo pseudo-statico può essere definita
individuando un valore del coefficiente sismico equivalente keq,H per il quale il fattore di
sicurezza pseudo-statico FPSD risulti pari al fattore di sicurezza Fk.
Con riferimento allo schema di pendio indefinito, dall’espressione di FPSD è possibile
determinare l’espressione di keq,H imponendo la condizione: FPSD(keq,H)=Fk:
 c'

k
+ cos β ⋅ tan φ'* − Lim,H ⋅ senβ
keq,H = 
k Max,H
 γ ⋅ D

 senβ *
k
cos β * 
⋅ tan φ'+ Lim,H ⋅


k Max,H cos ω 
 cos ω
(1)
Nell’eq.(1) i simboli hanno il consueto significato, β*=β+ω essendo ω l’angolo individuato
dalle componenti del coefficiente sismico (tan ω=kmax,V/kmax,H) e φ’* è il valore dell’angolo di
resistenza al taglio modificato per tenere conto delle condizioni idrauliche del pendio,
attraverso il coefficiente di pressione interstiziale ru e il rapporto di pressione interstiziale ∆u*
indotta dal sisma: tan φ'* = tan φ'⋅(1 − ru ) ⋅ (1 − ∆u *) . L’eq.(1) mostra che il valore del
coefficiente sismico equivalente con cui effettuare la verifica pseudo-statica è funzione delle
condizioni di stabilità statica del pendio (c’, φ', γ, β, D, ru), degli effetti indotti dal sisma
(kMax,H, ω, ∆u*) e del valore limite dello spostamento dLim (attraverso kLim,H). La Figura 4a)
mostra i valori del rapporto ηH=keq,H/kmax,H valutati, per il caso c’=0, φ'=30°, ru=0, β=15° e
∆u*=0, per differenti valori di kmax,H e dLim e per kmax,V/kmax,H=0.5. Nel diagramma è anche
riportata la curva kc,H/kmax,H che, per ogni valore di dLim, individua il valore massimo
dell’accelerazione tollerabile dal pendio kLim,H e, di conseguenza, il limite oltre il quale la
verifica in termini di spostamenti non è più soddisfatta. Per un fissato valore di kmax,H, keq,H
diminuisce al crescere della soglia dLim; viceversa, per un fissato dLim, keq,H cresce al crescere
di kmax,H. La verifica del pendio in termini di spostamenti può essere effettuata verificando che
risulti kLim,H>kmax,H e il corrispondente fattore di sicurezza pseudo-statico può essere valutato
mediante il valore keq,H del coefficiente sismico. La Figura 4b, per lo stesso schema di Figura
4a, mostra l’influenza del rapporto kmax,V/kmax,H sulla definizione dell’equivalenza e sulla
verifica del pendio in termini di ammissibilità degli spostamenti.
Considerazioni conclusive
La procedura di analisi proposta consente di determinare un valore del coefficiente sismico
equivalente da utilizzare nelle analisi pseudo-statiche dei pendii attraverso una procedura
razionale che stabilisce un’equivalenza con il metodo degli spostamenti. Introducendo il
concetto di accelerazione critica generalizzata e un fattore di sicurezza in termini di livelli di
accelerazione, il coefficiente sismico equivalente risulta funzione delle caratteristiche del
pendio, delle caratteristiche dell’evento sismico e dell’entità degli spostamenti permanenti che
il pendio può tollerare senza incorrere in uno stato limite ultimo o di servizio.
Ringraziamenti
Il presente lavoro è stato svolto nell’ambito del Progetto esecutivo 2005–2008 (Attuazione Accordo di
Programma Quadro DPC-Reluis del 15 Marzo 2005), Progetto di ricerca N. 6 “Metodi innovativi per
la progettazione di opere di sostegno e la valutazione della stabilità dei pendii”, linea di ricerca 6.3
“Stabilità dei pendii”, coord. Prof. S. Rampello.
Giovanni Biondi, Ernesto Cascone, Michele Maugeri
Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica 2006 - IARG 2006
Pisa, 26-28 Giugno 2006
kmax,H=0.358
kmax,H=0.366
kmax,H
kmax,H
keq,H
kc,H
keq,H
keq,H
kc,H
k H(t)
k H(t)
keq,H
5
10
Northridge (USA,1994)
(Hollywood Storage)
b)
15
5
10
t (sec)
15
20
25
kmax,H > keq,H > kc,H
F PSD <1
Spostamenti: SI
c)
30
0
5
t (sec)
10
kmax,H> keq,H> kc,H
FPSD<1
Spostamenti : SI
d)
15
5
10
t (sec)
15
20
25
30
t (sec)
Figura 1. a,b) Dipendenza di keq dagli effetti indotti; c,d)Dipendenza di keq dal rapporto kc/kmax.
kmax,H
kmax,H
kc,H
kmax,H
kc,H
kc,H=keq,H
keq,H
k H(t)
keq,H
kmax,H>keq,H=kc,H
FPSD=1
Spostamenti : SI
a)
0
5
10
15
20
kmax,H>kc,H>keq,H
FPSD>1
Spostamenti : SI
b)
25
30
5
10
t (sec)
15
20
25
kc,H>kmax,H>keq,H
FPSD>1
Spostamenti : NO
c)
30
5
10
t (sec)
15
20
25
t (sec)
Figura 2. Relazioni tra analisi pseudo-statica e analisi degli spostamenti permanenti.
1000
5
Simonelli (1993)
Simonelli & Viggiani (1995)
Romeo (1999)
k Lim,H/k c,H
I a =10 m/s
10
I a =2.5 m/s
I a =2.5 m/s
3
I a =0.5 m/s
2
I a =10 m/s
I a =0.5 m/s
1
0.1
Simonelli (1993)
Simonelli & Viggiani (1995)
Romeo (1999)
4
100
d Max (cm)
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
k c/k max
1
0
0.1
1
10
d Lim (cm)
100
Figura 3. a) Metodi semplificati per l’analisi degli spostamenti e b) corrispondenti definizioni della soglia kLim,H.
1
Li
m
=5
0.5
cm
dL
im
0.6
0
=1
d
0.4
dL
0.3
im
0.2
0
cm
m
5c
=2
d Lim
a)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
k V/k H=+1/2
0.7
k V/k H=0
0.6
k V/k H=-1/2
0.5
0.4
0.3
cm
= 50
d Lim
0.1
0.8
k c,H/k max,H
φ'=30, c'=0, β=15°
r u=0, ∆u*=0
d Lim=5cm
k c,H/k max,H
0.9
k eq,H/k max,H
0.7
=1 c
m
0.1 cm
0.8
1
φ'=30, β=15°, c'=0
r u =0 , ∆u*=0
k max,v/k max,H=1/2
0.9
dLim =
0
k eq,H/k max,H
a)
Imperial Valley
USA (1979)
(El Centro #6)
0.5
k V/k H=-1/2
k V/k H=0
0.2
0 cm
= 10
d Lim
0.6
0.7
k max,H
0.1
0
k V/k H=+1/2
b)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
k max,H
Figura 4. Influenza della soglia dLim (a) e del rapporto kmax,V/kmax,H (b) sul coefficiente sismico equivalente keq.
Giovanni Biondi, Ernesto Cascone, Michele Maugeri
0.7
30