1 Equazioni differenziali

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E quazioni differenziali
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Probabilmente la più importante tra le applicazioni del
calcolo infinitesimale è quella alle equazioni differenziali. Quando gli scienziati delle scienze fisiche o sociali
usano il calcolo, molto spesso lo scopo è di analizzare
un’equazione differenziale sorta dalla descrizione,
1.1
mediante un modello, di qualche fenomeno oggetto di
studio. Anche se è spesso impossibile dare una formula
esplicita della soluzione di un’equazione differenziale,
vedremo che con un approccio grafico o numerico si
possono ottenere tutte le informazioni necessarie.
Modellizzare con le equazioni differenziali
●
●
●
●
●
●
●
●
Nel presentare, nel volume Funzioni di una variabile, Paragrafo 1.2, il processo di
modellizzazione, abbiamo parlato di come si può costruire un modello matematico per
descrivere un problema del mondo fisico attraverso un ragionamento intuitivo sul fenomeno, o a partire da una legge fisica basata sull’evidenza sperimentale. Il modello matematico spesso prende la forma di un’equazione differenziale, cioè di un’equazione che
contiene una funzione incognita e alcune delle sue derivate. Questo non è sorprendente,
perché in un problema concreto notiamo spesso il verificarsi di cambiamenti e vogliamo
poter predire il comportamento futuro sulla base delle variazioni dei valori attuali.
Iniziamo esaminando alcuni esempi di come nascono le equazioni differenziali
nella modellizzazione di un fenomeno fisico.
Modelli di crescita delle popolazioni
Uno dei modelli di crescita delle popolazioni si basa sull’ipotesi che queste ultime crescano a un tasso proporzionale al numero di individui. Tale ipotesi è ragionevole per
popolazioni di batteri o di animali in condizioni ideali (ambiente illimitato, nutrimento
adeguato, assenza di predatori, immunità dalle malattie).
Identifichiamo ed elenchiamo le variabili di questo modello:
t tempo variabile indipendente
P numero di individui della popolazione variabile dipendente
Il tasso di crescita della popolazione è la derivata dP/dt. La nostra ipotesi che il tasso
di crescita della popolazione sia proporzionale alla popolazione stessa si traduce
quindi nell’equazione
dP
kP
1
dt
dove k è la costante di proporzionalità. L’Equazione 1 è il nostro primo modello di crescita di una popolazione; è un’equazione differenziale perché contiene una funzione
incognita P e la sua derivata dP/dt.
Dopo aver formulato un modello, studiamone le conseguenze. Se escludiamo una
popolazione di zero individui, allora P(t) > 0 per ogni t. Se k > 0, allora l’Equazione
1 mostra che Pt 0 per ogni t. Questo significa che la popolazione è sempre crescente. Di fatto, al crescere di P(t), dP/dt diventa sempre maggiore. In altre parole, il
tasso di crescita aumenta al crescere della popolazione.
3
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Proviamo a immaginare una soluzione dell’Equazione 1. È necessario trovare una
funzione la cui derivata sia un multiplo della funzione stessa. Sappiamo che le funzioni esponenziali hanno questa proprietà. Infatti, se poniamo Pt Ce kt, allora
P
Pt Cke kt kCe kt kPt
t
FIGURA 1
La famiglia di soluzioni di dP/dt=kP
P
0
t
Dunque una qualunque funzione esponenziale nella forma Pt Ce kt è soluzione
dell’Equazione 1. Quando studieremo questa equazione in dettaglio nel Paragrafo 1.4,
vedremo che non esistono altre soluzioni.
Lasciando variare C tra tutti i numeri reali, otteniamo la famiglia di soluzioni
Pt Ce kt i cui grafici sono mostrati in Figura 1. Le popolazioni, però, assumono solo
valori positivi, quindi consideriamo solo C > 0. Probabilmente, poi, ci interessano solo
valori di t maggiori dell’istante iniziale t = 0. In Figura 2 sono disegnate alcune soluzioni che hanno un significato fisico. Ponendo t = 0, otteniamo P0 Ce k0 C, da
cui vediamo che la costante C rappresenta il valore della popolazione iniziale, P0.
L’Equazione 1 è appropriata per lo studio della crescita di una popolazione in condizioni ideali, ma dobbiamo riconoscere che un modello più realistico dovrebbe tenere
conto che un dato ambiente ha risorse limitate. Molte popolazioni cominciano a crescere in maniera esponenziale, ma il livello della popolazione non oltrepassa la capacità dell’ambiente K (o decresce verso K se a un certo istante è superiore a K). Per un
modello che tenga conto di questi fenomeni, introduciamo due ipotesi:
dP
kP se P è piccola (Inizialmente il tasso di crescita è proporzionale a P.)
dt
dP
■
0 se P K (P decresce se a un certo istante è superiore a K.)
dt
Una semplice espressione che incorpora entrambe le ipotesi è data dall’equazione
■
FIGURA 2
La famiglia di soluzioni di P(t)=Ce kt
con C>0 e t˘0
2
dP
P
kP 1 dt
K
Si noti che se P è piccola rispetto a K, allora P/K è vicino a 0 e dunque dPdt kP.
Se P > K allora 1 – P/K è negativo e risulta dP/dt < 0.
L’Equazione 2 è detta equazione differenziale logistica; fu proposta dal matematico
tedesco Verhulst negli anni Quaranta del diciannovesimo secolo come modello per
studiare la crescita della popolazione mondiale. Nel Paragrafo 1.5 studieremo delle
tecniche che ci permetteranno di ricavare esplicitamente le soluzioni dell’equazione
logistica, ma per ora possiamo dedurre alcune caratteristiche qualitative delle soluzioni direttamente dall’Equazione 2.
Osserviamo innanzitutto che le funzioni costanti Pt 0 e Pt K sono soluP
zioni perché, in entrambi i casi, uno dei fattori a destra nell’Equazione 2 è zero. (Ciò
ha senza dubbio significato fisico: se la popolazione è 0 oppure ha il valore della capacità dell’ambiente, allora non cambia.) Queste due soluzioni costanti sono chiamate
P =K
soluzioni di equilibrio.
Se la popolazione iniziale P(0) si trova tra 0 e K, allora il termine a destra
nell’Equazione 2 è positivo, dunque dP/dt > 0 e la popolazione cresce. Ma se la poposoluzioni
lazione ha un valore maggiore della capacità dell’ambiente (P > K), allora 1 – P/K è
di equilibrio
negativo e risulta dP/dt < 0: la popolazione decresce. Notiamo che, in entrambi i casi,
se la popolazione si avvicina alla capacità dell’ambiente P l K, allora dPdt l 0,
P =0
0
t cioè la popolazione tende a stabilizzarsi. Dunque ci aspettiamo che le soluzioni dell’equazione logistica abbiano grafici del tipo illustrato in Figura 3. Si noti che i grafici si
allontanano dalla soluzione di equilibrio P = 0 e si muovono verso la soluzione di equiFIGURA 3
librio P = K.
Soluzioni dell’equazione logistica
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PARAGRAFO 1.1 MODELLIZZARE CON LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
◆
5
Un modello per il moto di una molla
m
Studiamo ora un esempio di modello tratto dalla fisica. Consideriamo il moto di un
oggetto di massa m appeso all’estremità di una molla verticale (Figura 4). Nel volume
Funzioni di una variabile, Paragrafo 6.5, abbiamo discusso la legge di Hooke, che
afferma che se la molla viene allungata (o compressa) di x unità rispetto alla sua lunghezza naturale, allora essa esercita una forza che è proporzionale a x:
posizione di 0
equilibrio
x
x
forza di richiamo kx
m
dove k è una costante positiva (detta costante di elasticità della molla). Se trascuriamo
l’effetto di ogni forza resistiva esterna (dovuta all’aria o all’attrito), allora, per la
seconda legge di Newton (forza uguale massa per accelerazione), abbiamo
FIGURA 4
3
m
d 2x
kx
dt 2
Questo è un esempio di equazione differenziale di secondo ordine, perché coinvolge
derivate seconde. Vediamo cosa possiamo capire della soluzione direttamente dall’equazione. Possiamo riscrivere quest’ultima come
d 2x
k
x
dt 2
m
cioè: la derivata seconda di x è proporzionale a x ma ha segno opposto a x.
Conosciamo due funzioni che hanno questa proprietà, le funzioni seno e coseno. In
effetti, tutte le soluzioni dell’Equazione 3 si possono scrivere come combinazione di
determinate funzioni seno e coseno (si veda l’Esercizio 3). Ciò non è sorprendente; ci
aspettiamo che la molla oscilli intorno alla sua posizione di equilibrio, dunque è naturale pensare che le funzioni trigonometriche siano coinvolte.
Equazioni differenziali generali
In generale, un’equazione differenziale è un’equazione che contiene una funzione
incognita e una o più delle sue derivate. Si dice ordine dell’equazione differenziale
l’ordine della più alta derivata che compare nell’equazione. Per esempio, le Equazioni
1 e 2 sono equazioni del primo ordine e l’Equazione 3 è un’equazione del secondo
ordine. In tutti e tre i casi citati la variabile indipendente è chiamata t e rappresenta il
tempo, ma in generale la variabile indipendente non deve necessariamente essere il
tempo. Per esempio, quando consideriamo l’equazione differenziale
4
y xy
intendiamo che y è una funzione incognita nella variabile x.
Una funzione f si chiama soluzione dell’equazione differenziale se l’equazione è
verificata ponendo y f x e sostituendo le sue derivate nell’equazione. Così, f è una
soluzione dell’Equazione 4 se
f x xf x
per tutti i valori di x in un certo intervallo.
Quando è richiesto di risolvere un’equazione differenziale, è necessario trovare
tutte le possibili soluzioni dell’equazione.
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Abbiamo già risolto alcune semplici equazioni differenziali, cioè quelle nella forma
y f x
Per esempio, sappiamo che la soluzione generale dell’equazione differenziale
y x 3
y
è data da
x4
C
4
dove C è una costante arbitraria.
Tuttavia, in generale, risolvere un’equazione differenziale non è così facile. Non
esiste una tecnica sistematica di risoluzione. A ogni modo nel Paragrafo 1.2 vedremo
come disegnare grafici qualitativi delle soluzioni anche senza avere una formula esplicita. Impareremo inoltre a trovare approssimazioni numeriche delle soluzioni.
