1 CALCOLO DELLA RISPOSTA ALL`ONDA QUADRA DI CIRCUITI

CALCOLO DELLA RISPOSTA ALL’ONDA QUADRA DI CIRCUITI RC COL SOLO
UTIIZZO DELL’EQUAZIONE DI CARICA E DI SCARICA DELLA CAPACITÀ
Si può calcolare la risposta di un circuito RC (uscita sulla capacità o uscita sulla resistenza) all’onda
quadra usando, semplicemente, le equazioni di carica e di scarica della capacità.
Calcoleremo l’equazione dell’uscita nel caso più generale possibile: onda quadra di generica
ampiezza e generico valore medio. L’estensione ad una particolare onda quadra sarà quasi
immediata.
ONDA QUADRA CON GENERICO VALORE MEDIO NON NULLO
vi(t)
E1
Vim
T/2
T
t
E2
E1 -Vim
T/2
T
t
E2 -Vim
Vim
t
T
⎧
⎪⎪E 1 per 0 ≤ t < 2
Vi ( t ) = ⎨
⎪E per T ≤ t < T
⎪⎩ 2
2
con Vim =
E1 + E 2
2
Tale segnale può essere considerato come somma di un segnale a valore medio nullo di ampiezza
E 1 − Vim e di un segnale continuo di valore Vim.
La capacità si carica al valore continuo (valore medio) e la tensione ai suoi capi varierà attorno a
tale valore.
Se l’uscita viene presa sulla capacità (la capacità si trova elettricamente in derivazione al segnale)
l’intero valore medio varrà trasferito in uscita; se l’uscita viene presa sulla resistenza (la capacità si
trova elettricamente in serie al segnale) il segnale d’uscita sarà, comunque, a valore medio nullo
(non viene trasferita in uscita alcuna componente continua).
1
USCITA SULLA CAPACITÀ (CIRCUITO INTEGRATORE)
L’equazione generica di carica e di scarica di una capacità è la seguente:
VC ( t ) = Vf + (Vi − Vf ) ⋅ e
−
t
τ
dove τ = RC è la costante di tempo del circuito; Vi è il valore iniziale della tensione ai capi della
capacità; Vf è il valore finale della tensione ai capi della capacità.
Il circuito in esame è il seguente.
Il grafico dell’andamento dei segnali d’ingresso e d’uscita correlati è quello di seguito riportato.
E1
vi(t), vo(t)
V2
Vim
Vo1
Vo2
T/2
T
t
V1
E2
La capacità si carica al valore medio (continuo) e la tensione ai suoi capi varierà, attorno a tale
valore, tra i valori V1 e V2. In questo caso, le equazioni di carica della capacità coincidono con
l’equazione dell’uscita.
Equazione di carica Vo1(t), verso E1, 0 ≤ t < T/2
⎧t = 0
⎪
⎨
⎪ V ( 0) = V
1
⎩ o1
⎧t = ∞
⎪
⎨
⎪V (∞ ) = E
1
⎩ o1
⇒ Vo1 (t ) = E 1 + (V1 − E 1 ) ⋅ e
−
t
τ
0≤t<
T
2
Equazione di carica Vo2(t), verso E2, T/2 ≤ t < T
⎧ T
⎪⎪t = 2
⎨
⎪Vo1 ⎛⎜ T ⎞⎟ = V2
⎪⎩ ⎝ 2 ⎠
⎧t = ∞
⎪
⎨
⎪V (∞ ) = E
2
⎩ o2
T
− 2
τ
t−
⇒ Vo 2 (t ) = E 2 + (V2 − E 2 ) ⋅ e
Raggruppando le due equazioni ottenute, si ottiene l’equazione dell’uscita.
