Esercizi sul calcolo combinatorio Archivo - e-Learning

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Calcolo combinatorio
Esercizio 81. In una partita a poker in cui il mazzo ha 32 carte: 4 semi e per ogni seme 8
valori (A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7), quante mani contengono un tris, ma non un gioco migliore (full
o poker)? quante mani contengono una doppia copia, ma non un gioco migliore (full o poker)?
Calcolare anche il numero di mani possibili e confrontare la probabilità di avere un tris con quella
di avere una doppia copia.
Risultato. Il numero di mani che contengono un tris (ma non un gioco migliore) è 10.752. Il
numero di mani che contengono una doppia copia (ma non un gioco migliore) è 24.192. Poiché il
10.752
≈ 0.05339 ≈ 5.3%
numero totale di mani è 201.376, la probabilità di avere un tris servito è 201.376
24.192
mentre la probabilità di avere una doppia copia servita è 201.376 ≈ 0.120133 ≈ 12.0%. Notare che
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la probabilità di avere un poker servito è 201.376
≈ 0.00111 ≈ 0.1%.
Esercizio 82. In una gara di 35 concorrenti, di 7 nazioni diverse, 5 per nazione, quante classifiche
possibili per nazione vi sono, per i primi 5 posti?
Esercizio 83. Quante diagonali ha un poligono convesso di n lati?
Esercizio 84. Se una fila del cinema ha 13 posti e ci sono 9 persone, in quanti modi si possono
disporre?
Esercizio 85. In quanti modi 3 amici possono sedersi in una fila di 15 posti al cinema, stando
vicini tra loro?
Esercizio 86. In quanti modi 12 automobili che arrivano a uno snodo autostradale possono
distribuirsi in 3 direzioni diverse? Distinguere i 2 casi?
i) le auto si considerano tutte uguali;
ii) le auto si considerano tutte diverse.
Esercizio 87. Qual’è la probabilità che in una classe di 30 studenti almeno due compiano gli anni
nello stesso giorno?
Risultato. 0.706 . . .
Esercizio 88. Dati 5 punti nel piano non allineati 3 a 3, dire quanti triangoli si possono formare
con vertici nei punti assegnati.
5×4×3
Risultato. C5,3 = 53 = 3×2×1
= 10.
Esercizio 89. Quante classifiche diverse si possono formare con 5 concorrenti A, B, C, D, E
nelle quali E segua sia A che B?
Risultato. 40.
Esercizio 90. Quante sono le possibili sigle di 3 lettere con ripetizione scelte tra A, T, M, R
nelle quali la lettera T o non compare o compare esattamente 2 volte?
Risultato. 36.
Esercizio 91. Dati 10 giocatori di tennis, quante partite diverse di singolo possono giocare?
Quante partite diverse di doppio?
Risultato. 45, 630.
Esercizio 92. Dati 100 giocatori di calcio, quante partite diverse possono giocare?
22
27
Risultato. 21 · 100
22 · 11 = 2586137303472322208647147200 ≈ 2.6 · 10 .
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Esercizio 93. Utilizzando il simbolo di fattoriale esprimere il prodotto dei primi n numeri naturali
pari.
Esercizio 94. Determinare il valore del parametro reale α ∈ R in modo tale nello sviluppo della
seguente potenza:
6
1
2
3αy −
,
2y
il coefficiente non contenente la y sia 15.
Risultato. α = ± 34 .
Esercizio 95. Determinare il coefficiente di x3 nello sviluppo del seguente binomio
6
x
2
.
−
3x2
4
Esercizio 96. Nello sviluppo del seguente binomio
9
2
x
+y ,
3
determinare il valore del coefficiente del termine in cui le variabili x e y hanno la stessa potenza.
Soluzione. Sviluppando il binomio si ottiene
x2
+y
3
9
=
9 2 k
X
9
x
k=0
k
3
y
9−k
9 X
9 1 2k 9−k
x y
.
=
k 3k
k=0
La variabile x ha la stessa potenza della variabile y nel termine in cui si ha 2k = 9 − k, cioè nel
termine corrispondente al valore k = 3. Il coefficiente di tale termine è
9×8×7
28
1
9 1
=
× 3 =
.
3×2×1
3
9
3 33
Risultato.
28
9 .
Esercizio 97. Calcolare il coefficiente di x10 nello sviluppo della seguente potenza
7
2x − x2 .
Risultato. −560.
Esercizio 98. In quanti modi 8 persone si possono sedere in una fila di 10 sedie?
Risultato. 10
8 · 8! = 1814400.
Esercizio 99. Dimostrare che per ogni n ∈ N con n ≥ 3 vale
n
2n − 1 n
n+1
.
+
=
3
2
3
3
Risultato. n = 8.
Esercizio 100. Trovare tutti i possibili valori n ∈ N tali che sia soddisfatta
n
n
n
= −3
+2
.
2
2
3
Esercizio 101. Esprimere usando il simbolo di fattoriale il prodotto dei primi n numeri naturali
dispari.
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Esercizio 102. Sviluppare
5
4
2x + 2
x
e mostrare che manca il termine di primo grado in x.
Esercizio 103. Trovare il valore di α ∈ R per cui nello sviluppo di
1
− αx3
x
8
,
il termine di grado zero in x sia uguale a 7.
Soluzione. Sviluppando la potenza del binomio si ottiene
1
− αx3
x
8
=
8 k
X
8
1
k=0
k
x
3 8−k
−αx
=
8 X
8
k=0
k
(−α)8−k x24−4k .
Il termine di grado zero corrisponde al valore di k per cui si ha 24 − 4k = 0, cioè k = 6. Il
coefficiente corrispondente è dato da
8×7 2
8
8 2
8−6
(−α)
=
α =
α = 28α2 .
6
2
2×1
Tale coefficiente è uguale a 7 se 28α2 = 7, cioè α = ± 12 .
Risultato. α = ± 21 .
Esercizio 104. Dimostrare che
Pn2
= Pn+1 − Pn
Pn−1
dove Pn è il numero di permutazioni diverse che si possono ottenere con n oggetti diversi.
Esercizio 105. Dato lo sviluppo della seguente potenza
1
x − 2y 2
2
9
determinare il coefficiente del termine in cui le variabili x e y hanno la stessa potenza.
Esercizio 106. Sette amici di cui solo tre possono guidare fanno una gita usando due automobili
che possono portare rispettivamente 4 e 5 persone (autista incluso). In quanti modi diversi possono
disporsi (due modi si considerano diversi se è diverso un autista o se è diversa la distribuzione
degli amici tra le due automobili. Non importa il posto in cui i passeggeri sono seduti all’interno
della stessa automobile)?
Risultato. D3,2 · 53 + 52 + 51 = 150.
Esercizio 107. Trovare il coefficiente di grado zero nello sviluppo della seguente potenza:
8
1
5
x − 3
.
x
Risultato. 56.
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