ESEMPIO 1
Mostrare che ogni elemento della famiglia di funzioni
y
1 ce t
1 ce t
è soluzione dell’equazione differenziale y 12 y 2 1.
SOLUZIONE Usiamo la Regola del Quoziente per derivare l’espressione di y:
▲ La Figura 5 mostra i grafici di sette
1 ce t ce t 1 ce t ce t 1 ce t 2
ce t c 2e 2t ce t c 2e 2t
2ce t
t 2
1 ce 1 ce t 2
y membri della famiglia dell’Esempio 1. L’equazione differenziale mostra che se
y 1, allora y 0. Ciò deriva dal
fatto che i grafici si appiattiscono vicino a
y 1 e y 1.
Il termine di destra nell’equazione differenziale diventa
5
1
2
_5
y 2 1 5
_5
FIGURA 5
1
2
1 ce t
1 ce t
2
1 1
2
1 ce t 2 1 ce t 2
1 ce t 2
4ce t
1
2ce t
t 2 2 1 ce 1 ce t 2
Perciò, per ogni valore di c, la funzione data è soluzione dell’equazione differenziale.
Quando usiamo le equazioni differenziali, di solito non ci interessa trovare tutte le
soluzioni (la soluzione generale); piuttosto, vogliamo trovare una soluzione che verifichi alcune particolari proprietà. In molti problemi fisici si cerca la soluzione particolare che soddisfi una condizione del tipo yt0 y0 . Questa si chiama condizione
iniziale, e il problema di trovare una soluzione di un’equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale si chiama problema ai valori iniziali.
Geometricamente, quando imponiamo una condizione iniziale, guardiamo le curve
della famiglia di soluzioni e scegliamo quella che passa per il punto t0 , y0 . Fisicamente
questo significa misurare lo stato del sistema al tempo t0 e poi usare la soluzione del
problema ai valori iniziali per prevedere il comportamento futuro del sistema.
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PARAGRAFO 1.1 MODELLIZZARE CON LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
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◆
Trovare una soluzione dell’equazione differenziale y 12 y 2 1 che
soddisfi la condizione iniziale y0 2.
ESEMPIO 2
SOLUZIONE Sostituendo i valori t 0 e y 2 nella formula
y
1 ce t
1 ce t
dall’Esempio 1, otteniamo
2
1 ce 0
1c
0 1 ce
1c
Risolvendo questa equazione rispetto a c, si ha 2 2c 1 c, che dà c 13 . Dunque la soluzione del problema ai valori iniziali è
y
1.1
Esercizi
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1. Mostrare che y x x 1 è soluzione dell’equazione diffe-
blema ai valori iniziali
y0 1
nell’intervallo 2 x 2.
3. (a) Per quali valori di k non nullo la funzione y sin kt sod-
disfa l’equazione differenziale y 9y 0 ?
(b) Per questi valori di k verificare che ogni elemento della
famiglia di funzioni
4. Per quali valori di r la funzione y e rt soddisfa l’equazione
differenziale y y 6y 0?
x 22
;
è soluzione dell’equazione differenziale
y Ce
y xy.
(b) Illustrare la parte (a) disegnando alcuni elementi della
famiglia di soluzioni su una schermata comune.
(c) Trovare una soluzione dell’equazione differenziale
y xy che soddisfi la condizione iniziale y0 5.
(d) Trovare una soluzione dell’equazione differenziale
y xy che soddisfi la condizione iniziale y1 2.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
y0 0.5
8. (a) Cosa si può dedurre sul grafico delle soluzioni dell’equa-
è soluzione dell’equazione data.
6. (a) Dimostrare che ogni elemento della famiglia di funzioni
●
y y 2
y A sin kt B cos kt
ferenziale y 2y y 0?
(a) y e t
(b) y e t
(c) y te t
(d) y t 2e t
●
y y 2 direttamente dall’equazione?
(b) Verificare che ogni elemento della famiglia di funzioni
y 1x C è soluzione dell’equazione differenziale
in (a).
(c) È possibile immaginare una soluzione dell’equazione differenziale y y 2 che non appartenga alla famiglia di
funzioni in (b)?
(d) Trovare una soluzione del problema ai valori iniziali
2. Verificare che y sin x cos x cos x è soluzione del pro-
5. Quale delle funzioni seguenti è soluzione dell’equazione dif-
●
7. (a) Cosa si può dedurre sulle soluzioni dell’equazione
renziale xy y 2x.
y tan xy cos2 x
●
1 13 e t
3 et
1 13 e t
3 et
;
zione y xy 3 quando x è vicina a 0? E quando x è
grande?
(b) Verificare che ogni elemento della famiglia di funzioni
y c x 2 12 è soluzione dell’equazione differenziale
y xy 3.
(c) Disegnare alcuni elementi della famiglia di soluzioni su
una schermata comune. I grafici confermano le previsioni
fatte in (a)?
(d) Trovare una soluzione del problema ai valori iniziali
y xy 3
y0 2
9. Una popolazione è modellizzata dall’equazione differenziale
dP
P
1.2P 1 dt
4200
(a) Per quali valori di P la popolazione è crescente?
(b) Per quali valori di P la popolazione è decrescente?
(c) Quali sono le soluzioni di equilibrio?
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
10. Una funzione yt soddisfa l’equazione differenziale
13. Gli psicologi interessati alle teorie sull’apprendimento stu-
diano le curve di apprendimento. Una curva di apprendimento è il grafico di una funzione Pt, la prestazione di un
individuo che acquista una certa abilità in funzione del tempo
t. La derivata dP/dt rappresenta la velocità alla quale migliora
la prestazione.
(a) Formulare un’ipotesi su quando P cresce più rapidamente. Cosa succede a dP/dt al crescere di t? Spiegare.
(b) Se M è il massimo livello di prestazione di cui il soggetto
è capace, spiegare perché l’equazione differenziale
dy
y 4 6y 3 5y 2
dt
(a) Quali sono le soluzioni costanti dell’equazione?
(b) Per quali valori di y la popolazione è crescente?
(c) Per quali valori di y la popolazione è decrescente?
11. Spiegare perché le funzioni disegnate in figura non possono
essere soluzioni dell’equazione differenziale
dy
e t y 12
dt
y
dP
kM P
dt
y
1
k costante positiva
è un modello ragionevole per l’apprendimento.
(c) Tracciare il grafico qualitativo di una possibile soluzione
di questa equazione differenziale.
1
14. Si supponga di avere versato una tazza di caffè appena fatto
t
1
1
a una temperatura di 95 °C in una stanza dove la temperatura
è di 20 °C.
(a) Formulare un’ipotesi sul momento in cui il caffè si raffredda più rapidamente. Cosa succede alla velocità di raffreddamento al crescere di t? Spiegare.
(b) La legge di raffreddamento di Newton afferma che la
velocità di raffreddamento di un oggetto è proporzionale
alla differenza tra la temperatura dell’oggetto e quella
dell’ambiente circostante, se questa differenza non è
troppo grande. Scrivere un’equazione differenziale che
descriva la legge di Newton in questa particolare situazione. Qual è la condizione iniziale? Questo modello è in
accordo con l’ipotesi formulata in (a)?
(c) Tracciare il grafico qualitativo della soluzione del problema ai valori iniziali in (b).
t
12. La funzione disegnata in figura è soluzione di una delle equa-
zioni differenziali seguenti. Individuare l’equazione corretta,
giustificando la risposta.
y
0
A. y 1 xy
1.2
B. y 2xy
x
C. y 1 2xy
Campo di direzioni e metodo di Eulero
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Sfortunatamente, è impossibile risolvere la maggior parte delle equazioni differenziali, nel senso di ottenere un’espressione esplicita per le soluzioni. In questo paragrafo mostriamo come, nonostante la mancanza della soluzione esplicita, si possano
avere molte informazioni sulle soluzioni attraverso un approccio grafico (campo di
direzioni) o un approccio numerico.
Campo di direzioni
Supponiamo di dover tracciare il grafico della soluzione del problema ai valori iniziali
y x y
y0 1
Non conoscendo una formula per la soluzione, come possiamo tracciare il suo grafico?
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PARAGRAFO 1.2 CAMPO DI DIREZIONI E METODO DI EULERO
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Pensiamo al significato dell’equazione differenziale. L’equazione y x y dice che
la pendenza in un punto generico (x,y) del grafico (chiamato curva soluzione) è uguale
alla somma tra l’ascissa e l’ordinata del punto (Figura 1). In particolare, poiché la
curva passa per il punto (0,1), la sua pendenza deve essere 0 + 1 = 1. Quindi una piccola porzione della curva soluzione intorno al punto (0,1) assomiglia a un piccolo segmento passante per (0,1) con pendenza 1 (si veda la Figura 2.)
y
la pendenza
in (⁄, ›) è
⁄+›.
y
la pendenza
in (¤, fi) è
¤+fi.
0
(0, 1)
x
la pendenza in (0, 1)
è 0+1=1.
0
x
FIGURA 1
FIGURA 2
Una soluzione di yª=x+y
Inizio della curva soluzione passante per (0, 1)
Come guida per tracciare il resto della curva, disegniamo piccoli segmenti passanti
per un certo numero di punti (x,y) con pendenza x + y. Il risultato si chiama campo di
direzioni ed è mostrato in Figura 3. Per esempio, il segmento passante per (1,2) ha
pendenza 1 + 2 = 3. Il campo di direzioni ci permette di visualizzare la generica forma
di una curva soluzione indicando la direzione in cui si muove la curva in ogni punto.
y
y
(0, 1)
0
1
2
x
0
1
2
FIGURA 3
FIGURA 4
Campo di direzioni per yª=x+y
La curva soluzione passante per (0, 1)
x
Ora possiamo tracciare la curva soluzione passante per (0,1) seguendo il campo di
direzioni come in Figura 4. Si noti che abbiamo disegnato la curva in modo che risulti
parallela ai segmenti più vicini.
