Esercizio 1 Dati v = ,w = ∈ R4 , dire, giustificando la risposta, se
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Esercizio 1 Dati v = ,w = ∈ R4 , dire, giustificando la risposta, se
G EOMETRIA A NALITICA E A LGEBRA L INEARE – A . A . 2014/2015 C ORSO DI LAUREA TRIENNALE IN I NGEGNERIA A EROSPAZIALE E SERCIZI AGGIUNTIVI – 11 Esercizio 1 1 1 0 1 Dati v = ( 10 ) , w = ( 00 ) ∈ R4 , dire, giustificando la risposta, se esiste una forma bilineare non degenere g ∶ R4 × R4 → R tale che g(v, v) = g(w, w) = g(v, w) = 0. Esercizio 2 Sia g∶ R4 × R4 → R l’applicazione bilineare tale che αE (g) = ( 0 1 0 −1 1 0 −1 0 0 −1 0 1 −1 0 ). 1 0 Si calcoli la dimensione di ker(g). Inoltre, per ogni t ∈ R, siano 1 −1 ) , w = ( vt = ( 2+t t −1 0 1 0 ) 2 t +t+1 ∈ R4 . Si determinino i valori di t per cui il sottospazio ⟨vt , wt ⟩ generato da vt e wt è contenuto in ker(g), e si trovi inoltre un valore t0 di t tale che g(vt0 , wt0 ) = 0 e {vt0 , wt0 } si estende ad una base g –ortogonale di R4 . Prima di fare gli esercizi seguenti si rammenti che, se V è uno spazio vettoriale reale di dimensione finita, g ∶ V × V → R è un’applicazione bilineare con nucleo N di dimensione d0 e V = W ⊕ N , la segnatura di g è la terna (d+ , d− , d0 ), dove (d+ , d− ) è la segnatura di g∣W ×W . Esercizio 3 1 0 Posto v = ( 0 ) e w = ( 0 ), dire, giustificando la risposta, se esiste un’applicazione bilineare simmetrica 0 1 g ∶ R3 × R3 → R di segnatura (1, 1, 1) tale che g(v, v) = g(w, w) = g(v, w) = 0. Esercizio 4 Sia q∶ R3 → R la forma quadratica data da x q (( yz )) = 4xy − y 2 + 2xz. Determinare la matrice, rispetto alla base canonica, della forma bilineare simmetrica g associata a q , calcolarne la segnatura e trovare una base di R3 ortogonale rispetto a g . Esercizio 5 Sia g la forma bilineare simmetrica su R4 che corrisponde alla forma quadratica x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 . Si determini la segnatura di g e la segnatura della restrizione di g al sottospazio W = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 ∣ x1 + x2 + x3 + x4 = 0}. S OLUZIONI . Esercizio 1 0 0 0 1 Una tale g esiste. Infatti, posto u1 ∶= v , u2 ∶= w , u3 ∶= ( 01 ), u4 ∶= ( 00 ), U = {u1 , u2 , u3 , u4 } è una base di 0001 R . Definiamo g come l’unica applicazione bilineare simmetrica su R4 tale che αU (g) = ( 00 01 10 00 ). Poiché 4 1000 αU (g) è non singolare, g è non degenere e soddisfa le proprietà richieste. Esercizio 2 ker(g) risulta definito dalle equazioni cartesiane x1 = x3 , x2 = x4 , che sono ovviamente indipendenti. Dunque 0 dim ker(g) = 2. Inoltre, posto A = αE (g), si ha Avt = ( −1−t 0 ) e Awt = ( 1+t −t2 −t 0 ), t2 +t 0 per cui Avt = Awt = 0 se e solo se t = −1. Dunque ⟨vt , wt ⟩ ⊆ ker(g) se e solo se t = −1. Un semplice calcolo mostra che g(vt , wt ) = t(1 + t)2 , che si annulla se e solo se t ∈ {0, −1}. Quindi l’insieme {vt , wt } può estendersi ad una base g – ortogonale solo se t = 0 o t = −1. Se t = −1, i vettori v1 , w1 , essendo evidentemente linearmente indipendenti, danno una base di ker(g), per cui se W è un sottospazio di R4 tale che R4 = ker(g) ⊕ W e i vettori u, z sono una base g –ortogonale di W , allora {v1 , w1 , u, z} sarà la base g –ortogonale voluta. Il valore t = 0 non funziona. Infatti, è immediato verificare che si ha g(v0 , v0 ) = 0, ma v0 ∉ ker(g), e ciò implica che v0 non può far parte di alcuna base ortogonale di R4 rispetto a g . Infatti, se v0 facesse parte di una tale base B , allora v0 sarebbe ortogonale sia a se stesso sia a tutti gli altri elementi di B , per cui sarebbe ortogonale a tutti i vettori di R4 , e dovrebbe pertanto appartenere a ker(g). Esercizio 3 Tale g esiste. I vettori v e w sono indipendenti, pertanto la coppia ordinata (v, w) può essere completata ad 0 una base B di R3 . Possiamo completarla, ad esempio, col vettore u ∶= ( 1 ). Sia allora g l’unica applicazione 0 000 bilineare tale che αB (g) = ( 0 0 1 ). Per costruzione, g(v, w) = g(w, w) = g(v, w) = 0. Inoltre, nella base √ 010 √ 00 0 {v, (w + u)/ 2, (w − u)/ 2} ha matrice ( 0 1 0 ), quindi e quindi g ha segnatura (1, 1, 1). 0 0 −1 Esercizio 4 0 2 1 Dai coefficienti che appaiono in q si ricava immediatamente αE (g) = ( 2 −1 0 ). Poiché questa matrice è non 1 0 0 singolare, g è non degenere. Applicando il procedimento di Gram–Schmidt alla base {v1 = e2 , v2 = e1 , v3 = e3 } 0 1 −1/4 0 0 1 si ottiene la base ortogonale {( 1 ) , ( 2 ) , ( −1/2 )}, sui cui vettori q prende i valori (−1, 4, −1/4). Dunque la segnatura di g è (1, 2, 0). Esercizio 5 x1 Poiché su W vale la relazione x4 = −x1 − x2 − x3 , un vettore di W ha vettore delle coordinate ( xx2 ) nella base W = {w1 = 1 ( 00 ) , w2 −1 = 0 ( 10 ) , w3 −1 = 0 ( 01 )}, −1 3 e la restrizione di g a W ha forma quadratica associata x1 x2 + x2 x3 − (x3 + x1 )(x1 + x2 + x3 ) = −x21 − 2x1 x3 − x23 , −1 0 −1 dunque la restrizione di g a W ha matrice ( 0 0 0 ) nella base W , e matrice ( 0 0 0 ) nella base W ′ = −1 0 −1 0 0 −1 {w2 , w1 − w3 , w3 }. Questo mostra che la restrizione di g a W ha segnatura (0, 1, 2). Dalla forma quadratica ⎛ 0 1/2 0 1/2 ⎞ 1/2 0 1/2 0 si deduce che la matrice di g nella base canonica è G = ⎜ 0 1/2 0 1/2 ⎟ , che ha rango 2. Quindi ker(g) ha ⎝ 1/2 0 1/2 0 ⎠ dimensione due, e si vede subito che coincide con ⟨w2 , w1 − w3 ⟩. Per calcolare la segnatura di g vogliamo ottenere una base g –ortogonale di R4 completando la base W ′ tramite un vettore g –ortogonale a w3 , ovvero 00 0 x1 0 x4 1 un vettore v = ( xx23 ) tale che −x1 + x2 − x3 + x4 = 0. Ad esempio, possiamo aggiungere w4 = ( 01 ) a W ′ . Il fatto che g(w4 , w4 ) = 1 > 0 ci dice che la segnatura di g è (1, 1, 2).