Matematica e didattica della matematica

Matematica e didattica della matematica
Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria
Docente: Ana Millán Gasca
APPENDICE A
PARTIZIONI DI UN INSIEME E RELAZIONI DI EQUIVALENZA
«L’aspetto più importante della matematica non è la sua
correttezza, ma la sua bellezza. Qualcuno ha detto che “l’arte è
un modo di espressione attraverso un mezzo resistente”: ad
esempio la scultura attraverso la pietra. La logica è solo il mezzo
resistente attraverso qui si esprime quella forma d’arte che è la
matematica.»
Robert Aumann1
SOMMARIO: A.1. Insiemi e sottoinsiemi. A.2 Operazioni insiemistiche. A.3 Insiemi infiniti. A.4
Relazioni di equivalenza e partizione di un insieme.
Bibliografia: P. BORRIELLO, P. MAGRONE, Argomenti di matematica per filosofia, cap. 1; GARY L.
MUSSER, WILLIAM F. BURGER, BLAKE E. PETERSON, Mathematics for the elementary teacher: A
contemporary approach, New York, John Wiley, 2005 (7 ed.)
A.1 Insiemi e sottoinsiemi
In matematica si considerano molti insiemi. Vi sono innanzitutto gli insiemi numerici, quali
l’insieme N dei numeri naturali, oppure l’insieme Z dei numeri naturali, lo zero e i numeri negativi
(Z è l’iniziale di zahl, che significa in tedesco numero; si chiama l’insieme dei numeri interi). Ma
possiamo anche considerare insiemi geometrici, come l’insieme di tutte le rette del piano o di tutti i
cerchi del piano.
L’idea d’insieme è stata introdotta nella matematica per esplorare i suoi fondamenti, ossia nel
tentativo di cercare idee ancora più semplici e basilari di quella di numero naturale e delle
operazioni fra numeri naturali. Essa è stata introdotta anche per esplorare l’idea di infinito,
chiarendo questioni come quella di confrontare l’infinito dei numeri naturali, l’infinito dei numeri
interi oppure l’infinito dei punti della retta.
L’idea di insieme aveva le sue radici nei concetti o idee studiati dalla logica classica. Ad
esempio, se si considera il concetto “uomo”, noi possiamo considerare l’insieme di tutti gli uomini.
Oppure se consideriamo l’idea “triangolo”, possiamo considerare l’insieme di tutti i triangoli.
1
Robert Aumann e Thomas Schelling hanno ricevuto il premio Nobel per l’economia nel 2005 "per
aver migliorato la nostra comprensione del conflitto e della cooperazione attraverso le analisi della
teoria dei giochi".
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
Ana Millán Gasca
Oppure ancora la proprietà “essere multiplo di 3” e l’insieme corrispondente. Tuttavia, questa idea
classica applicata alla matematica portò all’emergere dei paradossi della teoria degli insiemi.
Per evitare i paradossi, la teoria degli insiemi è stata ricostruita in modo assiomatico grazie al
lavoro di Ernst Zermelo e Frankel. La teoria assiomatica degli insiemi non da una definizione di
insieme, ma lo usa come concetto primitivo, vale a dire, tutto ciò che dobbiamo sapere sugli insiemi
è fornito da alcuni assiomi, formulati in modo tale da evitare i paradossi.
La teoria degli insiemi è divenuta così una branca della matematica. Alcuni matematici hanno
continuato a lavorare all’idea che la teoria degli insiemi fosse la base di tutta la matematica, e
quindi hanno anche proposto di introdurla nella matematica elementare, che rappresenta “l’inizio
della matematica”, in sostituzione della geometria elementare. Questa idea è stata parzialmente
applicata e ha suscitato molte critiche.
La teoria degli insiemi fornisce alcuni concetti e un linguaggio (appartenenza, sottoinsieme,
unione, intersezione, prodotto cartesiano, partizione e relazione di equivalenza) e una simbologia
oggi adoperata comunemente nel fare e nello scrivere i teoremi della matematica.
Insieme vuoto
Si chiama insieme vuoto, e si scrive " , l’insieme che non contiene alcun elemento.