In generale, supponiamo di avere un’equazione differenziale del primo ordine nella
forma
y Fx, y
dove Fx, y è un’espressione in x e y. L’equazione differenziale dice che la pendenza
di una curva soluzione nel punto (x,y) della curva è Fx, y. Disegnando piccoli segmenti di pendenza Fx, y in molti punti (x,y), otteniamo un campo di direzioni (o
campo di pendenze). Questi segmenti indicano la direzione in cui si muove una curva
soluzione, quindi il campo di direzioni aiuta a visualizzare l’andamento generale del
grafico delle soluzioni.
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
ESEMPIO 1
(a) Disegnare il campo di direzioni per l’equazione differenziale y x 2 y 2 1.
(b) Usare (a) per tracciare il grafico della soluzione che passa per l’origine.
SOLUZIONE
(a) Iniziamo con il calcolare la pendenza in alcuni punti e raccogliamo i dati nella
seguente tabella:
x
2
1
0
1
2
2
1
0
1
2
...
y
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
...
y x 2 y 2 1
3
0
1
0
3
4
1
0
1
4
...
Ora disegniamo piccoli segmenti passanti per questi punti con la pendenza calcolata.
Il risultato è il campo di direzioni riportato in Figura 5.
_2
_1
y
y
2
2
1
1
0
1
2
x
_2
_1
0
-1
-1
_2
_2
FIGURA 5
1
2
x
FIGURA 6
(b) Partiamo dall’origine e ci muoviamo verso destra nella direzione del segmento
(che ha pendenza –1). Continuiamo a disegnare la curva muovendoci parallelamente
ai segmenti più vicini. La curva soluzione ottenuta è mostrata in Figura 6. Torniamo
poi nell’origine e disegniamo la curva muovendoci verso sinistra.
Quanto maggiore è il numero di segmenti che disegniamo nel campo di direzioni,
tanto migliore è il grafico che otteniamo. Naturalmente è un compito noioso calcolare
pendenze a mano e disegnare segmenti per un numero elevato di punti, ma l’uso del
computer è molto adatto a questo scopo. In Figura 7 vediamo un campo di direzioni
molto più accurato ottenuto con un computer per l’equazione differenziale
dell’Esempio 1. Questo campo permette di disegnare con ragionevole accuratezza le
curve soluzione di Figura 8, aventi intercette sull’asse y pari a –2, –1, 0, 1 e 2.
3
_3
3
3
_3
_3
FIGURA 7
3
_3
FIGURA 8
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PARAGRAFO 1.2 CAMPO DI DIREZIONI E METODO DI EULERO
R
E
L
interruttore
FIGURA 9
◆
11
Vediamo ora come il campo di direzione permetta di avere un’intuizione sull’andamento dei fenomeni fisici. Il semplice circuito elettrico in Figura 9 contiene una
forza elettromotrice (di solito una batteria o un generatore) che produce una tensione
di E(t) volt (V) e una corrente pari a I(t) ampere (A) al tempo t. Il circuito è dotato
anche di un resistore di resistenza R ohm (Ω) e di un induttore da L henry (H).
La legge di Ohm descrive la caduta di tensione dovuta al resistore, pari a RI. La caduta
di tensione dovuta all’induttore è L(dI/dt). Una delle leggi di Kirchhoff afferma che la
somma delle cadute di tensione è pari al voltaggio fornito E(t). In formula, abbiamo:
L
1
dI
RI Et
dt
che è un’equazione differenziale del primo ordine che modellizza l’andamento della
corrente I al tempo t.
ESEMPIO 2 Si supponga che nel circuito di Figura 9 la resistenza sia di 12 Ω, l’indut-
tanza di 4 H, e che la batteria fornisca una tensione costante pari a 60 V.
(a) Disegnare il campo di direzioni per l’Equazione 1 con questi valori.
(b) Cosa si può dedurre sul valore limite della corrente?
(c) Trovare le soluzioni di equilibrio.
(d) Si supponga che l’interruttore sia chiuso al tempo t = 0 per cui la corrente parte
da I(0) = 0: usare il campo di direzioni per tracciare la curva soluzione.
SOLUZIONE
(a) Se poniamo L = 4, R = 12 ed E(y) = 60 nell’Equazione 1, otteniamo
4
dI
12I 60
dt
dI
15 3I
dt
ovvero
Il campo di direzioni di questa equazione differenziale è disegnato in Figura 10.
I
6
4
2
0
1
2
3
t
FIGURA 10
(b) Dal campo di direzioni è evidente che tutte le soluzioni tendono al valore 5 A, cioè
lim It 5
tl
dI
15 3I
dt
(c) Si vede che la funzione costante I(t) = 5 è un soluzione di equilibrio. Possiamo
verificarlo direttamente con l’equazione differenziale. Se I(t) = 5, allora dI/dt = 0,
mentre il termine a destra vale 15 35 0.
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
(d) Usiamo il campo di direzioni per tracciare il grafico della soluzione che passa per
il punto (0,0), come mostrato in rosso in Figura 11.
I
6
4
2
0
1
2
3
t
FIGURA 11
Si noti dalla Figura 10 che tutti i segmenti disposti lungo una qualsiasi retta orizzontale sono paralleli. Questo perché la variabile indipendente t non compare a destra
dell’equazione I 15 3I . In generale, un’equazione differenziale della forma
y f y
in cui manca la variabile indipendente sulla destra dell’equazione viene chiamata
autonoma. Per un’equazione di tale forma, le pendenze corrispondenti a punti diversi
ma con uguale ordinata risultano uguali. Questo significa che conoscendo una soluzione particolare di un’equazione differenziale autonoma se ne ottengono infinite altre
semplicemente traslando il grafico della soluzione nota verso destra o verso sinistra.
In Figura 11 abbiamo disegnato le soluzioni che si ottengono traslando la curva soluzione dell’Esempio 2 verso destra di una e due unità. Si noti che il sistema ha lo stesso
comportamento a ogni istante.
Metodo di Eulero
y
L’idea base su cui poggia l’uso dei campi di direzioni può essere sfruttata per trovare
approssimazioni numeriche delle soluzioni di equazioni differenziali. Illustriamo il
metodo (detto di Eulero) sul problema ai valori iniziali già usato per introdurre i campi
di direzioni:
y x y
y0 1
curva soluzione
1
0
y=L(x)
1
FIGURA 12
Prima approssimazione di Eulero
x
L’equazione differenziale dice che y0 0 1 1, dunque il grafico della soluzione ha pendenza 1 nel punto (0,1). Come prima approssimazione della soluzione
possiamo usare l’approssimazione lineare Lx x 1. In altre parole, possiamo
usare la retta tangente in (0,1) come prima approssimazione della curva soluzione
(Figura 12).
L’idea di Eulero era di migliorare questa approssimazione seguendo la retta tangente solo per un breve tratto, e poi correggere la direzione nel modo indicato dal
campo di direzioni. In Figura 13 vediamo cosa succede rimanendo sulla tangente fino
a x = 0.5. (La distanza orizzontale percorsa si chiama passo.) Poiché L0.5 1.5,
abbiamo y0.5 1.5 e prendiamo (0.5,1.5) come punto di partenza per un nuovo segmento. Dall’equazione differenziale ricaviamo quindi che y0.5 0.5 1.5 2, e
usiamo la funzione lineare
y 1.5 2x 0.5 2x 0.5
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PARAGRAFO 1.2 CAMPO DI DIREZIONI E METODO DI EULERO
◆
13
come approssimazione della soluzione per x > 0.5 (la linea gialla in Figura 13). Se
diminuiamo il passo da 0.5 a 0.25, otteniamo un’approssimazione di Eulero migliore,
come mostrato in Figura 14.
y
y
1
0
y
pendenza=F(x¸, y¸)
(⁄, ›)
hF(x¸, y¸)
h
0.5
FIGURA 15
1
x
0
0.25
1
x
FIGURA 13
FIGURA 14
Approssimazione di Eulero con passo 0.5
Approssimazione di Eulero con passo 0.25
In generale, il metodo di Eulero consiste nel cominciare nel punto fornito dal dato
iniziale procedendo nella direzione indicata dal campo di direzioni. Ci si ferma dopo
un breve tratto, si guarda la pendenza nella nuova posizione, e si continua in quella
direzione. Si continua così fermandosi e cambiando direzione secondo il campo di
direzioni. Il metodo di Eulero non fornisce la soluzione esatta di un problema ai valori
iniziali, ne dà solo un’approssimazione. Tuttavia, diminuendo l’ampiezza del passo (e
aumentando di conseguenza il numero di correzioni della direzione seguita) si ottengono approssimazioni sempre migliori per la soluzione esatta. (Si confrontino le
Figure 12, 13 e 14.)
Per il generico problema ai valori iniziali y Fx, y, yx 0 y0 , il nostro scopo
è quello di trovare valori approssimati della soluzione per valori equispaziati di
x 1 x 0 h, x 2 x 1 h, . . . , dove h è il passo. Dall’equazione differenziale si
ricava che la pendenza in x 0 , y0 è y Fx 0 , y0 , dunque vediamo in Figura 15 che
il valore approssimato della soluzione per x x 1 è
y¸
0
1
1.5
y1 y0 hFx 0 , y0 x¸
⁄
x
Analogamente,
y2 y1 hFx 1, y1 In generale,
yn yn1 hFx n1, yn1 ESEMPIO 3 Usare il metodo di Eulero con passo 0.1 per costruire una tabella di valori
approssimati per la soluzione del problema ai valori iniziali
y x y
y0 1
SOLUZIONE Abbiamo che h 0.1, x 0 0, y0 1 e Fx, y x y. Dunque otteniamo
y1 y0 hFx 0 , y0 1 0.10 1 1.1
y2 y1 hFx 1, y1 1.1 0.10.1 1.1 1.22
y3 y2 hFx 2 , y2 1.22 0.10.2 1.22 1.362
Questo significa che, detta y(x) la soluzione esatta, allora y0.3 1.362.
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■
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Continuando con calcoli simili, costruiamo la tabella seguente.
n
xn
yn
n
xn
yn
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.100000
1.220000
1.362000
1.528200
1.721020
6
7
8
9
10
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.943122
2.197434
2.487178
2.815895
3.187485
Per avere una tabella di valori più accurata nell’Esempio 3 possiamo ridurre il
passo. Tuttavia, per un numero elevato di piccoli passi la quantità di calcoli da eseguire è notevole, ed è necessario ricorrere all’uso di una calcolatrice o di un computer. La tabella seguente riporta i risultati ottenuti applicando il metodo di Eulero con
passo decrescente per il problema ai valori iniziali dell’Esempio 3.
