( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) in ( ) ( ) ( ) in

L’assorbimento e lo strippaggio
Colonna a stadi di equilibrio (colonna a piatti)
Il calcolo di una colonna di assorbimento/strippaggio di questo tipo parte dal bilancio
di materia. Chiamando L e G le portate di liquido A e di gas C relative ai due
componenti che non sono interessati al trasferimento di fase, avremo per
l’assorbimento:
L ⋅ (Xout − Xin ) = G ⋅ (Yin − Yout )
(1)
per lo strippaggio invece:
L ⋅ (Xin − Xout ) = G ⋅ (Yout − Yin )
(2)
Sia da (1) che da (2) ricaviamo che il rapporto L/G:
L (Yin − Yout ) (Yout − Yin )
=
=
G (Xout − Xin ) (Xin − Xout )
rappresenta il coefficiente angolare di una retta, nel piano X-Y, passante per i punti:
P1,fondo ≡ (Xout , Yin )
P2,testa ≡ (Xin , Yout )
che individuano, rispettivamente, le condizioni sul fondo e in testa alla colonna.
Nelle formule su scritte X ed Y rappresentano i rapporti molari del componente B:
nB,liq
X=
nA
Y=
nB,gas
nC
che sono legati alle frazioni molari dello stesso dalle relazioni:
nB,liq
1 ntot − nB,liq ntot
1
1−x
X=
⇒ =
=
−1 = −1 =
ntot − nB,liq
X
nB,liq
nB,liq
x
x
X=
Y=
Y=
x
1−x
nB,gas
ntot − nB,gas
⇒
1−y
1 ntot − nB,gas ntot
1
=
=
−1 = −1 =
Y
nB,gas
nB,gas
y
y
y
1−y
Se i due bilanci (1) e (2) vengono eseguiti tra una sezione generica della colonna ed il
fondo di questa, avremo per l’assorbimento:
L ⋅ (Xout − X ) = G ⋅ (Yin − Y )
L
⋅ (X − Xout ) + Yin
G
Mentre, per lo strippaggio:
L ⋅ (X − Xout ) = G ⋅ (Y − Yin )
Y=
Y=
L
⋅ (X − Xout ) + Yin
G
Assorbimento e strippaggio
1
Otteniamo quindi la stessa espressione che rappresenta l’equazione di una retta (retta
di lavoro) che passa per il punto P1 di coordinate (Xout, Yin), avente coefficiente
angolare L/G e che, sulla base di quanto espresso in (1) e (2) passa anche per il punto
P2 di coordinate (Xin, Yout).
Accanto all’equazione della retta di lavoro, che esprime il bilancio di materia sulla
colonna, il calcolo prevede l’uso della relazione di equilibrio esistente tra le
concentrazioni del componente B (interessato al trasferimento) in fase liquida e in
fase gas.
Tale relazione può in generale essere scritta come:
Yeq = f Xeq
( )
Sperimentalmente (legge di Henry) si è visto che la dipendenza funzionale è del tipo:
Yeq = H ⋅ Xeq
(3)
In cui il parametro H è a sua volta funzione della temperatura T del sistema
(crescente al crescere di questa) e della concentrazione X in fase liquida. Per soluzioni
diluite si può trascurare la dipendenza di H dalla concentrazione, per cui (a
temperatura costante) la (3) è l’equazione di una retta passante per l’origine, di
coefficiente angolare H.
Se adesso rappresentiamo contemporaneamente retta di lavoro e retta di equilibrio
sul piano X-Y avremo che:
• nell’assorbimento la retta di lavoro sta sempre al di sopra della curva di
equilibrio. In ogni sezione della colonna, infatti, la concentrazione Y in fase gas,
corrispondente ad una certa concentrazione X del liquido, è sempre maggiore di
quella Yeq corrispondente alle condizioni di equilibrio con la stessa composizione
X. Questa differenza Y-Yeq rappresenta la forza motrice che spinge il
componente B a trasferirsi dalla fase gas a quella liquida. Inoltre la posizione
dei punti P1 e P2 sul grafico (rappresentativi delle condizioni sul fondo ed in
testa alla colonna) sarà: in alto a sinistra il primo ed in basso a destra il
secondo;
• nello strippaggio, invece, la retta di lavoro è al di sotto della curva di equilibrio.
In questo caso infatti la concentrazione X del liquido, corrispondente ad una
determinata composizione Y del gas, è sempre maggiore della composizione Xeq
in equilibrio con la medesima concentrazione Y. La differenza X-Xeq è ancora
una volta la forza motrice dell’operazione. La posizione dei punti P1 e P2 risulta
invertita rispetto al caso precedente. Il punto P1 si troverà in basso a sinistra
nel grafico, mentre il punto P2 in alto a destra.
Il tracciamento della retta di lavoro presuppone la conoscenza di 4 grandezze.
Il caso più semplice si verifica quando sono fornite le composizioni in ingresso (Yin, Xin)
ed in uscita (Yout, Xout) delle due correnti, gas e liquido, interessate al processo. In tal
caso è immediata la costruzione della retta di lavoro, basterà unire i due punti P1 e P2
rappresentativi delle concentrazioni sul fondo ed in testa alla colonna.
Assorbimento e strippaggio
2
Spesso, tuttavia, viene fornita la composizione di entrambe le correnti solo sul fondo
(oppure in testa) alla colonna insieme ad un’altra concentrazione relativa ad una sola
delle due correnti in testa (o sul fondo) dell’apparecchio.
Nei problemi di assorbimento di norma si conoscono:
a) la composizione del gas in ingresso Yin
b) la composizione del liquido in ingresso Xin
c) la composizione del gas in uscita Yout (fornita sovente sotto forma di
percentuale del componente B che si desidera recuperare)
Pertanto nell’assorbimento usualmente è noto il punto P2 (composizioni in testa alla
colonna) ed è nota l’ordinata (corrispondente alla composizione Yin) del punto P1.
Nei problemi di strippaggio sono note invece:
a) la composizione del liquido in ingresso Xin
b) la composizione del gas in ingresso Yin
c) la composizione del liquido in uscita Xout (fornita sempre sotto forma di
recupero percentuale)
Nello strippaggio, quindi, i dati del problema consentono di localizzare il punto P1
(condizioni sul fondo della colonna) ed è nota l’ascissa (corrispondente alla
composizione Xin) del punto P2
In entrambi i casi per tracciare la retta di lavoro occorre che sia definito un quarto
parametro, il rapporto L/G tra le portate delle due correnti.
Tale rapporto può essere fornito direttamente dalla traccia, oppure deve essere
dedotto dai dati iniziali tramite la procedura:
Assorbimento
1. dai
dati
noti
di
composizione
si
ricava
il
punto
di
pinch
Y