Estensione
Per individuare un insieme dobbiamo indicare quali sono i suoi elementi. In primo luogo,
!
possiamo usare una descrizione verbale come quella degli esempi introdotti prima. In secondo
luogo, possiamo descrivere un insieme per estensione o elencazione indicando fra parentesi graffe i
suoi elementi separati da virgole, ad esempio:
C = {♣,♦,♥,♠,Ο}
Ricordiamo che se descriviamo un insieme per estensione possiamo disporre gli elementi in
qualsiasi ordine, e devono comparire una volta sola, proprio perché ciò che definisce un insieme è
l’appartenenza.
Osservazione importante: per individuare un insieme non è necessario che vi sia una proprietà
comune a tutti i suoi elementi (la proprietà comune è in realtà l’appartenenza stessa all’insieme). Si
rende qui evidente la tendenza alla generalizzazione e all’astrazione che è la forza del discorso
matematico.
DEFINIZIONE A.1 Dato un insieme A, diciamo che un insieme S è un sottoinsieme di A se tutti i suoi
elementi appartengono ad A; scriviamo allora ( S " A ) e diciamo che S è contenuto in A.
ESEMPIO A.1 Se consideriamo tutti i bambini che frequentano una certa scuola dell’infanzia, i bambini della
sezione A ne costituiscono un sottoinsieme. Le persone residenti a Torino sono un sottoinsieme dell’insieme
! sottoinsieme di questo ultimo insieme è costituito dai bambini
delle persone residenti in Italia; un altro
minori di tre anni residenti in Italia. L’insieme
D = {♠,♣}
è un sottoinsieme dell’insieme C = {♣,♦,♥,♠,Ο}.
ESEMPIO A. 2. L’insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell’insieme dei numeri interi (N " Z). I
seguenti insiemi, sono sottoinsiemi di N?
!
2
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
{1,2,3}
{1,2,3,4}
{1,2,3,4,5}
I pari formano un sottoinsieme di N, come anche i dispari. L’aritmetica studia molti di questi sottoinsiemi,
come i primi, oppure i multipli di tre.
!
DEFINIZIONE A. 2 (Uguaglianza di insiemi) Due insiemi A e B sono uguali ( A = B ) se hanno gli
stessi elementi.
Quindi, per dimostrare che due insiemi sono uguali, bisogna dimostrare che ogni elemento di
!
A appartiene a B e ogni elemento di B appartiene a A ( A " B e B " A ).
ESEMPIO A.3 Nella lezione 5 abbiamo dimostrato, in una divisione con resto, l’insieme dei divisori di
dividendo e divisore è uguale all’insieme dei divisori del divisore e il resto della divisione.
!
!
Insieme delle parti di un insieme universo U
Nel rapporto di un insieme con i suoi sottoinsiemi possiamo esprimere l’idea di
classificazione all’interno di un universo. Quando si studiano i sottoinsiemi di un insieme di
riferimento U, esso viene spesso indicato come insieme universo. Bisogna però, per rendere tale
idea più chiara, aggiungere altre definizioni.
Ogni insieme ha almeno due sottoinsiemi, che sono chiamati insiemi impropri: l’insieme
vuoto e sé stesso (anche qui ritroviamo modi di pensare tipici della matematica, se si pensa ai due
divisori “scontati” che ha ogni numero, sé stesso e 1). Ogni altro sottoinsieme è detto proprio.
La famiglia dei sottoinsiemi di un insieme U è a sua volta un insieme, detto insieme delle
parti o insieme potenza, e si indica con ℘(U).
Determinazione di un insieme indicando una proprietà dei suoi elementi
Un insieme è descritto per comprensione o per caratteristica se indichiamo una proprietà
comune a tutti gli elementi dell’insieme e ad essi soli.
ESEMPIO A.4. È questo ciò che facciamo quando consideriamo ad esempio l’insieme S delle persone
residenti in Italia maggiori di sessant’anni”: l’insieme universo è formato dai cittadini italiani, e il predicato è
“x ha più di sessant’anni”. Se consideriamo il presidente della Repubblica italian, egli appartiene a S perché
la proposizione “il presidente della Repubblica ha più di sessant’anni” è vera.
Consideriamo un insieme universo U. Spesso in matematica non ci interessa considerare uno
specifico elemento di U, bensì un elemento di U scelto ad arbitrio: si dice allora che questo
elemento è una variabile nel dominio U e si indica con una lettera minuscola (come x, y, z oppure
n,m). Ad esempio, se il nostro insieme universo è l’insieme dei numeri naturali N, per lo più non ci
interessa parlare del numero 17 bensì di un numero qualsivoglia n in N. Oppure, se l’insieme
universo è l’insieme di tutte le rette del piano, allora indichiamo con x una retta scelta a piacere. Un
ultimo esempio: se in un’indagine dell’ISTAT l’insieme universo è l’insieme di tutte le persone
residenti in Italia, allora x indicherà una persona qualsiasi residente in Italia.