Passo
Stima di Eulero di y0.5
Stima di Eulero di y1
0.500
0.250
0.100
0.050
0.020
0.010
0.005
0.001
1.500000
1.625000
1.721020
1.757789
1.781212
1.789264
1.793337
1.796619
2.500000
2.882813
3.187485
3.306595
3.383176
3.409628
3.423034
3.433848
Si noti che le stime di Eulero nella tabella sembrano tendere a certi limiti, ovvero
i valori esatti di y(0.5) e y(1). In Figura 16 troviamo i grafici delle approssimazioni di
Eulero con passo 0.5, 0.25, 0.2, 0.005, 0.02, 0.01 e 0.005. Questi grafici si avvicinano
al grafico della soluzione esatta al tendere a 0 del passo h.
y
1
FIGURA 16
0
Approssimazioni di Eulero
che convergono alla soluzione esatta
ESEMPIO 4
0.5
1
x
Nell’Esempio 2 abbiamo discusso un semplice circuito elettrico di resistenza 12 Ω, induttanza 4 H e tensione di alimentazione 60 V. Con l’interruttore chiu-
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PARAGRAFO 1.2 CAMPO DI DIREZIONI E METODO DI EULERO
15
◆
so all’istante t = 0 abbiamo modellizzato la corrente I al tempo t con il problema ai
valori iniziali
dI
15 3I
dt
I0 0
Stimare la corrente nel circuito mezzo secondo dopo la chiusura dell’interruttore.
SOLUZIONE Usiamo il metodo di Eulero con Ft, I 15 3I, t0 0, I0 0 e passo h
= 0.1 secondi:
I1 0 0.115 3 0 1.5
I2 1.5 0.115 3 1.5 2.55
I3 2.55 0.115 3 2.55 3.285
I4 3.285 0.115 3 3.285 3.7995
I5 3.7995 0.115 3 3.7995 4.15965
Dunque la corrente dopo 0.5 s è
I0.5 4.16 A
1.2
Esercizi
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1. È dato un campo di direzioni per l’equazione differenziale
y y (1 14 y 2).
(a) Tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni che verificano le condizioni iniziali
(i) y0 1
(ii) y0 1
(iii) y0 3
(iv) y0 3
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
(v) y0 5
(b) Trovare tutte le soluzioni di equilibrio.
y
3
5
2
4
1
3
_2
_1
0
1
2
3
x
2
_1
1
_2
_3
●
●
y x sin y.
(a) Tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni che verificano le condizioni iniziali
(i) y0 1
(ii) y0 2
(iii) y0 y
_3
●
2. È dato un campo di direzioni per l’equazione differenziale
(iv) y0 4
(b) Trovare tutte le soluzioni di equilibrio.
●
_3
_2
_1
0
1
2
3
x
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
■
3–6 ■ Associare a ogni equazione differenziale il suo campo di
direzioni (individuato dalla numerazione I-IV). Giustificare la
risposta.
3. y y 1
4. y y x
5. y y 2 x 2
6. y y 3 x 3
I
II
y
CAS
■ Usare un sistema di computer algebra (CAS) per disegnare un campo di direzioni associato all’equazione differenziale
data. Tracciare poi a mano la curva soluzione che passa per (0,1).
Infine usare il CAS per fare lo stesso grafico e confrontare i risultati ottenuti.
15. y y sin 2x
y
2
15–16
16. y sinx y
2
■
CAS
2x
_2
_2
III
_2
IV
y
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
17. Usare un sistema di computer algebra per disegnare un
18. Tracciare un campo di direzioni per l’equazione differenziale
autonoma y f y, dove il grafico di f è mostrato in figura.
In che modo il comportamento limite delle soluzioni dipende
dal valore di y0?
y
2
■
campo di direzioni per l’equazione differenziale
y y 3 4y. Tracciare poi a mano la soluzione che verifica
la condizione iniziale y0 c per diversi valori di c. Per
quali valori di c esiste lim t l yt? Quali sono i valori possibili per questo limite?
2x
_2
■
2
f(y)
2x
_2
2x
_2
_2
_2
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
i grafici delle soluzioni che verificano le condizioni iniziali
(a) y0 1
(b) y0 0
(c) y0 1
8. Ripetere l’Esercizio 7 per il campo di direzioni III.
9–10
■ Disegnare un campo di direzioni associato all’equazione
differenziale. Tracciare poi tre curve soluzione.
9. y 1 y
10. y x 2 y 2
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
11–14
■ Disegnare un campo di direzioni associato all’equazione differenziale. Tracciare poi la curva soluzione che passa
per il punto dato.
11. y y 2x,
1, 0
12. y 1 xy,
0, 0
13. y y xy,
0, 1
14. y x xy,
1, 0
■
■
■
0
1
2
y
■
7. Usare il campo di direzioni I degli Esercizi 3-6 per tracciare
■
_1
_2
■
■
19. (a) Usare il metodo di Eulero con ciascuno dei seguenti passi
per stimare il valore di y0.4, dove y è la soluzione del
problema ai valori iniziali y y, y0 1.
(i) h 0.4
(ii) h 0.2
(iii) h 0.1
(b) Sappiamo che la soluzione esatta del problema in (a) è
y e x. Disegnare, il più accuratamente possibile, il
grafico di y e x, 0 x 0.4, insieme alle approssimazioni di Eulero ottenute coi passi della parte (a). (I
grafici ottenuti dovrebbero essere simili alle Figure 12, 13
e 14.) Dai grafici dedurre se le stime in (a) sono stime per
eccesso o per difetto.
(c) L’errore nel metodo di Eulero è la differenza tra il valore
esatto e il valore approssimato. Trovare gli errori commessi
in (a) con l’uso del metodo di Eulero per la stima di y0.4,
cioè e 0.4. Qual è il comportamento dell’errore a ogni dimezzarsi del passo?
20. È dato il campo di direzioni per un’equazione differenziale.
■
■
■
■
■
■
■
■
Disegnare, servendosi di un righello, i grafici delle approssimazioni di Eulero per la curva soluzione passante per l’origine. Usare passi h = 1 e h = 0.5. Le stime di Eulero sono per
eccesso o per difetto? Spiegare.
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PARAGRAFO 1.2 CAMPO DI DIREZIONI E METODO DI EULERO
CAS
y
◆
17
26. (a) Programmare un CAS per l’uso del metodo di Eulero con
passo 0.01 nella stima di y(2), dove y(x) è la soluzione del
problema ai valori iniziali
2
y x 3 y 3
y0 1
(b) Verificare la stima ottenuta disegnando con il CAS la
curva soluzione.
1
27. La figura mostra un circuito contenente una forza elettromo-
trice, un condensatore di capacità C farad (F) e un resistore di
resistenza R ohm (Ω). La caduta di tensione ai capi del condensatore è Q/C, dove Q è la carica (in coulomb), quindi
dalla legge di Kirchhoff si ha
0
RI 2 x
1
Q
Et
C
Ma I dQdt, quindi
21. Usare il metodo di Eulero con passo 0.5 per calcolare le
approssimazioni dei valori di y1, y2, y3, y4 della soluzione del
problema ai valori iniziali
y y 2x
y1 0
22. Usare il metodo di Eulero con passo 0.2 per stimare y1,
dove y è la soluzione del problema ai valori iniziali
y 1 xy
y0 0
23. Usare il metodo di Eulero con passo 0.1 per stimare y0.5,
dove y è la soluzione del problema ai valori iniziali
y y xy
y0 1
R
Si supponga che la resistenza sia 5 Ω, la capacità 0.05 F e che
una batteria fornisca una tensione costante di 60 V.
(a) Disegnare un campo di direzioni per questa equazione
differenziale.
(b) Qual è il valore limite della carica?
(c) Esiste una soluzione di equilibrio?
(d) Disegnare sul campo di direzioni la soluzione che verifica
Q0 0 C.
(e) Se la carica iniziale è Q0 0 C, usare il metodo di
Eulero con passo 0.1 per stimare la carica dopo mezzo
secondo.
24. (a) Usare il metodo di Eulero con passo 0.2 per stimare
C
y(1.4), dove y è la soluzione del problema ai valori
iniziali y x xy, y1 0.
(b) Ripetere la parte (a) con passo 0.1.
E
; 25. (a) Programmare una calcolatrice o un computer per l’uso
1
dQ
Q Et
dt
C
R
del metodo di Eulero nella stima di y1, dove yx è la
soluzione del problema ai valori iniziali
dy
3x 2 y 6x 2
dx
(i) h 1
(iii) h 0.01
y0 3
(ii) h 0.1
(iv) h 0.001
(b) Verificare che y 2 ex è la soluzione esatta dell’equazione differenziale.
(c) Calcolare gli errori commessi nell’uso del metodo di
Eulero per stimare y(1) con i passi indicati nella parte (a).
Come cambia l’errore quando il passo viene diviso per 10?
3
28. Nell’Esercizio 14 del Paragrafo 1.1 abbiamo considerato il
raffreddamento di una tazza di caffè a 95 °C in una stanza a
20 °C. Si supponga che il caffè si raffreddi a una velocità di
1 °C al minuto quando la sua temperatura è di 70 °C.
(a) Come diventa l’equazione differenziale in questo caso?
(b) Disegnare un campo di direzioni e tracciare la curva
soluzione per questo problema ai valori iniziali. Qual è il
valore limite della temperatura?
(c) Usare il metodo di Eulero con passo h = 2 minuti per stimare la temperatura del caffè dopo 10 minuti.
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18
■
1.3
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Pagina 18
CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Equazioni separabili
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Fin qui abbiamo studiato equazioni differenziali del primo ordine da un punto di vista
geometrico (campi di direzioni) e da un punto di vista numerico (metodo di Eulero).
Ma cosa si può dire da un punto di vista simbolico? Sarebbe interessante conoscere
una formula esplicita per le soluzioni di un’equazione differenziale. Sfortunatamente,
questo non è sempre possibile. In questo paragrafo esaminiamo un tipo particolare di
equazioni differenziali che è possibile risolvere esplicitamente.