2
T
≤t<T
2
t
−
⎧
T
τ
(
)
(
)
=
+
−
⋅
V
t
E
V
E
e
per 0 ≤ t <
⎪ o1
1
1
1
2
⎪
Vo (t ) = ⎨
T
t−
⎪
− 2
T
per
≤t<T
⎪Vo 2 (t ) = E 2 + (V2 − E 2 ) ⋅ e τ
2
⎩
Al fine di calcolare V1 e V2, si mettono a sistema le due equazioni di carica imponendo che
⎛T⎞
Vo1 ⎜ ⎟ = V2 e Vo 2 (T ) = V1 :
⎝2⎠
T
−
⎧ ⎛T⎞
2τ
= V2
⎪⎪Vo1 ⎜ ⎟ = E 1 + (V1 − E 1 ) ⋅ e
2⎠
⎝
⎨
T
T
⎪
−
−
2τ
2τ
⎪⎩Vo 2 (T ) = E 2 + (V2 − E 2 ) ⋅ e
= V1 ⇒ V1 = E 2 + (V2 − E 2 ) ⋅ e
Si sostituisce V1 nella prima e si calcola V2:
T
−
⎡
⎤ − 2Tτ
2τ
E 1 + ⎢E 2 + (V2 − E 2 ) ⋅ e − E 1 ⎥ ⋅ e
= V2
⎣
⎦
⇒ E1 + E 2 ⋅ e
−
T
2τ
+ V2 ⋅ e
−
T
τ
− E2 ⋅ e
−
T
τ
− E1 ⋅ e
−
T
2τ
⇒
− V2 = 0 ⇒
T
T
T
− ⎞
−
−
⎛
⇒ V2 ⋅ ⎜⎜1 − e τ ⎟⎟ = E 1 − (E 1 − E 2 ) ⋅ e 2 τ − E 2 ⋅ e τ
⎝
⎠
⇒ V2 =
E1 − E 2 ⋅ e
−
T
τ
− (E 1 − E 2 ) ⋅ e
1− e
−
−
⇒
T
2τ
T
τ
Si sostituisce nella seconda equazione del sistema e si calcola V1:
T
T
−
−
⎛
⎞
⎜ E 1 − E 2 ⋅ e τ − (E 1 − E 2 ) ⋅ e 2 τ
⎟ − 2Tτ
− E2 ⎟ ⋅ e
V1 = E 2 + ⎜
=
T
−
⎜
⎟
τ
1− e
⎝
⎠
E2 − E2 ⋅ e
=
−
T
τ
T
T
T
T
T
−
−
−
− ⎞
−
⎛
+ ⎜⎜ E 1 − E 2 ⋅ e τ − E 1 ⋅ e 2 τ + E 2 ⋅ e 2 τ − E 2 + E 2 ⋅ e τ ⎟⎟ ⋅ e 2 τ
⎝
⎠
=
T
1− e
=
E2 − E2 ⋅ e
−
T
τ
+ E1 ⋅ e
−
T
2τ
− E1 ⋅ e
1− e
−
−
T
τ
+ E2 ⋅ e
−
T
τ
T
τ
−
τ
− E2 ⋅ e
−
T
2τ
=
E 2 − E1 ⋅ e
−
T
τ
+ (E 1 − E 2 ) ⋅ e
1− e
3
−
T
τ
−
T
2τ
Le espressioni di V1 e di V2 consentono di calcolare i valori tra cui oscilla la tensione d’uscita. Se si
vuole compattare l’equazione dell’uscita, esprimerla solo in funzione di τ, E1, E2 e T, si
sostituiscono le espressioni di V1 e di V2 nelle due equazioni di carica della capacità.
Equazione di carica Vo1(t), verso E1, 0 ≤ t < T/2 Vo1 (t ) = E 1 + (V1 − E 1 ) ⋅ e
Si calcola la quantità V1 − E 1 e si sostituisce in Vo1 (t ) :
V1 − E 1 =
E 2 − E1 ⋅ e
−
T
τ
+ (E 1 − E 2 ) ⋅ e
1− e
=
(E1 − E 2 ) ⋅ e
−
−
−
T
2τ
T
τ
− E1 =
−
T
τ
+ (E 1 − E 2 ) ⋅ e
1− e
T
2τ
1− e
E 2 − E1 ⋅ e
− (E 1 − E 2 )
−
T
τ
e
=
−
T
2τ
−1
−
T
τ
−
T
2τ
1− e
Vo1 (t ) = E 1 −
1− e
1− e
−
⋅ (E 1 − E 2 ) = −
1− e
−
1− e
⋅ (E 1 − E 2 ) ⋅ e
T
τ
−
−
−
t
τ
T
2τ
T
τ
V2 − E 2 =
−
T
τ
− (E 1 − E 2 ) ⋅ e
1− e
=
−
−
T
2τ
T
τ
E1 − E 2 ⋅ e
− E2 =
−
T
τ
(E1 − E 2 ) − (E1 − E 2 ) ⋅ e
1− e
T
−
τ
Vo 2 (t ) = E 2 +
T
2τ
=
1− e
−
1− e
1− e
−