Supponiamo di avere una proprietà P, allora possiamo considerare l’insieme A di tutti gli
elementi di U che godono di tale proprietà. Scegliamo quindi un elemento qualsiasi x in U, se esso
verifica la proprietà scriviamo P(x) e quindi esso è uno degli elementi di A:
A = { x " U : P ( x )}
!
3
!
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
Ana Millán Gasca
Nota: Il simbolo : significa “tale che”; si può anche usare il simbolo /
ESEMPIO A.5. Fra tutti i numeri naturali, i numeri pari sono quelli che godono della proprietà di “essere
multipli di 2” o detto in altro modo “essere divisibile per 2”. In questo caso l’insieme universo è N; se n è un
numero naturale pari deve esser un numero fatto così: 2 " k . Quindi tale proprietà individua per
comprensione l’insieme P:
P = {n " N : n = 2 # k }
!
A.2 Operazioni insiemistiche
!
Considerato un insieme universo U, fra i suoi sottoinsiemi si possono definire delle
operazioni.
DEFINIZIONE A. 3 Dati A,B " U , si chiama insieme unione di A e B l’insieme degli elementi che
appartengono ad A oppure a B. Possiamo scrivere questa definizione simbolicamente
A " B = { x # U : x # A o x # B}
!
DEFINIZIONE A. 4 Dati A,B " U , si chiama insieme intersezione di A e B l’insieme degli elementi
che appartengono ad A e!anche B. Possiamo scrivere questa definizione simbolicamente
A " B = { x # U : x # A e x # B}
!
Due insiemi si dicono disgiunti se la loro intersezione è l’insieme vuoto.
! l’unione di due insiemi a parole abbiamo usato le parole “oppure”, “o” nel
Osservazione: per definire
senso che x sta almeno in uno dei due insiemi, ma può appartenere ad entrambi.
In altre parole, gli elementi che appartengono sia a uno che all’altro insieme appartengono anch’essi
all’insieme unione: A " B # A $ B .
DEFINIZIONE A. 5 Dati A,B " U , si chiama insieme differenza di A e B l’insieme degli elementi che
! ad A ma non a B. Possiamo scrivere questa definizione simbolicamente
appartengono
A – B = { x " U : x " A e x # B}
!
DEFINIZIONE A. 6. Dato A " U , si chiama insieme complementare di A in U l’insieme degli
!
elementi di U che non appartengono ad A. Possiamo scrivere questa definizione simbolicamente
!
A c = { x " U : x # A}
I diagrammi di Euler-Venn impiegano linee chiuse nel piano per rappresentare gli insiemi e
sottoinsiemi; le sovrapposizioni servono a visualizzare le intersezioni di tali insiemi.
!
4
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
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!
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Ana Millán Gasca
ESEMPIO A. 6 Consideri l’insieme A dei multipli di 2, l’insieme B dei multipli di 3, l’insieme C dei multipli
di 6, l’insieme D dei dispari, l’insieme E dei numeri che danno resto 1 nella divisione per 3.
Esplori questi insiemi, trovando alcuni elementi e con l’aiuto di diagrammi di Eulero Venn.
Trovi relazioni di inclusione fra questi insiemi.
Trovi A " B.
Trovi A " D e A # D. Rappresenti graficamente la relazione fra A, D, N.
Trovi B " D .
Esplori la relazione fra B, E e N, rappresentandola graficamente e trovando B " E e B # E.
A, B, C, D e E sono sottoinsiemi di N. Provi ad individuare per ognuno di loro una proprietà matematica che
contraddistingua i suoi elementi, usando le sue conoscenze sul concetto di multiplo e sulla divisione con
resto.
!