Ppinch ≡ Xout,eq , Yin =  in , Yin  , dove H è la costante di Henry
H

2. si ricava il coefficiente angolare della retta che unisce il punto P2 col punto di
Y −Y
Y −Y
L
pinch Ppinch:   = in out = in out Tale coefficiente rappresenta il valore
 G  min Xout,eq − Xin Yin − X
in
H
minimo del rapporto L/G, cui corrisponde un numero infinito di stadi di
equilibrio (piatti) necessari ad ottenere il recupero desiderato del componente
B
3. tramite il coefficiente moltiplicativo k (con k>1), fornito dalla traccia, si
L
L
ottiene: = k ⋅  
G
 G min
(Y − Y )
L Yin − Yout
4. si determina il punto P1 ≡ (Xout , Yin ) :
=
⇒ Xout = in out + Xin
L
G Xout − Xin
G
(
)
Strippaggio
(
)
1. dai dati del problema si determina il punto di pinch Ppinch ≡ Xin , Yout,eq = (Xin , H ⋅ Xin )
Assorbimento e strippaggio
3
2. si ricava il coefficiente angolare della retta che unisce il punto P1 col punto di
Yout,eq − Yin H ⋅ Xin − Yin
L
Tale coefficiente rappresenta il
=
pinch Ppinch:   =
Xin − Xout
 G  max Xin − Xout
valore massimo del rapporto L/G, cui corrisponde un’altezza infinita della
colonna per ottenere il recupero desiderato
3. tramite il coefficiente moltiplicativo k (con k<1), fornito dalla traccia, si
L
L
ottiene:
= k ⋅ 
G
 G max
L Y −Y
L
4. si determina il punto P2 ≡ (Xin , Yout ) : = out in ⇒ Yout = ⋅ (Xin − Xout ) + Yin
G Xin − Xout
G
Colonna a riempimento
Il calcolo dell’altezza di una colonna a riempimento è reso complicato dal fatto che il
contatto liquido-gas avviene contestualmente al trasferimento di materia lungo tutta
la colonna e non solo in alcuni punti (piatti) e che in nessuna sezione di questa il
sistema perviene ad una condizione di equilibrio tra le concentrazioni, nelle due fasi,
del componente interessato al trasferimento.
L’analisi del processo parte dall’analogia esistente tra trasferimento di calore tra due
fluidi e trasferimento di materia tra due fasi.
È noto infatti che l’equazione relativa al trasferimento di calore per conduzione in un
corpo solido e quella relativa alla diffusione di una sostanza attraverso un mezzo
stagnante hanno la stessa formulazione matematica:
dT
q = −k ⋅
legge di Fourier
dl
dc
N = −D ⋅
legge di Fick
dl
Dove:
• q è il flusso di calore (ossia il calore trasferito per unità di tempo e di
superficie) nella direzione indicata con l
• N il flusso di materia (quantità di moli trasferite per unità di tempo e di
superficie) nella direzione l
• k la conducibilità termica (funzione del tipo di materiale e della temperatura)
• D il coefficiente di diffusione (dipendente dal tipo di sostanza che diffonde e
dal mezzo in cui avviene la diffusione nonché dalla temperatura)
dT
il gradiente di temperatura (ossia la derivata di T valutata lungo la
•
dl
direzione l)
dc
il gradiente di concentrazione della sostanza che diffonde
•
dl
L’analogia tra le equazioni che descrivono i due processi fa pensare che esista una
similitudine anche tra i meccanismi con i quali avvengono i due fenomeni.
Assorbimento e strippaggio
4
Supponiamo ora di considerare il passaggio di calore tra due fluidi separati da una
parete piana. Sappiamo che, in prossimità della parete e da entrambi i lati, esiste uno
film di fluido stagnante (strato limite) in cui il passaggio di calore avviene per
conduzione ed in cui è concentrata tutta la resistenza al trasferimento. È possibile
esprimere la potenza termica trasferita Q come:




Q = h lato ⋅ A ⋅  Tfluido − Tparete  = h lato ⋅ A ⋅  Tparete − Tfluido 
caldo
freddo 
 freddo

 caldo
1
1
1
=
+
Uglobale h lato h lato
caldo
freddo


(4)
Q = Uglobale ⋅ A ⋅  Tfluido − Tfluido 
freddo 
 caldo
avendo trascurato la resistenza termica offerta dalla parete ed avendo indicato con i
simboli hc, hf ed U rispettivamente i coefficienti di scambio convettivi lato caldo, lato
freddo e globale.
Se la parete non è piana ma cilindrica (di lunghezza L) la (4) si particolarizza in:
Desterno
1
1
=
+
Uglobale hlato
hlato ⋅ Dinterno
esterno
area
esterna
1
Uglobale
area
interna
=
interno
Dinterno
1
+
hlato ⋅ Desterno hlato
esterno
interno




Q = Uglobale ⋅ Aesterna ⋅  Tfluido − Tfluido  = Uglobale ⋅ Ainterna ⋅  Tfluido − Tfluido 
freddo 
freddo 
area
area
 caldo
 caldo
interna
esterna
(5)
In cui il coefficiente globale assume valori diversi a seconda che nel calcolo si faccia
riferimento all’area esterna (π ⋅ Desterno ⋅ L ) o interna (π ⋅ Dinterno ⋅ L ) della superficie
interessata allo scambio.
Come si può notare, la (4) e le (5) forniscono l’energia trasferita nell’unità di tempo
come prodotto di una forza spingente (differenza di temperatura) per la superficie
coinvolta nel trasferimento e per un coefficiente che rappresenta l’inverso della
resistenza offerta dal sistema al trasferimento stesso.
Per analogia (ipotesi del doppio film di Lewis e Whitman del 1924) potremo supporre
che anche in un processo di assorbimento/strippaggio esista, in prossimità
dell’interfaccia di separazione tra le due fasi, un film di fluido stagnante (da entrambi
i lati dell’interfaccia) nel quale il componente che si trasferisce si muova per
diffusione e nel quale sia concentrata tutta le resistenza al passaggio offerta dal
sistema.
Potremo pertanto scrivere, riguardo alle moli NB del componente B trasferite
nell’unità di tempo:
NB = kG ⋅ A ⋅ (Y − Yi ) = kL ⋅ A ⋅ (Xi − X )
Assorbimento e strippaggio
5
Dove abbiamo indicato coi simboli kG e kL i coefficienti di scambio di materia lato gas
e lato liquido e con Yi ed Xi le concentrazioni di B all’interfaccia di separazione gasliquido. Nell’analisi che faremo supporremo che l’interfaccia sia il punto in cui esiste
una condizione di equilibrio tra le concentrazioni del componente diffondente nelle
due fasi.
Avremo quindi:
Y

NB = kG ⋅ A ⋅ (Y − Yi ) = kL ⋅ A ⋅  i − X 
H

dove H è la costante di Henry. Se ora esprimiamo la concentrazione effettiva X
esistente in fase liquida in funzione di una ipotetica concentrazione Yeq in fase gas
tale da essere in equilibrio con la predetta concentrazione, avremo:
 Y Yeq 