Un’equazione separabile (detta anche a variabili separabili) è un’equazione differenziale del primo ordine in cui l’espressione di dy/dx può essere fattorizzata come
una funzione di x per una funzione di y; in altre parole, la si può scrivere nella forma
dy
txf y
dx
Il nome separabile viene dal fatto che l’espressione a destra può essere “separata” in
una funzione di x e in una funzione di y. Equivalentemente, se f y 0, si può scrivere
dy
tx
dx
hy
1
dove hy 1f y. Per risolvere questa equazione la riscriviamo nella forma
hy dy tx dx
▲ La tecnica per risolvere le equazioni
differenziali separabili fu adoperata per
la prima volta da Jacques Bernoulli (nel
1690) nella risoluzione di un problema
sulle oscillazioni del pendolo e da Leibniz
(in una lettera a Huygens del 1691). Jean
Bernoulli, invece, spiegò il metodo genereale in una memoria del 1694.
in modo che tutte le y si trovino a un membro dell’equazione e tutte le x all’altro, poi
integriamo entrambi i membri:
2
y hy dy y tx dx
L’Equazione 2 definisce y implicitamente come funzione di x. In alcuni casi possiamo
essere in grado di ricavare y in funzione di x.
Per giustificare il passaggio che porta all’Equazione 2 ricorriamo alla Regola di
sostituzione:
dy
y hy dy y hyx dx dx
y hyx
tx
dx
hyx
(dall’Equazione 1)
y tx dx
ESEMPIO 1
6x 2
dy
.
dx
2y cos y
(b) Trovare la soluzione che soddisfa la condizione iniziale y1 .
(a) Risolvere l’equazione differenziale
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PARAGRAFO 1.3 EQUAZIONI SEPARABILI
◆
19
▲ Alcuni sistemi di computer algebra
SOLUZIONE
sono in grado di disegnare curve definite
da equazioni implicite. La Figura 1 mostra
i grafici di diversi membri della famiglia di
soluzioni dell’equazione differenziale dell’Esempio 1. Da sinistra a destra, i valori
di C sono 3, 2, 1, 0, 1, 2 e 3.
(a) Scrivendo l’equazione in forma differenziale e integrando entrambi i membri,
otteniamo
2y cos y dy 6x 2 dx
y 2y cos y dy y 6x
4
2
_4
FIGURA 1
dx
y 2 sin y 2x 3 C
3
_2
2
dove C è una costante arbitraria. (Formalmente abbiamo introdotto una costante C1
nell’integrazione del termine a sinistra e un’altra costante C2 nell’integrazione di
quello a destra, ma poi combiniamo le costanti scrivendo C C2 C1.)
L’Equazione 3 fornisce la soluzione generale in forma implicita. In questo caso è
impossibile risolvere l’equazione per avere esplicitamente y in funzione di x.
(b) La condizione iniziale è y1 , dunque sostituiamo x 1 e y nell’Equazione 3:
2 sin 213 C
C 2 2
5
Perciò la soluzione è data implicitamente da
(1, π)
_2
y 2 sin y 2x 3 2 2
2
Il grafico di questa soluzione è mostrato in Figura 2. (Lo si confronti con la Figura 1.)
_5
FIGURA 2
ESEMPIO 2
Risolvere l’equazione y x 2 y.
SOLUZIONE Prima riscriviamo l’equazione con la notazione di Leibniz:
dy
x2y
dx
Se y 0, possiamo riscriverla in forma differenziale e integrare:
dy
x 2 dx
y
y
y0
dy
y x 2 dx
y
ln y x3
C
3
Questa equazione definisce y implicitamente come funzione di x. In questo caso possiamo però ricavare esplicitamente y nel modo seguente:
y e
da cui
e x 33C e Ce x 33
ln y
y e Ce x 3
3
Si noti che la funzione y = 0 è anch’essa una soluzione dell’equazione differenziale.
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20
■
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Pagina 20
CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
In definitiva, possiamo scrivere la soluzione generale nella forma
y Ae x 3
3
dove A è una costante arbitraria ( A e C, oppure A e C, o anche A 0).
y
6
▲ La Figura 3 mostra un campo di dire-
zioni per l’equazione differenziale dell’Esempio 2. La si confronti con la Figura 4,
3
in cui usiamo l’equazione y Ae x / 3 per
disegnare i grafici delle soluzioni per
diversi valori di A. Se si usa il campo di
direzioni per tracciare le curve soluzione
con intercetta 5, 2, 1, 1 e 2, esse ricalcano le curve di Figura 4.
4
6
2
_2
_1
0
1
x
2
_2
_2
2
_4
_6
_6
FIGURA 3
FIGURA 4
ESEMPIO 3 Nel Paragrafo 1.2 abbiamo modellizzato la corrente I(t) relativa al circuito
R
in Figura 5 con l’equazione differenziale
E
L
interruttore
FIGURA 5
L
dI
RI Et
dt
Trovare un’espressione per la corrente in un circuito con resistenza pari a 12 Ω, induttanza 4 H, dotato di una batteria che fornisce tensione costante pari a 60 V, nell’ipotesi
che l’interruttore sia chiuso quando t = 0. Qual è il valore limite della corrente?
SOLUZIONE Con L 4, R 12 ed Et 60, l’equazione diventa
4
dI
12I 60
dt
o
dI
15 3I
dt
e il problema ai valori iniziali è
dI
15 3I
dt
I0 0
Riconosciamo che questa è un’equazione separabile, e la risolviamo come segue:
y
dI
y dt
15 3I
15 3I e
13 ln 15 3I t C
3tC
15 3I e3Ce3t Ae3t
I 5 13 Ae3t
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PARAGRAFO 1.3 EQUAZIONI SEPARABILI
▲ La Figura 6 mostra come la soluzione
dell’Esempio 3 (la corrente) si avvicina al
suo valore limite. Il confronto con la Figura
11 del Paragrafo 1.2 mostra che siamo
stati in grado di disegnare una curva soluzione abbastanza precisa a partire dal
campo di direzioni.
◆
21
Poiché I(0) = 0, abbiamo 5 13 A 0, dunque A = 15 e la soluzione è
It 5 5e3t
Il valore limite della corrente, in ampere, è pari a
lim It lim 5 5e3t tl
6
tl
5 5 lim e3t 5 0 5
y=5
tl
Traiettorie ortogonali
0
FIGURA 6
2.5
Una traiettoria ortogonale per una famiglia di curve è una curva che interseca ciascuna curva della famiglia ortogonalmente, cioè formando angoli retti (Figura 7). Per
esempio, ogni elemento della famiglia y = mx di rette passanti per l’origine è una
traiettoria ortogonale per la famiglia x 2 y 2 r 2 di circonferenze centrate nell’origine (Figura 8). Diciamo allora che le due famiglie sono mutuamente ortogonali.
y
x
traiettoria
ortogonale
FIGURA 7
FIGURA 8
ESEMPIO 4 Trovare le traiettorie ortogonali per la famiglia di curve x ky 2, dove k è
una costante arbitraria.
SOLUZIONE Le curve x ky 2 costituiscono una famiglia di parabole con l’asse x come
asse di simmetria. Il primo passo consiste nel trovare un’equazione differenziale che
sia soddisfatta da tutti gli elementi della famiglia. Se deriviamo x ky 2, otteniamo
1 2ky
dy
dx
ovvero
1
dy
dx
2ky
Questa equazione differenziale dipende da k, ma noi cerchiamo un’equazione che sia
valida contemporaneamente per ogni valore di k. Per eliminare k notiamo che, dall’equazione generale della parabola x ky 2, otteniamo k xy 2 e dunque l’equazione
differenziale si può riscrivere come
dy
1
dx
2ky
o
dy
y
dx
2x
1
x
2 2 y
y
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■
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Questo significa che la pendenza della retta tangente nel punto (x,y) appartenente a
una qualunque delle parabole è y y2x. Su una traiettoria ortogonale il coefficiente angolare della retta tangente deve essere il reciproco di questo valore, cambiato
di segno. Perciò, le traiettorie ortogonali devono risolvere l’equazione differenziale
dy
2x
dx
y
y
Questa equazione differenziale è separabile, e la risolviamo nel modo seguente:
y y dy y 2x dx
y2
x 2 C
2
x
x2 4
FIGURA 9
y2
C
2
dove C è una costante positiva arbitraria. Dunque le traiettorie ortogonali formano la
famiglia di ellissi descritte dall’Equazione 4 e tracciate in Figura 9.
Le traiettorie ortogonali si incontrano in vari settori della fisica. Per esempio, in un
campo elettrostatico le linee di forza sono ortogonali alle curve di potenziale costante.
Ancora, in aerodinamica le linee di flusso sono traiettorie ortogonali per le curve
equipotenziali di velocità.
Problemi di miscelazione
Un tipico problema di miscelazione riguarda un serbatoio di capacità fissata interamente riempito con una soluzione di una qualche sostanza, per esempio sale. Una
soluzione con una certa concentrazione entra nel serbatoio con velocità costante e, una
volta rimescolata, esce con una velocità costante in generale diversa da quella d’ingresso. Se y(t) è la quantità di sostanza presente nel serbatoio al tempo t, allora yt è
la differenza tra la velocità di entrata e la velocità di uscita. Una descrizione matematica di questa situazione porta spesso a un’equazione separabile. Lo stesso tipo di
ragionamento può essere usato per descrivere una grande varietà di fenomeni: reazioni
chimiche, scarico di sostanze inquinanti in un lago, iniezione di un farmaco in vena.
ESEMPIO 5
Un serbatoio contiene 20 kg di sale disciolti in 5000 litri d’acqua. Una
soluzione salina che contiene 0.03 kg di sale per litro d’acqua entra nel serbatoio alla
velocità di 25 litri/min. La soluzione viene continuamente rimescolata ed esce dal serbatoio con la stessa velocità. Quanto sale rimane nel serbatoio dopo mezz’ora?
SOLUZIONE
Sia yt la quantità di sale (in kilogrammi) dopo t minuti. Sappiamo che
y0 20 e vogliamo calcolare y30. Riusciremo a farlo dopo aver trovato un’equazione differenziale soddisfatta da yt. Notiamo che dydt è la velocità di variazione
della quantità di sale, dunque
5
dy
velocità d’ingresso velocità d’uscita
dt
dove la velocità d’ingresso è la velocità con cui il sale entra e la velocità d’uscita è la
velocità con cui il sale lascia il serbatoio.