Proprietà delle operazioni fra insiemi
Augustus de Morgan (1806-1871), come John Venn (1834-1923) e George Boole (18151864), nelle loro ricerche sulle regole dei ragionamenti validi (“the laws of thought”), applicarono
un approccio mutuato dall’algebra e concepirono l’“algebra degli insiemi” e l’“algebra delle
proposizioni”. Infatti, le operazioni fra insiemi verificano – come nel caso delle operazioni di
addizione o moltiplicazione dei numeri naturali – anch’esse delle proprietà, come la proprietà
commutativa, associativa, distributiva (provate a scriverle), oppure le leggi di De Morgan:
c
( A " B) = A c # B c
c
( A # B) = A c " B c
Per dimostrare queste uguaglianze fra insiemi bisogna dimostrare che sussistono entrambe le
inclusioni.
!
Per definire il prodotto cartesiano degli insiemi dobbiamo ricordare che, dati due insiemi A e
B, e dati a " A e b " B , ( a,b) si chiama coppia ordinata con prima componente a e seconda
componente b.
DEFINIZIONE A. 7 Due coppie ordinate sono uguali se sono uguali le prime componenti e le secondi
componenti
rispettivamente; simbolicamente:
!
!
(a1,b1 ) = (a2 ,b2 ) se
a1 = b1 e a2 = b2
Si osservi che la coppia ordinata ( a,b) è un ente matematico diverso dall’insieme formato dai due
!
!
elementi a e b, vale a dire {a,b} (infatti, in questo insieme l’ordine dei due elementi è irrilevante).
!
DEFINIZIONE A. 8 (Prodotto cartesiano di due insiemi) Dati due insiemi A e B, si chiama prodotto
cartesiano di A!per B l’insieme formato da tutte le coppie ordinate ( a,b) la cui prima componente è
un elemento di A e la cui seconda componente è un elemento di B:
A " B = {( a,b) : a # A e b # B}
!
Si osservi che possiamo anche considerare il prodotto cartesiano di un insieme per se stesso:
! insieme è una “copia” di A. Allora abbiamo:
basta pensare che il secondo
5
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
Ana Millán Gasca
A " A = {( a,b) : a,b # A}
Si tenga presente che, se a,b " A , la coppia ordinata ( a,b) è diversa dalla coppia ordinata (b,a) .
!
A. 3. Insiemi!infiniti
!
!
Abbiamo introdotto la definizione di insieme finito nella lezione 3, usando i numeri naturali: è
una definizione che garantisce che “si possono contare gli elementi”, poiché richiede di stabilire una
corrispondenza biunivoca con un segmento iniziale di N. Un insieme si dice infinito se non è finito.
È interessante però ciò che vuole dire “infinito” dal punto di vista della teoria degli insiemi. Il
matematico tedesco Richard Dedekind era convinto che l’idea di numero naturale potesse essere
ridotta a un’idea ancora più basilare, quella di insieme (che lui chiamava “sistema”). Quindi
escogitò una definizione di insieme infinito senza far uso dei numeri naturali (senza “contare”). Per
capire meglio ciò che distingue gli insiemi finiti da quelli infiniti partì da un fatto sorprendente che
fu sottolineato già da Galileo nella sua opera Discorsi intorno a due nuove scienze, riguardante
l’insieme (infinito) dei numeri naturali: vi sono tanti numeri naturali quanti numeri pari, nonostante
molti numeri naturali non siano pari (è il caso di 9, oppure di 7); per convincersene basta
incolonnare i numeri e associare ciascuno con il suo doppio
1"
"# 2
2"
"# 4
3"
"# 6
...
Galileo non usava né la parola «insieme» né l’espressione «corrispondenza biunivoca».
Usando queste parole moderne, diremmo che la corrispondenza biunivoca
!
f2 : N "
"# A
n"
"# f 2 ( n ) = 2n
è una corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei numeri naturali N e il suo sottoinsieme proprio
!
formato dai numeri pari A. E quindi vi sono “tanti”elementi in N quanti in A. Si tratta di uno di quei
!
fatti paradossali che la matematica esplora,
perché contraddice la verità familiare “il tutto è
maggiore della parte”.
Infatti, la definizione proposta da Dedekind è questa: un insieme è infinito se può essere stabilita
una corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio; un insieme è finito se non è infinito.
Quanto abbiamo detto ci ha permesso di guardare gli insiemi finiti, ossia quelli che “si possono
contare”, sotto un nuovo punto di vista, espresso dalla seguente proprietà
PROPRIETÀ A.1 (Proprietà degli insiemi finiti) Se A è finito e S è un suo sottoinsieme proprio, allora
non esiste alcuna corrispondenza biunivoca tra A e S.
Questa proprietà esprime la certezza intuitiva che quando si conta con i numeri naturali “tutto
funziona bene”: se S è un sottoinsieme proprio di un insieme finito A di cardinalità a, anche S è
finito e la sua cardinalità è al massimo a "1 (se la cardinalità di S è s, allora si ha s < a ).
6
!
!
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
L’infinito dei numeri naturali è solo il primo “gradino” dell’infinito matematico. Il
matematico tedesco Georg Cantor (1945-1918) sviluppò la teoria degli insiemi proprio per trattare
gli insiemi infiniti, che sono quelli che presentano interesse dal punto di vista matematico, e usò
l’idea di corrispondenza biunivoca che esprime matematicamente il confronto quantitativo fra
insiemi. Possiamo generalizzare l’idea di “numerosità” o “quantità di elementi” in un insieme
attraverso questa idea.
DEFINIZIONE A. 9. Si dice che due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità se è possibile stabilire
una corrispondenza biunivoca fra di loro; si dice anche che essi sono equipotenti.
Osservazione: L’equipotenza è una relazione binaria fra gli insiemi che verifica la proprietà
riflessiva, simmetrica e transitiva.
DEFINIZIONE A.10. Gli insiemi equipotenti a N si dicono numerabili.
Cardinalità dell’insieme dei numeri interi
L’insieme Z è numerabile. Possiamo infatti stabilire la seguente corrispondenza biunivoca fra N e
Z:
N"
"# Z
!
0"
"#1
1"
"# 2
"1 #
#$ 3
2"
"# 4
"2 #
#$ 5
3"
"# 6
!
!
!
Cardinalità dell’insieme dei numeri!razionali
!
L’insieme Q è numerabile.
!
Non tutti gli insiemi infiniti sono numerabili. Ad esempio l’insieme infinito dei punti di una
retta geometrica non può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme N.
A. 4. Relazioni di equivalenza e partizione di un insieme
ESEMPIO 6 Ricordiamo la famiglia { A,D} di sottoinsiemi di N dell’esempio 5: abbiamo ripartito i numeri
naturali in due grandi insiemi disgiunti, i pari (A) e i dispari (D). Ma anche la famiglia {B, E,F }
B = {3" k /k # N }
!
E = {3" k + 1/k # N }
F = {3" k + 2 /k # N }
!
ci fornisce una partizione dell’insieme N, questa volta in tre insiemi. In entrambi i casi abbiamo stabilito una
relazione binaria nell’insieme N che induce una classificazione dei numeri, o, usando il termine matematico,
una partizione dell’insieme dei numeri naturali. Nel primo caso il criterio introdotto era: “dare lo stesso resto
! caso era “dare lo stesso resto nella divisione per 3”.
nella divisione per 2”; nel secondo
ESEMPIO 7 Consideriamo invece tutti gli abitanti di una città X, nella quale si presentano tre persone alle
elezioni a sindaco. Possiamo suddividerli in gruppi usando il criterio “votare per lo stesso candidato
sindaco”. Se usiamo un diagramma di Eulero-Venn e delle frecce per indicare i collegamenti, osserveremo
dei cluster di persone in corrispondenza dei vari candidati sindaco, e sarà evidente una suddivisione o
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LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
Ana Millán Gasca
partizione dell’insieme dei concittadini in tre sottoinsiemi, seguendo le loro preferenze politiche. Ognuno di
questi insiemi è una classe di equivalenza, ossia l’insieme di persone che sono in rapporto fra di loro perché
votano per lo stesso candidato sindaco. Da un certo punto di vista, per un sondaggista che conduca uno
studio sull’opinione pubblica in città, tutte le persone di un dato gruppo sono da considerarsi “equivalenti”.
Uguaglianza ed equivalenza
Spesso in matematica consideriamo alcuni elementi di un insieme come equivalenti, nel senso
di “quasi uguali”, “uguali da un certo punto di vista”. Un esempio classico, che riguarda i numeri,
sono le frazioni. Fra le tante frazioni che possiamo costruire, sappiamo che vi sono famiglie di
frazioni equivalenti:
a c
" se a " d = b " c
b d
e quindi ognuna di tali famiglie viene concepita come una entità unica (un quoziente o numero
!
razionale), spesso identificata con un rappresentante,
la frazione ridotta ai minimi termini, senza
rinunciare però quando serve! (ad esempio per eseguire l’addizione fra frazioni scegliendo un
comune denominatore) a usare qualsiasi altro elemento equivalente.
Un esempio geometrico è quello della relazione “essere parallele o coincidenti” definito
nell’insieme delle rette nel piano: ogni classe di equivalenza definisce una direzione nel piano. Per
indicare una direzione nel piano basta considerare un rappresentante qualsiasi di una classe di
equivalenza, ossia sotto questo punto di vista le rette parallele sono “quasi uguali” (attenzione! Esse
invece non sono affatto uguali sotto altri punti di vista o criteri).
Anche fra i numeri naturali, possiamo considerare uniti in una famiglia tutti i multipli di un
certo numero, ad esempio i multipli di 2 oppure di 5. Nel primo caso, i numeri pari, tutti gli altri
formano un unico insieme, i numeri dispari, che danno resto 1 nella divisione per 2; quindi
suddividiamo l’insieme N in due parti
i pari 2n
i dispari 2n + 1
La “congruenza (aritmetica)” rispetto a un certo numero o modulo definisce una famiglia di
sottoinsiemi di Z, ognuno di essi formati da numeri congrui fra di loro; per esempio la congruenza
! seguente
modulo 5 e!la relazione binaria
n " m mod 5 se n e m hanno lo stesso resto nella divisione per 5
e quindi nell’insieme Z sono definiti cinque sottoinsiemi, disgiunti a due a due: i multipli di 5 e i
numeri che danno resto 1, 2, 3 e 4 rispettivamente nella divisione per 5. L’unione di questi
!
sottoinsiemi è Z.
L’idea di uguaglianza è centrale in matematica, ed è collegata alla idea di rappresentazione.
Essere uguali, essere diversi, sono relazioni fra gli oggetti che osserviamo direttamente, ma la
matematica ci aiuta a discernere oltre il senso comune: si tratta di indagare “attorno”
all’uguaglianza, ossia l’equivalenza, mentre essere “diversi” è troppo impreciso. Ad esempio,
quando diciamo che due figure geometriche sono “uguali” (ad esempio due quadrati di lato uguale)
possiamo dire che esse sono “coincidenti” oppure “congruenti”, vale a dire possiamo girare, o
traslare o in generale muovere la figura secondo un moto rigido, e rimane “la stessa” (si tratta della
“congruenza geometrica”). Nei libri di geometria degli Elementi, laddove Euclide parla di figure
“uguali” bisogna intendere invece equiestese.
8
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
Tutti gli esempi che abbiamo ricordato sono analoghi, nel senso seguente: in un certo
insieme stabiliamo un criterio secondo il quale alcuni elementi sono a due a due equivalenti.
Questo criterio permette di individuare una famiglia di sottoinsiemi (le classi di equivalenza)
disgiunti a due a due, e la cui unione è l’insieme di partenza. Quindi possiamo scegliere per ogni
sottoinsieme di elementi equivalenti fra di loro (classe di equivalenza) un rappresentante e
ragionare soltanto con l’insieme dei rappresentanti; ma possiamo, se serve, anche cambiare
rappresentate della classe (ad esempio per addizionare le frazioni).
Introduciamo quindi due definizioni.
DEFINIZIONE A. 11. Una partizione di U è un sottoinsieme di ℘(U) che verifica le condizioni
seguenti:
– l’unione di tutti i sottoinsiemi di U che appartengono alla partizione è uguale a U;
– due qualsivoglia sottoinsiemi di U diversi della partizione sono disgiunti.
Le proprietà dell’equivalenza sono una generalizzazione delle proprietà dell’uguaglianza:
DEFINIZIONE A. 12. Una relazione d’equivalenza ℜ in un insieme A è un criterio che associa
elementi di A fra di loro a due a due, e che verifica le proprietà seguenti.
–
proprietà riflessiva. Una relazione binaria in A si dice riflessiva se ogni elemento di A è in
relazione con sé stesso:
"a # A , aℜa
–
proprietà simmetrica. Una relazione binaria in A si dice simmetrica se verifica che, per ogni
coppia di elementi di A, se il primo è in relazione con il secondo, allora il secondo è in relazione
!
con il primo:
"a,b # A se aℜb, allora bℜa
–
proprietà transitiva:una relazione binaria in A si dice transitiva se verifica che, dati tre
elementi di A, se il primo è in relazione con il secondo e il secondo con il terzo, allora il primo è
! condizione seguente:
in relazione con il terzo la
"a,b,c # A se aℜb e bℜc, allora aℜc
!
Le proprietà di cui gode una relazione d’equivalenza stabiliscono nell’insieme A una
partizione in sottoinsiemi chiamati classi di equivalenza. Vediamo come.
DEFINIZIONE A.13 Considerando un elemento qualsivoglia a " A , si chiama classe di equivalenza
di a il sottoinsieme di A formato da tutti gli elementi di A con cui a è in relazione (si dicono
elementi equivalenti ad a):
[a] = { b "!A : aℜb}
!
!
9
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
Ana Millán Gasca
Si osservi che la proprietà riflessiva garantisce che un elemento appartenga alla propria classe
di equivalenza.
DEFINIZIONE A. 14. L’insieme formato dalle classi di equivalenza si chiama insieme quoziente
A /ℜ = {[ a] : a " A}
ESEMPIO A. 9 Si consideri la relazione binaria “dare lo stesso resto nella divisione per 3” nell’insieme N.
Dimostrare che si tratta di una relazione
! ! di equivalenza. Si osservi che l’insieme quoziente è {B, E,F } . La
classe di equivalenza del numero 7, ad esempio, è:
[7] = {n " N : n da lo stesso resto di 7 nella divisione per 3} = E
!
ESEMPIO A.10 L’insieme dei numeri razionali Q è un insieme quoziente.
! A.2 L’insieme quoziente è una famiglia di sottoinsiemi di A che forma una partizione di
PROPRIETÀ
A. Viceversa, per ogni partizione in un insieme A esiste una relazione di equivalenza in A che
induce tale partizione.
Dimostrazione della prima parte. Infatti, poiché ℜ è riflessiva, ogni elemento appartiene alla sua classe di
equivalenza; e si può dimostrare che se due elementi sono equivalenti fra loro, le loro classi di equivalenza
coincidono. Quindi ogni elemento di A appartiene a una e a una sola classe di equivalenza.
Esercizi
1) Sia U l’insieme universo delle specie animali. Considerare i seguenti insiemi: l’insieme A delle
specie animali acquatiche, l’insieme B delle specie animali terrestri, l’insieme C delle specie di
mammiferi e l’insieme D delle specie di rettili. Costruire una rappresentazione usando i diagrammi
di Eulero-Venn. Indicare una specie appartenente agli insiemi: A " B, ii) A " C , iii) D " C .
Ottenere Ac. Quale relazione sussiste fra D e U?
2) Ad una tornata di elezioni comunali del paese di Teruel si presentano tre partiti politici: Sinistra,
!
!
!
Destra, Centro. Studiare la classificazione indotta nell’insieme
degli elettori dal criterio “votare lo
stesso partito alle elezioni comunali”.
3) Considerare la relazione indotta dal criterio: “ x + y è un numero pari”. Studiare la relazione che
esso esprime nell’insieme N.
4) Dimostrare che l’equipotenza è una relazione di equivalenza sugli insiemi.
!
5) Considerare nell’insieme A = {1,3,5,7,9} la relazione data dal seguente sottoinsieme di A " A
" = {(1,1), (1,3), (1,5), ( 3,1), ( 3,5), ( 3,3), (5,1), (5,3), (5,5), ( 7,9), (9,7), ( 7,7), (9,9)}
!
!
Rappresentare la relazione con un diagramma di frecce e verificare che si tratta di una relazione di
equivalenza. Quanti elementi ha l’insieme quoziente A/ " ?
!
6) Dati l’insieme A delle vocali e l’insieme B dei numeri da 10 a 15
!
10
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
a) scrivere i due insiemi per estensione e rappresentarli per mezzo di due diagrammi di Venn.
b) A e B hanno la stessa cardinalità? (ricordi le definizione riguardanti la cardinalità di insiemi
finiti e infiniti)
7) Sia C l’insieme delle cifre che servono a scrivere il numero venti mila settecento trentasei e D
l’insieme dei quattro primi numeri naturali primi diversi da 1.
(a)
Determinare l’insieme intersezione di C e D, l’insieme unione di C e D e l’insieme
prodotto cartesiano di C e D.
(b)
L’insieme C " D è finito? Quanti elementi ha?
Altri esercizi: In equilibrio sulla linea dei numeri, cap. 1, esercizi 1-4.
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