NB = kG ⋅ A ⋅ (Y − Yi ) = kL ⋅ A ⋅  i −
H H 
e, con semplici passaggi:
Assorbimento e strippaggio
6
NB
N ⋅H
+ B
= (Y − Yi ) + Yi − Yeq = Y − Yeq
kG ⋅ A kL ⋅ A
(
KOG =
1 H
+
kG kL
(
NB = KOG ⋅ A ⋅ Y − Yeq
)
)
avendo indicato col simbolo KOG il coefficiente globale di scambio di materia espresso
in funzione delle concentrazioni lato gas.
È facile dimostrare che la stessa relazione può essere anche scritta come:
NB = kG ⋅ A ⋅ H ⋅ Xeq − H ⋅ Xi = kL ⋅ A ⋅ (Xi − X )
(
)
NB
N
+ B = Xeq − Xi + (Xi − X ) = Xeq − X
kG ⋅ H ⋅ A kL ⋅ A
(
KOL =
1
1
+
kG ⋅ H kL
(
NB = KOL ⋅ A ⋅ Xeq − X
)
)
E’ pertanto evidente che la velocità di trasferimento del componente B (intesa come
numero di moli che attraversano l’interfaccia di separazione tra le due fasi nell’unità
di tempo) può essere posta come proporzionale ad una forza spingente espressa da:
1. la differenza tra la concentrazione Y del componente in fase gas e quella Yeq
che teoricamente dovrebbe esistere in fase gas per fare equilibrio alla
concentrazione effettiva X esistente in fase liquida;
2. la differenza tra la concentrazione Xeq , che teoricamente dovrebbe esistere in
fase liquida per fare equilibrio alla concentrazione Y esistente in fase gas, e
quella effettiva X del liquido.
Tale forza spingente va poi moltiplicata per l’area di scambio e per un coefficiente
globale che, in maniera simile a quanto accade per il trasferimento di calore, si
esprime in modo diverso a seconda che la forza motrice sia espressa in funzione delle
concentrazioni in fase gas oppure in fase liquida.
Si noti che le espressioni su scritte, ricavate per l’assorbimento, sono altrettanto
valide per lo strippaggio con l’avvertenza che la forza motrice deve essere invertita di
segno.
Se adesso eseguiamo un bilancio di materia su di un elemento di colonna di altezza
infinitesima dz e valutiamo i differenziali muovendoci dal basso verso l’alto della
colonna, otterremo:
NB = −L ⋅ dX = −G ⋅ dY
e, esprimendo la velocità di trasferimento in funzione delle concentrazioni lato gas:
NB = −G ⋅ dY = KOG ⋅ A ⋅ Y − Yeq
(
)
ossia, chiamando “a” la superficie specifica, vale a dire la superficie per unità di
volume di riempimento:
− G ⋅ dY = KOG ⋅ a ⋅ S ⋅ dz ⋅ Y − Yeq
(
)
dove S è l’area della sezione della colonna.
Assorbimento e strippaggio
7
Separando le variabili e integrando (dal basso verso l’alto della colonna, nello stesso
verso nel quale è stato eseguito il bilancio di materia differenziale):
G
dY
−
⋅
= dz
KOG ⋅ a ⋅ S Y − Yeq
(
)
Yout
Yin
G
dY
G
−
⋅
=
⋅
KOG ⋅ a ⋅ S Y Y − Yeq KOG ⋅ a ⋅ S Y
∫(
)
in
dY
∫ (Y − Y ) = z
out
(6)
eq
Allo stesso risultato si può pervenire esprimendo la velocità di trasferimento in
funzione delle differenze delle concentrazioni lato liquido:
NB = −L ⋅ dX
(
)
(
NB = KOL ⋅ A ⋅ X − Xeq = KOL ⋅ a ⋅ S ⋅ dz ⋅ X − Xeq
−
)
L
dX
⋅
= dz
KOL ⋅ a ⋅ S X − Xeq
(
)
Xout
L
dX
⋅
=z
KOL ⋅ a ⋅ S X X − Xeq
∫(
in
(7)
)
Gli integrali in (6) e (7) possono essere calcolati per via numerica, grafica ed anche
analitica se è nota l’equazione della curva di equilibrio. Nel caso semplice in cui la curva
di equilibrio sia una retta, potremo infatti scrivere per l’integrale contenuto nella (6):
Yeq = H ⋅ X
Y − Yout =
Yin
Yin
Yin
∫(
Yout
) ∫
Yin
dY
dY
=
Y − Yeq Y  
G