1− e
T
2τ
−
T
τ
T
2τ
−
T
τ
− (E 1 − E 2 ) ⋅ e
−
−
T
τ
⋅ (E 1 − E 2 )
⋅ (E 1 − E 2 ) ⋅ e
−
T
2
τ
t−
T
⎧
−
t
2τ
−
−
1
e
T
⎪E −
τ
(
)
⋅
−
⋅
≤
<
E
E
e
per
0
t
1
2
1
T
⎪
−
2
⎪
1− e τ
⎪
Vo (t ) = ⎨
⎪
T
T
t−
−
⎪
2τ
− 2
1− e
T
τ
⎪E 2 +
(
)
⋅
−
⋅
≤t<T
E
E
e
per
1
2
T
−
2
⎪
1− e τ
⎩
4
T
τ
=
t
τ
1− e
−
−
⋅ (E 1 − E 2 )
Equazione di carica Vo2(t), verso E2, T/2 ≤ t < T
Vo 2 (t ) = E 2 + (V2 − E 2 ) ⋅ e
Si calcola la quantità V2 − E 2 e si sostituisce in Vo 2 (t ) :
E1 − E 2 ⋅ e
− E1 + E1 ⋅ e
T
τ
T
2τ
−
−
T
2τ
−
T
2
τ
t−
− E2 + E2 ⋅ e
−
T
τ
=
T
<< τ (frequenze alte, funzionamento da circuito integratore), l’esponenziale di carica/scarica
2
varia in un piccolo intorno dello zero, ossia la variazione di VC(t), equazione di carica o di scarica,
interessa solo il tratto iniziale della curva di carica/scarica, che è rettilineo. Si può allora utilizzare,
per il calcolo dell’esponenziale, lo sviluppo in serie di McLaurin di ex:
Se
ex = 1+
n
x x2
xn
x x2 x3
n x
+
+ ........ +
+ ....... ; e − x = 1 − +
−
+ ........ + (− 1)
+ .......
1! 2!
n!
1! 2! 2!
n!
t
Cambiando la variabile da − x a − , si ha:
τ
e
−
t
τ
2
n
1⎛ t⎞
1⎛ t⎞
= 1 + ⎜ − ⎟ + ..... + ⎜ − ⎟ + ....
2! ⎝ τ ⎠
n! ⎝ τ ⎠
Essendo nel primo tratto rettilineo delle curve di carica ed essendo Vi costante in ogni semiperiodo
(grado dell’equazione d’ingresso zero), si può fermare lo sviluppo alla prima potenza (che
rappresenta l’equazione di una retta). Nel caso in esame, si ha:
e
t
−
τ
T
− 2
τ
t−
≅ 1−
t
τ
;
e
≅ 1−
t−
τ
T
2
Le equazioni v o1 ( t ) e v o 2 ( t ) diventano due equazioni lineari: v o1 ( t ) una rampa lineare crescente
(in salita); v o 2 ( t ) una rampa lineare decrescente (in discesa).
vi(t), vo(t)
E1
V2
Vo1
Vo2
V1
E2
T/2
T
t
Equazione della rampa crescente Vo1(t), 0 ≤ t < T/2
t ⎞ E − V1
⎛
Vo1 (t ) = E 1 + (V1 − E 1 ) ⋅ ⎜1 − ⎟ = 1
⋅ t + V1
τ
⎝ τ⎠
Equazione della rampa decrescente Vo2(t), T/2 ≤ t < T
T⎞
⎛
⎜ t− ⎟
2 ⎟ = − V2 − E 2 ⋅ ⎛⎜ t − T ⎞⎟ + V
Vo 2 (t ) = E 2 + (V2 − E 2 ) ⋅ ⎜1 −
2
τ
2⎠
τ ⎟
⎜
⎝
⎟
⎜
⎠
⎝
5
Calcolando le due equazioni a T/2 e a T e imponendo che siano rispettivamente uguali a V2 e a V1,
e mettendo a sistema, si calcolano i valori di V1 e V2.