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Pagina 23
PARAGRAFO 1.3 EQUAZIONI SEPARABILI
23
◆
Abbiamo
kg
litri
velocità d’ingresso 0.03
25
litri
min
0.75
kg
min
Il serbatoio contiene sempre 5000 litri di liquido, così la concentrazione al tempo t è
y(t)/5000 (in kilogrammi per litro). Poiché la soluzione salina esce a una velocità di
25 litri/min, risulta
velocità d’uscita yt kg
5000 litri
25
litri
min
yt kg
200 min
Allora, dall’Equazione 5 otteniamo
dy
yt
150 yt
0.75 dt
200
200
Risolvendo questa equazione separabile, abbiamo
dy
dt
y 150 y y 200
ln 150 y ▲ La Figura 10 mostra il grafico della fun-
t
C
200
Poiché y0 20, abbiamo ln 130 C, e dunque
zione yt dell’Esempio 5. Si noti come al
trascorrere del tempo la quantità di sale
tenda a 150 kg.
ln 150 y t
ln 130
200
y
150 y 130e
t200
Perciò
150
Dal momento che yt è continua, y0 20 e il termine a destra non è mai nullo,
deduciamo che 150 yt è sempre positivo. Pertanto 150 y 150 y e risulta
100
50
yt 150 130et200
0
200
In definitiva la quantità di sale dopo 30 min è
t
400
y30 150 130e30200 38.1 kg
FIGURA 10
1.3
1–8
1.
■
Esercizi
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Risolvere l’equazione differenziale.
dy
y2
dx
3. yy x
5.
dy
te t
dt
y s1 y 2
7.
2x
2.
e
dy
dx
4y 3
4. y xy
6. y xy
2 ln y
●
●
●
●
●
●
●
du
2 2u t tu
dt
■
■
■
■
■
■
9–14
●
●
●
●
●
●
dz
e tz 0
dt
8.
■
●
■
■
■
■
■
■
■ Trovare la soluzione dell’equazione differenziale che
soddisfa la condizione iniziale assegnata.
9.
dy
y 2 1,
dx
y1 0
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24
10.
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
■
dy
y cos x
,
dx
1 y2
11. xet
Pagina 24
dx
t,
dt
2t sec 2t
du
,
dt
2u
dy
14.
te y,
dt
■
■
■
Paragrafo 1.2, per trovare l’espressione della carica al tempo
t. Determinare il valore limite della carica.
x0 1
dy
0,
12. x 2y sx 2 1
dx
13.
27. Risolvere il problema ai valori iniziali dell’Esercizio 27,
y0 1
28. Nell’Esercizio 28, Paragrafo 1.2, abbiamo discusso l’e-
quazione differenziale che descrive la temperatura di una tazza
di caffè a 95 °C in una stanza a 20 °C. Risolvere l’equazione
differenziale per trovare la temperatura della tazza al tempo t.
y0 1
29. Nell’Esercizio 13, Paragrafo 1.1, abbiamo proposto un modello
u0 5
per l’apprendimento in forma di equazione differenziale
dP
kM P
dt
y1 0
■
■
■
■
■
■
■
■
■
dove P(t) misura la prestazione di un individuo che acquista
una certa abilità in funzione del tempo t di esercizio, M è il
massimo livello di prestazione di cui il soggetto è capace, e k
è una costante positiva. Risolvere questa equazione differenziale per trovare l’espressione di P(t). Qual è il limite di
quest’espressione?
■
15. Trovare l’equazione della curva che verifica dydx 4x 3 y e
che ha intercetta sull’asse y uguale a 7.
16. Trovare l’equazione della curva che passa per il punto (1,1) e
con pendenza in (x,y) pari a y 2x 3.
30. In una reazione chimica elementare, molecole singole di due
17. (a) Risolvere l’equazione differenziale y 2x s1 y 2.
reagenti A e B formano la molecola prodotto: A + B → C. La
legge dell’azione di massa afferma che la velocità della reazione
è proporzionale al prodotto delle concentrazioni di A e B:
(b) Risolvere il problema ai valori iniziali y 2x s1 y 2,
y0 0, e tracciare un grafico della soluzione.
(c) Il problema ai valori iniziali y 2x s1 y 2, y0 2
ammette soluzione? Spiegare.
;
d C
k A
B
dt
y
; 18. Risolvere l’equazione e y cos x 0 e disegnare alcuni
Perciò, se le concentrazioni iniziali sono [A] = a moli/litro e
[B] = b moli/litro e poniamo x = [C], abbiamo
elementi della famiglia di soluzioni. Come cambia la curva
soluzione al variare di C?
CAS
19. Risolvere il problema ai valori iniziali y sin xsin y,
y0 2, e disegnare la soluzione (se il CAS a disposizione gestisce curve implicite).
CAS
20. Risolvere l’equazione y x sx 2 1 ye y e disegnare
alcuni elementi della famiglia di soluzioni (se il CAS a disposizione gestisce curve implicite). Come cambia la curva soluzione al variare di C?
CAS
21–22
21. y 1y
■
■
22. y x 2y
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
; 23–26
■ Trovare le traiettorie ortogonali alla famiglia di curve
data. Usare un computer per disegnare alcuni elementi della
famiglia di soluzioni su una stessa schermata.
23. y kx 2
24. x 2 y 2 k
25. y x k1
26. y kex
■
■
CAS
(a) Assumendo a b, trovare x in funzione di t. Sfruttare il
fatto che la concentrazione iniziale di C è 0.
(b) Trovare x t assumendo a = b. Come si semplifica questa
espressione per x(t) sapendo che C
a2 dopo 20
secondi?
31. Contrariamente al caso dell’Esercizio 30, gli esperimenti
■
(a) Disegnare il campo di direzioni associato all’equazione differenziale con l’aiuto di un CAS. Tracciare poi alcune curve
soluzione senza risolvere l’equazione.
(b) Risolvere l’equazione differenziale.
(c) Con un CAS disegnare alcuni elementi della famiglia di
soluzioni ottenuta in (b). Confrontare con le curve ottenute
in (a).
■
dx
ka xb x
dt
■
■
■
■
■
■
■
mostrano che la reazione H2 + Br2 → 2HBr avviene secondo
la legge
d HBr
k H 2 Br 2 12
dt
e dunque per questa reazione l’equazione differenziale diventa
dx
ka xb x12
dt
dove x HBr
e a e b sono le concentrazioni iniziali di
idrogeno e bromo.
(a) Trovare x in funzione di t nel caso a = b. Sfruttare il fatto
che x(0) = 0.
(b) Se a > b, determinare x(t). [Suggerimento: nell’integrazione usare la sostituzione u sb x.]
32. Una sfera di raggio 1 m ha una temperatura di 15 °C. Una sfera
■
■
■
■
concentrica esterna di raggio 2 m ha una temperatura di 25 °C.
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Pagina 25
PARAGRAFO 1.3 EQUAZIONI SEPARABILI
d 2T
2 dT
0
dr 2
r dr
38. Un oggetto di massa m si muove orizzontalmente attraverso
un mezzo che resiste al moto con una forza che è funzione
della velocità; cioè:
Ponendo S dTdr, S soddisfa un’equazione differenziale
del primo ordine. Risolverla per trovare l’espressione della
temperatura tra le due sfere.
m
d 2s
dv
m
f v
dt 2
dt
dove v = v(t) e s = s(t) sono rispettivamente la velocità e la
posizione al tempo t. Si pensi, per esempio, a una barca che
si sposta nell’acqua.
(a) Si supponga che la resistenza sia proporzionale alla velocità, cioè f v kv, con k costante positiva. (Questo
modello è realistico per piccoli valori di v.) Siano
v0 v0 e s0 s0 i valori iniziali di v e s. Determinare v e s al variare del tempo t. Qual è la distanza totale
percorsa dall’oggetto a partire da t = 0?
(b) Per valori di v più alti un modello migliore si ottiene supponendo che la resistenza sia proporzionale al quadrato
della velocità, cioè f v kv. (Questo modello fu proposto da Newton.) Siano f v kv 2, k 0 i valori iniziali di v e s. Determinare v e s al variare del tempo t.
Qual è la distanza totale percorsa dall’oggetto in questo
caso?
33. Una soluzione di glucosio viene somministrata in vena con
velocità costante r. Via via che il glucosio viene introdotto,
viene trasformato in altre sostanze ed eliminato dal flusso
sanguigno con una velocità proporzionale alla sua concentrazione in quell’istante. Dunque un modello per la concentrazione della soluzione di glucosio C = C(t) nel sangue è
dC
r kC
dt
dove k è una costante positiva.
(a) Supponendo che la concentrazione al tempo t = 0 sia C0,
determinare la concentrazione nel generico istante t risolvendo l’equazione differenziale.
(b) Assumendo C0 rk, trovare lim t l Ct e interpretare
la risposta.
34. In un Paese la moneta corrente in circolazione ammonta a 10
35. Un serbatoio contiene 1000 litri di salamoia formata da 15 kg
25
terminale della goccia è lim t l vt. Trovare un’espressione
per la velocità terminale in termini di g e k.
La temperatura T(r) alla distanza r dal centro comune delle
sfere verifica l’equazione differenziale
miliardi di dollari, e ogni giorno 50 milioni di dollari entrano
nelle banche del Paese. Il governo decide di introdurre una
nuova moneta, facendo sostituire ogni vecchia banconota che
entra in banca con una nuova. Sia x = x(t) la somma di contante di nuovo taglio in circolazione al tempo t, con x(0) = 0.
(a) Formulare un modello matematico in termini di problema
ai valori iniziali per rappresentare il flusso della nuova
moneta in circolazione.
(b) Risolvere il problema formulato in (a).
(c) In quanto tempo le nuove banconote costituiranno il 90%
di contante in circolazione?
◆
39. Sia A(t) l’area occupata da una coltura al tempo t e sia M
CAS
l’area finale a crescita completa. La maggior parte delle divisioni cellulari avvengono verso la periferia dell’area, e il
numero di cellule in questa zona è proporzionale a sAt.
Dunque un modello ragionevole per la crescita della coltura
si ottiene assumendo che la velocità di crescita dell’area sia
proporzionale contemporaneamente a sAt e M At.
(a) Formulare un’equazione differenziale e mostrare che la
maggiore velocità di crescita si ha quando A(t) = M/3.
(b) Risolvere l’equazione differenziale per trovare l’espressione di A(t). Usare un CAS per integrare.
40. Secondo la legge di gravitazione universale di Newton, la
di sale sciolto. Dell’acqua entra nel serbatoio a una velocità
di 10 litri/min. La soluzione viene rimescolata continuamente
e fuoriesce dalla tanica alla stessa velocità. Quanto sale
rimane nel serbatoio (a) dopo t minuti e (b) dopo 20 minuti?
forza di gravità su un oggetto di massa m lanciato verticalmente rispetto alla superficie della Terra è
36. Un serbatoio contiene 1000 litri d’acqua pura. Una salamoia
dove x xt dove x = x(t) è la distanza del corpo dalla
superficie al tempo t, R è il raggio della Terra e g l’accelerazione di gravità. Ancora, dalla seconda legge di Newton,
F ma m dvdt e dunque
che contiene 0.05 kg di sale per litro entra nel serbatoio a una
velocità di 5 litri/min. Una seconda salamoia che contiene
0.04 kg di sale per litro entra nel serbatoio a una velocità di
10 litri/min. La soluzione viene rimescolata continuamente e
fuoriesce dalla tanica alla velocità di 15 litri/min. Quanto sale
rimane nel serbatoio (a) dopo t minuti e (b) dopo un’ora?
37. Quando una goccia di pioggia cade, si accresce e la sua
massa al tempo t è una funzione di t, m(t). La velocità di
crescita della massa è km(t) per una certa costante positiva k.
Applicando la legge del moto di Newton alla goccia, otteniamo mv tm, dove v è la velocità della goccia (diretta
verso il suolo) e g è l’accelerazione di gravità. La velocità
F
m
mtR 2
x R2
dv
mtR 2
dt
x R2
(a) Si supponga che un razzo venga lanciato verso l’alto con
una velocità iniziale v0. Sia h la massima altezza sopra la
superficie della Terra raggiunta dal razzo. Mostrare che
v0 2tRh
Rh
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26
■
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
[Suggerimento: dalla Regola di derivazione delle funzioni
composte, si ha m dvdt mv dvdx.]
(b) Calcolare ve lim h l v0. Questo limite è chiamato
velocità di fuga dalla Terra.
(c) Con i dati R = 3960 mi e g = 32 fts2, calcolare ve in piedi
al secondo e in miglia al secondo.
(c) Quanto tempo è necessario perché il recipiente si svuoti
completamente?
42. Si supponga che il recipiente dell’Esercizio 41 non sia cilin-
drico ma abbia sezione trasversale di area A(y) all’altezza y.
Allora il volume d’acqua sino a y è V x0y Au du e dal Teorema fondamentale del calcolo si ottiene dVdy A y. Ne
segue che
41. Siano y(t) e V(t) l’altezza e il volume dell’acqua in un con-
tenitore al tempo t. Se l’acque fuoriesce da un buco di area a
sul fondo del contenitore, la legge di Torricelli afferma che
dV dy
dy
dV
A y
dt
dy dt
dt
dV
a s2ty
dt
e dunque la legge di Torricelli diventa
A y
dove g è l’accelerazione di gravità.
(a) Si supponga che il contenitore sia cilindrico con altezza 6
ft e raggio 2 ft e che il buco sia un cerchio di raggio 1 in.
Sapendo che g = 32 fts2, mostrare che y verifica l’equazione differenziale
(a) Si supponga che il contenitore sia una sfera di raggio 2 m
inizialmente riempita d’acqua fino a metà. Se il buco è un
cerchio di raggio 1 cm e si assume g = 10 m/s2, mostrare
che y verifica l’equazione differenziale
dy
1
sy
dt
72
4y y 2 (b) Risolvere l’equazione differenziale per trovare l’altezza
dell’acqua al tempo t, assumendo che il recipiente sia
pieno al tempo t = 0.
Progetto
applicato
dy
a s2ty
dt
dy
0.0001 s20y
dt
(b) Quanto tempo è necessario perché il recipiente si svuoti
completamente?
È più veloce salire o scendere?
Lanciamo una palla in aria: vogliamo capire se sia maggiore, minore o uguale il tempo di
salita rispetto al tempo di discesa. Prima di risolvere matematicamente il problema, cerchiamo
di svilupparlo da un punto di vista esclusivamente fisico.
1. La palla di massa m ha una velocità iniziale v0 diretta verticalmente. Si assume che la
▲ Diversi sono i modelli di forze che
vengono utilizzati per descrivere le forze
di attrito nell’aria. Qui si fa uso del
modello lineare pv, ma per velocità
più elevate è possibile usare un modello
quadratico pv 2 in salita e pv 2 in
discesa). (Si veda l’Esercizio 38 del
paragrafo precedente). Alcune sperimentazioni hanno mostrato che per il
tragitto aereo di una pallina da golf è
appropriato utilizzare il modello pv 1.3
mentre la pallina sale, e il modello
p v 1.3 mentre scende. In ogni caso,
indipendentemente dalla funzione
f v utilizzata per descrivere l’attrito,
purché f v 0 per v 0 e f v 0
per v 0], la risposta alla domanda
posta nel titolo è sempre la stessa.
palla subisca la forza di attrazione gravitazionale e che una forza di attrito che si oppone
al suo moto abbia intensità p vt , dove p è una costante positiva e vt è la velocità
della palla all’istante t. Sia in salita sia in discesa la somma delle forze agenti sulla palla
è dunque pv mt, ma si osservi che se durante l’ascesa vt è positiva e la resistenza
è una forza che tira verso il basso, in discesa vt è negativa e la resistenza dovuta all’attrito agisce spingendo la palla verso l’alto. Per la seconda legge di Newton, l’equazione
del moto è
mv pv mt
Risolvere l’equazione differenziale per mostrare che la velocità della palla è
vt v0 mt ptm
mt
e
p
p
2. Dimostrare che la funzione che assegna l’altezza della palla rispetto alla superficie terre-
stre in funzione del tempo è
yt v0 mt
p
m
mtt
1 eptm p
p
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PARAGRAFO 1.4 CRESCITA E DECADIMENTO ESPONENZIALE
◆
27
3. Sia t1 l’istante in cui la palla raggiunge la quota massima. Dimostrare che
m
mt pv0
ln
p
mt
t1 Calcolare t1 per una palla di massa 1 kg, con velocità iniziale pari a 20 m/s. Si assuma
che la resistenza dell’aria sia 101 della velocità.
; 4. Sia t2 l’istante in cui la palla tocca di nuovo terra. Stimare t2 nelle condizioni esposte nel
punto precedente, dopo aver disegnato il grafico della funzione yt. È più veloce salire o
scendere?
5. In generale, non si può risolvere esplicitamente l’equazione yt 0. Possiamo tuttavia
utilizzare un metodo indiretto per decidere se sia più rapida la salita o la discesa della
palla, determinando se y2t1 è positiva o negativa. Mostrare che
y2t1 m 2t
p2
x
1
2 ln x
x
dove x e pt1m. Quindi provare che x 1 e che la funzione
f x x 1
2 ln x
x
cresce per x 1. Usare questo risultato per decidere se y2t1 è positiva o negativa, e per
rispondere così alla domanda posta nel titolo di questa sezione.
1.4
Crescita e decadimento esponenziale
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Uno dei modelli per studiare la crescita di una popolazione, introdotto nel Paragrafo
1.1, si basa sull’ipotesi che la popolazione cresca con un tasso proporzionale alla
popolazione stessa:
dP
kP
dt
Si tratta di un’ipotesi ragionevole? Supponiamo che una certa popolazione (di batteri,
per esempio) di P = 1000 individui a un certo istante cresca alla velocità di P 300
batteri l’ora. Ora consideriamo altri 1000 batteri dello stesso tipo e uniamoli alla prima
popolazione. Le due metà della nuova popolazione crescono alla velocità di 300 individui l’ora. Ci aspetteremmo che la popolazione totale di 2000 individui cresca con una
velocità iniziale di 600 batteri (nell’ipotesi che ci siano spazio e alimentazione sufficienti). Dunque, raddoppiando la popolazione, si raddoppia il tasso di crescita. In generale, sembra ragionevole che il tasso di crescita risulti proporzionale alla popolazione.
La stessa ipotesi può essere usata anche in altre situazioni. In fisica nucleare, la
massa di una sostanza radioattiva decade con una velocità proporzionale alla massa
stessa. In chimica, la velocità di una reazione molecolare del primo ordine è proporzionale alla concentrazione di sostanza. In finanza, il valore di un conto di risparmio
in regime di interesse composto continuo cresce con un tasso proporzionale a quel
valore.
In generale, se y(t) è il valore di una quantità y al tempo t e se il tasso di variazione
di y rispetto a t è proporzionale a y(t) in ogni istante, allora
1
dy
ky
dt
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■
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
dove k è una costante. L’equazione 1 viene talvolta indicata come la legge di crescita
naturale (se k > 0) o legge di decadimento naturale (se k < 0). Poiché si tratta di
un’equazione separabile possiamo risolverla con i metodi visti nel Paragrafo 1.3:
y
dy
y k dt
y
y e
ln y kt C
ktC
e Ce kt
y Ae kt
dove A( e C o 0) è una costante arbitraria. Per capire il significato di A, osserviamo
che
y0 Ae k 0 A
perciò A è il valore iniziale della funzione.
Dal momento che l’Equazione 1 compare frequentemente in natura, riassumiamo
l’analisi appena fatta per l’utilizzo futuro.
2 La soluzione del problema ai valori iniziali
dy
ky
dt
y0 y0
yt y0 e kt
è
Crescita di una popolazione
Qual è il significato della costante di proporzionalità k? Nel contesto della crescita
delle popolazioni, possiamo scrivere
3
dP
kP
dt
ovvero
1 dP
k
P dt
La quantità
1 dP
P dt
è il tasso di crescita diviso per la popolazione; viene chiamata tasso di crescita relativo. In base alla (3), invece di dire “il tasso di crescita è proporzionale alla popolazione” si potrebbe dire “il tasso di crescita relativo è costante”. Allora la (2) si traduce
dicendo che una popolazione con tasso di crescita relativo costante cresce esponenzialmente. Notiamo che il tasso di crescita relativo k compare come coefficiente di t
nella funzione esponenziale y0 e kt. Per esempio, se
dP
0.02P
dt
e t si misura in anni, allora il tasso di crescita relativo è k = 0.02 e la popolazione cre-
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PARAGRAFO 1.4 CRESCITA E DECADIMENTO ESPONENZIALE
◆
29
sce del 2% all’anno. Se la popolazione al tempo 0 è P0 , allora la popolazione al tempo
t è descritta dalla formula
Pt P0 e 0.02t
TABELLA 1
Anno
Popolazione
(milioni)
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
1650
1750
1860
2070
2300
2560
3040
3710
4450
5280
6070
ESEMPIO 1 Assumendo che il tasso di crescita sia proporzionale alla popolazione, usare
i dati della Tabella 1 per costruire un modello della popolazione del ventesimo secolo.
Quanto vale il tasso di crescita relativo? Quanto il modello si avvicina ai dati effettivi?
SOLUZIONE Misuriamo il tempo t in anni e supponiamo che t = 0 corrisponda all’anno
1900. Misuriamo la popolazione P(t) in milioni di abitanti. Allora la condizione iniziale è P(0) = 1650. Stiamo assumendo che il tasso di crescita sia proporzionale alla
popolazione, dunque il problema ai valori iniziali è
dP
kP
dt
P0 1650
Dalla (2) sappiamo che la soluzione è
Pt 1650e kt
Un modo per stimare il tasso di crescita relativo k è quello di usare il fatto che la popolazione nel 1910 era di 1750 milioni di individui. Perciò
P10 1650e k10 1750
Risolviamo questa equazione rispetto a k:
e 10k k
1750
1650
1
1750
ln
0.005884
10
1650
Dunque il tasso di crescita relativo è circa del 6% all’anno e il modello diventa
Pt 1650e 0.005884t
La Tabella 2 e la Figura 1 permettono di confrontare le previsioni del modello con i
dati effettivi. Si può notare che le previsioni diventano piuttosto imprecise dopo 30
anni e sottostimano i dati reali di un fattore superiore a 2 nel 2000.
TABELLA 2
Anno
Modello
Popolazione
(milioni)
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
1650
1750
1856
1969
2088
2214
2349
2491
2642
2802
2972
1650
1750
1860
2070
2300
2560
3040
3710
4450
5280
6070
P
6000
Popolazione
(milioni)
P=1650e 0.005884t
20
40
60
80
100
t
Anni a partire dal 1900
FIGURA 1 Un possibile modello per la crescita della popolazione mondiale
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30
■
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Un’altra possibilità per stimare k è quella di usare il valore della popolazione relativo all’anno 1950 invece del 1910. Allora
P50 1650e 50k 2560
k
▲ Nel volume Funzioni di una variabile,
Paragrafo 1.5, abbiamo modellizzato gli
stessi dati con una funzione esponenziale,
ma in quel caso avevamo usato il metodo
dei minimi quadrati.
1
2560
ln
0.0087846
50
1650
La stima del tasso di crescita relativo è ora lo 0.88% annuo e il modello è
Pt 1650e 0.0087846t
Le previsioni secondo questo modello sono riportate in Tabella 3 e in Figura 2. Questo modello esponenziale è più accurato sul lungo periodo, ma anch’esso si arresta su
valori inferiori alla crescita reale nel periodo più recente.
TABELLA 3
P
Anno
Modello
Popolazione
(milioni)
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
1650
1802
1967
2148
2345
2560
2795
3052
3332
3638
3972
1650
1750
1860
2070
2300
2560
3040
3710
4450
5280
6070
6000
Popolazione
(milioni)
P=1650e 0.0087846t
20
40
60
80
100
t
Anni a partire dal 1900
FIGURA 2 Un altro modello per la crescita della popolazione mondiale
ESEMPIO 2
Usare i dati riportati in Tabella 1 per modellizzare la popolazione mondiale nella seconda metà del ventesimo secolo. Usare il modello per stimare il valore
della popolazione nel 1993 per prevedere la popolazione nell’anno 2010.
SOLUZIONE Poniamo t = 0 in corrispondenza del 1950. Allora il problema ai valori ini-
ziali è
dP
kP
dt
P0 2560
e la soluzione corrispondente è
Pt 2560e kt
Stimiamo k usando la popolazione del 1960:
P10 2560e 10k 3040
k
1
3040
ln
0.017185
10
2560
Il tasso di crescita relativo è di circa l’1.7% annuo e il modello è
Pt 2560e 0.017185t
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PARAGRAFO 1.4 CRESCITA E DECADIMENTO ESPONENZIALE
◆
31
Stimiamo come popolazione nel 1993:
P43 2560e 0.01718543 5360 milioni
Il modello prevede che la popolazione nel 2010 sarà
P60 2560e 0.01718560 7179 milioni
Il grafico in Figura 3 mostra che il modello è inizialmente accurato, e la stima relativa
al 1993 è abbastanza realistica. La previsione per il 2010 è più azzardata.
P
6000
P=2560e 0.017185t
Popolazione
(milioni)
FIGURA 3
20
Un modello per la popolazione mondiale
nella seconda metà del ventesimo secolo
40
t
Anni a partire dal 1950
Decadimento radioattivo
Le sostanze radioattive decadono emettendo spontaneamente radiazioni. Se m(t) è la
massa residua di una massa iniziale m0 di sostanza radioattiva dopo il tempo t, allora
si trova sperimentalmente che il tasso di decadimento relativo
1 dm
m dt
è costante. (Poiché dm/dt è negativo, il tasso di decadimento relativo è positivo.) Ne
segue che
dm
km
dt
dove k è una costante negativa. In altre parole, le sostanze radioattive decadono a una
velocità proporzionale alla massa residua. Questo significa che possiamo usare la (2)
per mostrare che la massa decade esponenzialmente:
mt m0 e kt
I fisici esprimono il tasso di decadimento in termini di tempo di dimezzamento, il
tempo richiesto per il decadimento di metà di una data quantità.
Il tempo di dimezzamento del radio 226 ( .226
88 Ra) è di 1590 anni.
(a) Un campione di radio 226 ha massa pari a 100 mg; trovare una formula per la
massa di .226
88 Ra che rimane dopo t anni.
ESEMPIO 3
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CAPITOLO 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
(b) Trovare la massa residua dopo 1000 anni arrotondando al milligrammo.
(c) Quando la massa sarà ridotta a 30 mg?
SOLUZIONE
(a) Sia mt la massa di radio 226 (in milligrammi) dopo t anni. Allora dmdt km
e y0 100, dunque la (2) dà
mt m0e kt 100e kt
Per determinare il valore di k, usiamo il fatto che y1590 12 100. Perciò
100e 1590k 50
da cui
e 1590k 12
1590k ln 12 ln 2
e
k
ln 2
1590
mt 100eln 21590t
Pertanto
Potremmo usare il fatto che e ln 2 2 per scrivere l’espressione per m(t) nella forma
alternativa
mt 100 2 t1590
(b) La massa dopo 1000 anni è
m1000 100eln 215901000 65 mg
(c) Vogliamo trovare il valore di t tale che mt 30, cioè
100eln 21590t 30
ossia
eln 21590t 0.3
Risolviamo questa equazione in t prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri:
150
ln 2
t ln 0.3
1590
m=100e _(ln 2)t/1590
Dunque
t 1590
ln 0.3
2762 anni
ln 2
m=30
0
FIGURA 4
4000
Come verifica del lavoro fatto nell’Esempio 3 usiamo un dispositivo grafico per
disegnare il grafico di m(t) come in Figura 4 assieme alla retta orizzontale m = 30.
Queste curve si intersecano per t 2800, in accordo con la parte (c) dell’esempio.
Interessi composti continui
ESEMPIO 4 Se 1000 € vengono investiti al 6% d’interesse annuo, dopo un anno il mon-
tante è 1000 × 1.06 = 1060 €, dopo 2 anni è [1000 × 1.06] × 1.06 = 1123.60 €, e dopo
t anni vale 10001.06t €. In generale, se una cifra A0 viene investita a un tasso d’interesse r (in questo esempio r = 0.006), dopo t anni essa diventa A01 rt. Di solito,
però, l’interesse viene calcolato più frequentemente, diciamo n volte l’anno. Allora in
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PARAGRAFO 1.4 CRESCITA E DECADIMENTO ESPONENZIALE
◆
33
ogni periodo il tasso d’interesse è r/n; ci sono nt periodi in t anni, in modo che il valore
del capitale diventa
nt
r
n
A0 1 Per esempio, dopo 3 anni al 6% d’interesse, 1000 € diventano
1000(1.06)3 € = 1191.02 €
con interesse composto annualmente
1000(1.03)6 € = 1194.05 €
con interesse composto semestralmente
1000(1.015)12 € = 1195.62 €
con interesse composto ogni quattro mesi
1000(1.005)36 € = 1196.68 €
con interesse composto mensilmente
1000 1 0.06
365
365 3
€ = 1197.20 €
con interesse composto giornalmente
Notiamo che l’interesse pagato cresce al crescere di n l , per cui l’interesse verrà
corrisposto in modo continuo e il valore del capitale diventerà
At lim A0 1 nl
nt
r
n
lim A0
nl
A0 lim
1
r
n
A0 lim
1
1
m
nl
ml
nr
rt
m
rt
1
r
n
nr
rt
(dove m nr)
Sappiamo che il limite in questa espressione è pari al numero e. Dunque, nel caso di
interesse composto continuo al tasso r, il capitale dopo t anni è
At A0 e rt
Se deriviamo l’equazione, otteniamo
dA
rA0 e rt rAt
dt
cioè, nel caso di interesse composto continuo, il tasso di crescita del capitale è proporzionale al capitale stesso.
Tornando all’esempio dei 1000 € investiti per 3 anni al 6%, il valore del capitale
nel caso di interesse composto continuo diventerebbe
A3 1000e 0.063 1000e 0.18 1197.22 €
Notiamo quanto sia vicino al valore ottenuto con interesse corrisposto giornalmente,
1197.20 €. Ma è sicuramente più facile calcolare l’ammontare totale del capitale
usando l’interesse continuo.