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Esercitazioni di Fisica
venerdì 10:00-11:00 aula T4
Valeria Malvezzi
E-mail: [email protected]
Richiami di trigonometria
Definizioni goniometriche
)α
Relazione goniometrica fondamentale
I grafici delle funzioni f(x) = sin(x)
e f(x) = cos(x) sul piano
cartesiano.
Il grafico della funzione
f(x) = tan(x) sul piano cartesiano.
Nota la funzione trigonometrica di un angolo è possibile ricavare le altre:
NOTO
senα
cosα
senα
senα
± 1 − sen 2 α
cosα
± 1 − cos 2 α
cosα
tgα
tgα
1
± 1 + tg 2α
± 1 + tg 2α
tgα
sen α
± 1 − sen 2 α
± 1 − cos 2 α
cos α
tgα
Da evidenti simmetrie sulla circonferenza si deducono poi i valori delle
funzioni trigonometriche di altri archi particolari:
Archi
associati:
sen (π - α) = sen α
cos (π - α) = - cos α
sen (π/2 - α) = cos α
cos (π/2 - α) = sen α
sen (π + α) = - sen α
cos (π + α) = - cos α
sen (π/2 + α) = cos α
cos (π/2 + α) = − sen α
sen (2π - α) = - sen α
cos (2π - α) = cos α
Valori delle funzioni goniometriche di archi particolari
α
senα
18° = π/10
2 /2
60° = π/3
3 /2
2− 3
5− 2 5
5
10 + 2 5
4
1/2
45° = π/4
tgα
6+ 2
4
6− 2
4
5 −1
4
15° = π/12
30° = π/6
cosα
3 /2
3
2 /2
1
1/2
/3
3
90° = π/2
1
0
non esiste
180° = π
0
-1
0
270° = 3/2π
-1
0
non esiste
0° = 360° =
2π
0
1
0
Applicazioni nello studio dei triangoli:
Le funzioni trigonometriche sono definite come le lunghezze di diversi segmenti
costruiti dal cerchio unitario ma possono essere definite come rapporti fra i lati di
un triangolo rettangolo contenenti l'angolo.
1. Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza
dell'ipotenusa.
2. Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la
lunghezza dell'ipotenusa.
3. La tangente di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la
lunghezza del lato adiacente.
Nota sui triangoli:
Tutti i triangoli vengono considerati appartenenti al piano euclideo in
modo che la somma degli angoli interni è π radianti(o 180°); di
conseguenza, per un triangolo rettangolo, i due angoli non retti sono
compresi fra 0 e π/2 radianti.
Esercizi:
1. In un triangolo rettangolo sia b = 3 e
cosγ = 1/3, risolvere il triangolo.
2. In un triangolo rettangolo sia a =√2 e
β = 60°, risolvere il triangolo.
3. In un triangolo rettangolo sia a = 3 e
b = 1, risolvere il triangolo.
4. In un triangolo rettangolo sia b = 4 e
c = √3, risolvere il triangolo.
5. Semplificare le seguenti espressioni con le regole degli archi
associati:
sen( π – α ) =
sen (π /2 – α) =
sen (π + α ) =
sen ( 2 π - α ) =
6. Sapendo che α è acuto e positivo e che senα = 3/5 calcolarne le
altre funzioni trigonometriche.
7. Semplificare le seguenti espressioni:
tg(π + α)sen(π - α) cos(π + α) + tg2(π - α)cos2(- α)
sen4 α – sen2 α – cos4 α + cos2 α
Vettori e scalari
Nello studio della meccanica si incontrano due principali categorie di
grandezze: scalari e vettori.
Quantità scalari: è sufficiente un
numero e la rispettiva unità per
caratterizzarlo completamente
ƒ massa
ƒ energia
ƒ lavoro
ƒ potenza
ƒ temperatura assoluta
Le grandezze vettoriali hanno necessità di 4 informazioni:
ƒ modulo
ƒ direzione
ƒ verso
ƒ punto di applicazione
Il vettore può essere individuato anche tramite le sue
componenti lungo un sistema di assi cartesiani:
Il modulo del vettore puo’ essere espresso
in funzione delle componenti:
r2
v = v 2x + v 2y
r
v x = v cos(α )
r
v y = v sin(α )
Anche l’ angolo α può essere espresso
in funzione delle componenti:
vy
tan α =
vx
Esistono dei vettori speciali, detti versori, che possono
essere utilizzati per caratterizzare tutti gli altri vettori.
Caratteristiche:
ƒ Hanno modulo 1;
ƒ Sono diretti lungo gli assi cartesiani;
ƒ Indicano il verso positivo degli assi cartesiani.
Un qualunque vettore puo’ essere espresso per mezzo delle sue
componenti e dei versori i, j e k .
Operazioni con vettori
Somma di vettori
Metodo grafico:
regola del parallelogrammo
Differenza di vettori
Il segno – davanti a un vettore ne mantiene
direzione e modulo, e ne inverte il verso:
Somma per componenti: Le componenti della somma di due
vettori sono uguali alla somma delle rispettive componenti dei vettori
addendi
Prodotto di un vettore per uno scalare
Per moltiplicare un vettore per uno scalare c
si moltiplica per c ciascuna componente:
Prodotto di vettori
Prodotto scalare: il prodotto scalare tra due vettori ha come
risultato una grandezza scalare
calcolo con le componenti:
Proprietà:
Nota: non si può definire il prodotto scalare di 3 vettori
Prodotto vettoriale: prodotto tra due vettori che ha come
risultato un terzo vettore
Modulo
Direzione perpendicolare al piano individuato da a e b
Verso avanzamento vite destrorsa, cavatappi, mano
destra
calcolo con le componenti:
Proprietà:
Casi particolari
Esercizi sui vettori:
1. Dati i vettori
a=4.2 m i-1.6 m j
b=-1.6 m i+2.9 m j
c= -3.7 m j
trovare il vettore r che rappresenta la somma di a, b e c.