E 1 − V1 T
⎧
⋅ + V1 = V2
⎪⎪Vo1 (t ) =
⎧⎪2τV1 + E 1T − V1T − 2τV2 = 0
τ
2
⇒ ⎨
⎨
⎪⎩2τV2 − V2 T + E 2 T − 2τV1 = 0
⎪V (t ) = − V2 − E 2 ⋅ T + V = V
2
1
⎪⎩ o 2
τ
2
− V1T − V2 T + E 1T + E 2 T = 0 ⇒ V1 + V2 = E 1 + E 2
Si esplicita V2, si sostituisce nella prima e si calcola V1 (analogamente per V2):
V2 = E 1 + E 2 − V1
⇒ 2τV1 + E 1T − V1T − 2τ(E 1 + E 2 ) + 2τV1 = 0 ⇒
⇒ V1 (4τ − T ) = 2τ(E 1 + E 2 ) − E 1T = 0 ⇒ V1 =
V1 = E 1 + E 2 − V2
2τ(E 1 + E 2 ) − E 1T
4τ − T
⇒ 2τV2 + E 2 T − V2 T − 2τ(E 1 + E 2 ) + 2τV2 = 0 ⇒
⇒ V2 (4τ − T ) = 2τ(E 1 + E 2 ) − E 2 T = 0 ⇒ V2 =
2τ(E 1 + E 2 ) − E 2 T
4τ − T
Volendo esprimere l’equazione dell’uscita solo in funzione di τ, E1, E2 e T, si sostituiscono le
espressioni di V1 e di V2 trovate nelle equazioni delle due rampe.
Equazione della rampa crescente Vo1(t), 0 ≤ t < T/2
Si calcola la quantità E 1 − V1 e si sostituisce in Vo1 (t ) :
E 1 − V1 = E 1 −
Vo1 (t ) =
E 1 − V1
⋅ t + V1
τ
2τ(E 1 + E 2 ) − E 1T 4τE 1 − E 1T − 2τE 1 − 2τE 2 + E 1T 2τ(E 1 − E 2 )
=
=
4τ − T
4τ − T
4τ − T
Vo1 (t ) =
2(E 1 − E 2 )
2τ(E 1 + E 2 ) − E 1T
⋅t +
4τ − T
4τ − T
Equazione della rampa decrescente Vo2(t), T/2 ≤ t < T Vo 2 (t ) = −
Si calcola la quantità V2 − E 2 e si sostituisce in Vo 2 (t ) :
V2 − E 2 =
V2 − E 2 ⎛ T ⎞
⋅ ⎜ t − ⎟ + V2
2⎠
τ
⎝
2τ(E 1 + E 2 ) − E 2 T
2τE 1 + 2τE 2 − E 2 T − 4τE 2 + E 2 T 2τ(E 1 − E 2 )
.E 2 =
=
4τ − T
4τ − T
4τ − T
Vo 2 (t ) = −
2(E 1 − E 2 ) ⎛ T ⎞ 2τ(E 1 + E 2 ) − E 2 T
⋅⎜t − ⎟ +
4τ − T ⎝
2⎠
4τ − T
6
⎧ 2(E 1 − E 2 )
2τ(E 1 + E 2 ) − E 1T
T
⋅t +
per 0 ≤ t <
⎪
4τ − T
2
⎪⎪ 4τ − T
Vo (t ) = ⎨
⎪ 2(E − E )
T
⎛ T ⎞ 2τ(E 1 + E 2 ) − E 2 T
1
2
⎪−
≤t<T
⋅⎜t − ⎟ +
per
⎪⎩
4τ − T ⎝
2⎠
4τ − T
2
La forma d’onda d’uscita è un’onda triangolare, ossia è l’integrale del segnale d’ingresso.
USCITA SULLA RESISTENZA (CIRCUITO DERIVATORE)
La capacità si carica al valore medio del segnale d’ingresso e la tensione ai suoi capi varia attorno a
tale valore; pertanto, in uscita si avrà, in ogni caso, un segnale a valore medio nullo.
Il segnale d’ingresso passa periodicamente dal valore E1 al valore E2 e viceversa, cioè l’uscita varia
periodicamente di una quantità ∆Vi = ±(E 1 − E 2 ) . Nel momento della variazione, poiché la tensione
sulla capacità non può variare istantaneamente, tale variazione verrà trasferita interamente sulla
resistenza, la cui tensione subirà una identica variazione.
Istante per istante, si ha:
Vi (t ) = Vo (t ) + VC (t ) ⇒ Vo (t ) = Vi (t ) − VC (t )
Col segnale ad onda quadra d’ingresso, la tensione sulla capacità è quella già calcolata prima.