G
out
Y ⋅  1 − H ⋅ L  + H ⋅  L ⋅ Yout − Xin 



 
 
G

G
Yin ⋅  1 − H ⋅  + H ⋅  ⋅ Yout − Xin 

L
dY
1

L

ln 
=
G
Y − Yeq 
 
G

G

 1 − H ⋅  Yout ⋅  1 − H ⋅  + H ⋅  ⋅ Yout − Xin 
L
L
 


L

∫(
Yout
Yin
dY
dY
=
Y − Yeq Y 

G
out
Y − H ⋅  L ⋅ (Y − Yout ) + Xin 



∫(
Yout
G
L
⋅ (X − Xin ) ⇒ X = ⋅ (Y − Yout ) + Xin
L
G
) ∫
)

 G

Yin −  H ⋅ ⋅ (Yin − Yout ) + Xin 

Y − Yeq in
dY
1
1
 L

=
ln 
=
ln
G
G  Y − Yeq
[Yout − H ⋅ Xin ]
Y − Yeq 

Yout
out
1 − H ⋅ 
1 − H ⋅ 
L
L


Ossia, ricordando il significato del rapporto L/G:
Y − Yeq in − Y − Yeq out
G
X − Xin Yin − Yout − Yeq,in + Yeq,out

=
=
 1 − H ⋅  = 1 − H ⋅ out
L
Yin − Yout
Yin − Yout
∆Y

[
[
Yin
∫(
)
(
Assorbimento e strippaggio
) (
]
]
)
8
Yin
dY
∆Y
=
Y − Yeq
Y − Yeq in − Y − Yeq
∫(
Yout
) (
) (
ln
)
out
[Y − Y ]
[Y − Y ]
eq in
=
eq out
∆Y
[Y − Y ]
eq medio
logaritmico
Applicando la stessa procedura all’integrale in (7), otterremmo:
Xout
X − Xeq in
dX
∆X
∆X
=
ln
=
X − Xeq
X − Yeq in − X − Xeq out X − Xeq out X − Xeq medio
X
∫(
in
) (
) (
)
[
[
]
]
[
]
logaritmico
Le espressioni (6) e (7) forniscono l’altezza del riempimento di una colonna di
assorbimento/strippaggio come prodotto di due termini: uno, approssimativamente
costante, che viene chiamato altezza dell’unità di trasferimento HTU ed il secondo
(l’integrale prima analizzato), che dipende dalle condizioni operative della colonna,
definito numero di unità di trasferimento NTU.
Avremo pertanto:
z = HTUY ⋅ NTUY = HTUX ⋅ NTUX
Per il calcolo dell’altezza dell’unità di trasferimento è necessario conoscere il
coefficiente globale di scambio KOG (o KOL). Tale coefficiente, come visto, è a sua
volta funzione dei coefficienti di scambio locali del film gas kG e di quello liquido kL.
Ricordiamo che nella trasmissione del calore per convezione i coefficienti di
convezione lato fluido caldo hc e lato fluido freddo hf sono entrambi ottenibili da una
relazione semiempirica tra numeri dimensionali:
Nu = a ⋅ Re b ⋅ Prc
In cui
• a, b e c sono coefficienti ricavati sperimentalmente
h⋅L
(con h coefficiente di convezione, L lunghezza
• Nu è il numero di Nusselt
k
caratteristica della geometria che si sta studiando, k conducibilità termica del
fluido)
ρ⋅v ⋅L
(con ρ densità, v velocità, µ viscosità del fluido)
• Re è il numero di Reynolds
µ
cp ⋅ µ
(cp calore specifico del fluido)
• Pr è il numero di Prandtl
k
Per analogia con la trasmissione del calore, nel trasferimento di materia i coefficienti
locali di scambio kG e kL possono essere espressi ancora sotto forma di una relazione
tra quantità dimensionali, e precisamente:
Sh = a ⋅ Re b ⋅ Scc
In cui
• a, b e c sono gli stessi coefficienti validi per il trasferimento di calore (a parità di
geometria del sistema)
k ⋅L
(con k coefficiente di scambio di materia, L
• Sh è il numero di Sherwood
D
lunghezza caratteristica della geometria che si sta studiando, D coefficiente di
diffusione del componente interessato al trasferimento di fase)
Assorbimento e strippaggio
9
•
•
ρ⋅v ⋅L
(con ρ densità, v velocità, µ viscosità del fluido)
µ
µ
Sc è il numero di Schmidt
ρ ⋅D
Re è il numero di Reynolds
Assorbimento e strippaggio
10