2. Determinare le coordinate del vettore 4a-5b sapendo che risulta
a=(2,6,1) e b=(-2,3,-3). Si trovi successivamente il suo modulo.
3. Si trovi la componente orizzontale e quella verticale del vettore A,
di modulo 15 che ha una inclinazione di 20° sud-est.
4. Un vettore ha componenti (-5, 10). Determinare il modulo del vettore
e l’angolo che forma con l’asse x.
5. I vettori a= OA e b= OB sono espressi dalle a=4i-3j e b=-7i+8j.
Determinare la rappresentazione cartesiana di AB
6. Verificare che i vettori a=(3,-5,1) e b=(2,6,24) sono ortogonali
7. Un cane effettua 3 spostamenti consecutivi
D1= (15 i +30j +12 k) cm
D2= (23 i -14j -5 k) cm
D3= (-13 i + 15j ) cm
Trovare le componenti dello spostamento risultante e il modulo.
8. Calcolare il prodotto scalare e vettoriale di 2 vettori che hanno
intensità 6 unità e 3 unità e formano un angolo di 45°. Indicare
direzione e verso del vettore risultante nel prodotto vettoriale.
9. Un auto viaggia per 32 Km verso Est e da qui per 47 Km verso
Nord. Trovare il vettore spostamento
10. Si considerino i seguenti vettori A = - i + 2j, B = 5 I, C = 3j, D = i - 2j
- Disegnare i vettori A e B, trovare la risultante graficamente e
determinare le sue componenti cartesiane.
- Determinare graficamente la risultante R = A + B + C + D
- Calcolare il prodotto scalare p = A·D.
- Disegnare i vettori C e D e determinare il prodotto vettoriale M = C x D.
11. Dati 2 vettori A = ( 3 i - 2 j) m e B = (- i –4 j) m
Calcolare: a) A + B; b) A – B; c) |A+B| d) |A-B| e) la direzione di A +
B e di A – B
12. In quale diagramma la somma A + B dei due vettori ha una
componente positiva lungo l’asse x?
Quale affermazione è errata?
1.
2.
3.
4.
due vettori di modulo diverso possono avere risultante nulla
se la risultante di tre vettori è nulla, allora i tre vettori sono complanari
tre vettori ciascuno ortogonale agli altri due, non possono avere risultante nulla
quattro vettori aventi lo stesso modulo possono avere risultante nulla
Il prodotto scalare di due vettori paralleli è:
1.
2.
3.
4.
pari al prodotto dei moduli dei vettori
nullo
un numero minore del prodotto dei moduli dei vettori
un numero il cui valore assoluto è pari al prodotto dei moduli
Dati due vettori a e b entrambi non nulli. Se vale la condizione |a+b|= a +
b, allora se ne deduce che:
1.
2.
3.
4.
L’angolo formato da a e b vale 60
a è perpendicolare a b
a e b sono paralleli ed hanno stessa direzione
L’angolo formato da a e b vale 45
Il modulo del prodotto vettoriale dei versori della terna cartesiana vale:
1.
2.
3.
4.
0
-1
1
√3
Due vettori, aventi diverso modulo, possono avere risultante nulla:
1.
2.
3.
4.
quando sono perpendicolari
quando sono paralleli ed hanno verso opposto
quando sono paralleli ed hanno lo stesso verso
mai
Tre vettori, aventi diverso modulo (ciascuno diverso dagli altri due),
possono avere risultante nulla:
1.
2.
3.
4.
quando sono coplanari
quando non sono coplanari
mai
quando sono a coppie perpendicolari
Due vettori a e b hanno componenti (1,0) e (-3,0), il loro prodotto
scalare è:
1.
2.
3.
4.
zero
3
-3
-4
Il vettore b=a/6 è definito come quel vettore:
1.
2.
3.
4.
ortogonale ad a con modulo b=6a
parallelo ed equiverso ad a con modulo b=6a
ortogonale ad a con modulo b=a/6
parallelo ed equiverso ad a con modulo b=a/6
Dati tre vettori A=-3i+2j-k,B=i-3j+5k, C=2i+j-4k, è possibile verificare
se sono perpendicolari tra loro?
1.
2.
3.
4.
Solo i vettori B e C sono perpendicolari tra loro
I vettori A, B e C non sono perpendicolari tra loro
Solo i vettori A e C sono perpendicolari tra loro
Solo i vettori A e B sono perpendicolari tra loro
Il prodotto vettoriale tra due vettori axb è nullo quando:
1.
2.
3.
4.
a e b sono paralleli
a e b sono perpendicolari
a e b formano un angolo acuto
a e b hanno lo stesso modulo
Il prodotto scalare tra due vettori è espresso:
1.
2.
3.
4.
Dalla somma dei moduli dei vettori
Dalla regola del parallelogramma
Dal prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell’angolo compreso
Dal prodotto dei moduli dei vettori
Il prodotto scalare di due vettori assume il valore massimo quando:
1.
2.
3.
4.
I due vettori sono paralleli e controversi
I due vettori sono paralleli ed equiversi
I due vettori sono perpendicolari tra loro
I due vettori formano un angolo acuto