⎧Vi1 ( t ) = E 1
⎪
Vi ( t ) = ⎨
⎪V ( t ) = E
2
⎩ i2
Con
V1 =
E 2 − E1 ⋅ e
−
T
τ
t
−
⎧
T
τ
(
)
(
)
=
+
−
⋅
V
t
E
V
E
e
per 0 ≤ t <
⎪ C1
1
1
1
2
⎪
⇒ VC (t ) = ⎨
T
t−
⎪
− 2
T
≤t<T
per
⎪VC 2 (t ) = E 2 + (V2 − E 2 ) ⋅ e τ
2
⎩
+ (E 1 − E 2 ) ⋅ e
1− e
Per 0 ≤ t <
−
T
2τ
V2 =
T
−
τ
E1 − E 2 ⋅ e
−
T
τ
− (E 1 − E 2 ) ⋅ e
1− e
−
−
T
2τ
T
τ
T
, si ha:
2
Vi1 (t ) = E 1
⇒ Vo1 (t ) = Vi1 (t ) − VC1 (t ) = E 1 − E 1 − (V1 − E 1 ) ⋅ e
7
−
t
τ
= (E 1 − V1 ) ⋅ e
−
t
τ
I valori iniziale e finale sono:
−
⎧
T
t
=
⎪
2
⎪
⎨
T
−
⎪V ⎛⎜ T ⎞⎟ = (E − V ) ⋅ e − 2 τ = E − V
1
1
1
2
⎪ o1 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎩
⎧t = 0 +
⎪
⎨
⎪V 0 + = E − V
1
1
⎩ o1
( )
L’ultima uguaglianza è vera in quanto, in tale istante, la tensione sulla capacità ha raggiunto il
⎛T−⎞
⎛T−⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
valore V2, quindi, la tensione sulla resistenza deve valere Vo1 ⎜
⎟ = Vi1 − VC1 ⎜ 2 ⎟ = E 1 − V2 .
2
⎝
⎠
⎝
⎠
T
Per
≤ t < T , si ha:
2
Vi 2 (t ) = E 2
⇒ Vo 2 (t ) = Vi 2 (t ) − VC 2 (t ) = E 2 − E 2 − (V2 − E 2 ) ⋅ e
−
T
2
τ
t−
= (E 2 − V2 ) ⋅ e
−
T
2
τ
t−
I valori iniziale e finale sono:
⎧ T+
⎪t =
2
⎪
⎨
+
⎪V ⎛⎜ T ⎞⎟ = E − V
2
2
⎪ o 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎩
⎧
−
⎪t = T
⎪
⎨
⎪
T
−
⎪V T − = (E − V ) ⋅ e 2 τ = E − V
2
2
2
1
⎩ o2
( )
L’ultima uguaglianza è vera in quanto, in tale istante, la tensione sulla capacità ha raggiunto il
valore V1, quindi, la tensione sulla resistenza deve valere Vo 2 (T − ) = Vi 2 − VC 2 (T − ) = E 2 − V1 .
L’andamento della tensione di ingresso, della tensione sulla capacità e della tensione d’uscita è
riportato nel seguente grafico correlato.
vi(t), vc(t)
E1
V2
Vim
Vc2
Vc1
T/2
T
V1
t
E2
E1 − V1
vo(t)
E1 − V2
Vo1
T/2
Vo2
T
t
E2 − V1
E2 − V2
8
Per esprimere Vo1 e Vo2 in funzione delle sole ampiezze E1 e E2, si sostituiscono nelle equazioni
dell’uscita le espressioni di V1 e V2 in funzione di E1 e E2.
Vo1 (t ) = (E 1 − V1 ) ⋅ e
=
E1 − E1 ⋅ e
−
−
T
τ
t
τ
T
T
−
−
⎛
2τ
τ
⎜
E − E 1 ⋅ e + (E 1 − E 2 ) ⋅ e
= ⎜ E1 − 2
T
−
⎜
τ
−
1
e
⎝
− E 2 + E1 ⋅ e
−
1− e
(E − E 2 ) − (E1 − E 2 ) ⋅ e
= 1
1− e
Vo 2 (t ) = (E 2 − V2 ) ⋅ e
=
E2 − E2 ⋅ e
−
−
T
τ
−
T
2
τ
t−
−
−
T
2τ
+ E2 ⋅ e
−
T
2τ
T
τ
−
t
τ
=
1− e
−
1− e
T
2τ
−
T
τ
⋅e
−
t
τ
−
T
2τ
−
T
τ
+ E1 ⋅ e
−
T
2τ
− E2 ⋅ e
T
−
τ
T
− 2
τ
t−
⋅e
=−
1 − ⋅e
1− e
=
⋅ (E 1 − E 2 ) ⋅ e
T
T
−
−
⎛
τ
2τ
⎜
E − E 2 ⋅ e − (E 1 − E 2 ) ⋅ e
= ⎜E2 − 1
T
−
⎜
τ
−
1
e
⎝
− (E 1 − E 2 ) + (E 1 − E 2 ) ⋅ e
1− e
− E1 ⋅ e
⋅e
T
τ
− E1 + E 2 ⋅ e
T
−
τ
−
T
2τ
1− e
=
T
τ
⎞ t
⎟ −τ
⎟⋅e =
⎟
⎠
−
T
2τ
−
T
τ
−
T
2τ
⋅e
−
−
t
τ
⎞ t − T2
⎟ − τ
=
⎟⋅e
⎟
⎠
T
2
τ
t−
=
T
− 2
τ
t−
⋅ (E 1 − E 2 ) ⋅ e
T
⎧
−
t
2τ
⎪1 − e ⋅ (E − E ) ⋅ e − τ per 0 ≤ t < T
1
2
T
⎪
−
2
τ
⎪1− e
⎪
Vo (t ) = ⎨
⎪
T
T
t−
⎪ 1 − e − 2τ
− 2
T
⎪−
⋅ (E 1 − E 2 ) ⋅ e τ
≤t<T
per
T
−
2
⎪
⎩ 1− e τ
T
<< τ , le equazioni di carica della capacità sono approssimabili da equazioni di primo grado:
2
tratti di rette. In tale caso anche il segnale d’uscita sarà costituito da tratti di rette.
Se
⎧E 1
⎪
Vi ( t ) = ⎨
⎪E
⎩ 2
2(E 1 − E 2 )
2τ(E 1 + E 2 ) − E 1T
T
⎧
per 0 ≤ t <
⎪⎪VC1 (t ) = 4τ − T ⋅ t +
4τ − T
2
⇒ VC (t ) = ⎨
⎪VC 2 (t ) = − 2(E 1 − E 2 ) ⋅ ⎛⎜ t − T ⎞⎟ + 2τ(E 1 + E 2 ) − E 2 T per T ≤ t < T
⎪⎩
4τ − T ⎝
2⎠
4τ − T
2
9
Vc(t) oscilla attorno al valore medio Vim =
V1 =
E1 + E 2
, con
2
2τ(E 1 + E 2 ) − E 1T
4τ − T
V2 =
2τ(E 1 + E 2 ) − E 2 T
4τ − T
vi(t), vc(t)
E1
V2
Vc1
Vim
V1
Vc2
T/2
T
t
E2
E1 − V1
vo(t)
E1 − V2
Vo1
T/2
Vo2
T
t
E2 − V1
E2 − V2
Per 0 ≤ t <
T
, si ha:
2
Vo1 (t ) = Vi1 (t ) − VC1 (t ) = E 1 −
2(E 1 − E 2 )
2τ(E 1 + E 2 ) − E 1T
⋅t −
=
4τ − T
4τ − T
=−
4τE 1 − E 1T − 2τE 1 − 2τE 2 + E 1T
2(E 1 − E 2 )
⋅t +
=
4τ − T
4τ − T
=−
2(E1 − E 2 )
2τ(E1 − E 2 )
2(E1 − E 2 )
⋅t +
=−
⋅ (t − τ )
4τ − T
4τ − T
4τ − T
I valori iniziale e finale sono:
⎧
⎪t = 0 +
⎪
⎨
⎪
2(E 1 − E 2 )
⎪Vo1 0 + =
4τ − T
⎩
−
⎧
T
⎪t =
2
⎪
⎨
−
⎪V ⎛⎜ T ⎞⎟ = (E 1 − E 2 ) ⋅ (2τ − T )
⎪ o1 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
4τ − T
⎩
( )
Per
T
≤ t < T , si ha:
2
Vo 2 (t ) = Vi 2 (t ) − VC 2 (t ) = E 2 +
2(E 1 − E 2 ) ⎛ T ⎞ 2τ(E 1 + E 2 ) − E 2 T
⋅⎜t − ⎟ −
=
4τ − T ⎝
2⎠
4τ − T
10
=
=
2(E 1 − E 2 ) ⎛ T ⎞ 4τE 2 − E 2 T − 2τE 1 − 2τE 2 + E 2 T
⋅⎜t − ⎟ +
=
4τ − T ⎝
2⎠
4τ − T
2(E 1 − E 2 ) ⎛ T ