clicca - StudioMatematica
Transcript
clicca - StudioMatematica
Dagli insiemi al calcolo combinatorio Il calcolo combinatorio è una parte della matematica che si occupa di contare gli elementi di un insieme finito, ottenuto a partire da altri insiemi, dei quali si conosce il numero di elementi . Esempio 1: quanti sono i numeri compresi tra 1 e 100 che sono multipli di 3 o di 5? I multipli di 3 sono 33, i multipli di 5 sono 20; però la risposta al problema non è 33+20, perché da questa somma dobbiamo togliere i numeri che sono multipli sia di 3 che di 5, cioè i multipli di 15, che da 1 a 100 sono 6. La soluzione è quindi 33+206=47. Il risultato dell’esempio può essere generalizzato: se A ha n elementi e B m elementi, e AB ha p elementi, allora AB ha m+n-p elementi. Vediamo un altro esempio. Esempio 2: quante coppie diverse possiamo ottenere a partire da un insieme costituito da 8 persone? Indichiamo con p1,p2,..p8 le persone. Le coppie possibili saranno (p1,p2), (p1,p3),.., (p1,p8) (8 coppie con p1); poi (p2,p3),.. (p2,p8) (7 coppie con p2); quindi 6 coppie con p3, ecc. fino all’ultima coppia, (p7,p8). In totale 1+2+3+..+8=28 coppie. n! Generalizziamo anche questo problema. Introduciamo un nuovo numero, lo indichiamo con “n!” e lo chiamiamo “n fattoriale”: rappresenta il prodotto di tutti i numeri da 1 a n. Ad esempio 4!=1∙2∙3∙4=24. Introduciamo ancora un altro numero, che indichiamo con frazione e che è dato dalla . Lo chiamiamo coefficiente binomiale. Ad esempio . Combinazioni semplici Il numero rappresenta le “combinazioni semplici di n oggetti presi k a k” (o combinazioni semplici di classe k), cioè i modi possibili di raggruppare gli n elementi di un insieme in sottoinsiemi formati da k elementi. Gli elementi dell’insieme dell’esempio 2, possono essere anche contati come Esercizio 1. Quanti possibili incontri si possono prevedere in un torneo di ping-pong al quale partecipano 4 giocatori? Soluzione. Indicati con A,B,C,D i quattro giocatori, si possono avere gli incontri: A, B, A, C, A, D, B, C, B, D, C, D. Quindi le partite sono 6. Esercizio 2. In un torneo di tennis, 8 persone decidono di giocare degli incontri di doppio (cioè 2 contro 2), in tutti i modi possibili. Quanti incontri ci sono nell’intero torneo? (Olimpiadi della Matematica, Gara Senior, 1993) Soluzione. Si possono scegliere 4 giocatori (di una partita di doppio) tra 8 persone in 8 70 modi differenti. I quattro giocatori, una volta scelti, possono incontrarsi in 3 4 modi diversi, per disputare quindi 3 partite. Allora la soluzione del problema è 70x3=210 incontri. Esercizio 3. Quanti numeri di quattro cifre si possono formare in modo che la cifra delle migliaia sia minore di quella delle centinaia, a sua volta minore di quella delle decine, che infine deve essere minore di quella delle unità? Soluzione. Si tratta di contare quanti sottoinsiemi di 4 elementi possiede un insieme di 9 elementi (le cifre da 1 a 9; lo 0 non si prende in considerazione perché la prima cifra di un numero non può essere zero e quindi non possono essere zero nemmeno la cifra delle centinaia, quella delle decine e quella delle unità, per i vincoli imposti 9 dal problema). Quindi il risultato è 126 . 4 Esercizio 4. Quante schedine è necessario giocare al superenalotto per essere certi di fare 6? 90 Soluzione. Occorre giocare 622614630 schedine. 6 Esercizio 5. In quanti modi diversi un’insegnante può scegliere 2 alunni da interrogare, in una classe di 23 alunni? 23 Soluzione. In 253 modi. 2 Esercizio 6. In quanti modi diversi possono essere distribuite 5 carte nel gioco del poker? Soluzione. Il mazzo da poker ha 52 carte. Quindi 5 carte si possono distribuire in 52 2598960 modi differenti. 5 Esercizio 7. Dati 10 punti nel piano, a tre a tre non allineati, quante sono le rette che li congiungono 2 a 2? 10 10! 45 . Soluzione. Sono 2 2!8! Esercizio 8. Quante sono al gioco del lotto le possibili cinquine su una ruota? 90 90! Soluzione. Sono 43949268 . 5 5!85! Esercizio 9. Quante partite di scacchi diverse possono giocare 5 amici? 5 Soluzione. Sono 10 . 2 Esercizio 10. Si vuole formare una squadra composta da tre femmine e due maschi. Le femmine vengono scelte in un gruppo di 10 e i maschi in un gruppo di 8. In quanti modi diversi può essere formata la squadra? 10 10! 8 9 10 Soluzione. Le femmine possono essere scelte in 4 3 10 120 modi 23 3 3!7! 8 8! 7 8 diversi, mentre i maschi in 28 modi. Complessivamente le squadre 2 2 2!6! diverse possono essere allora 120∙28=3360.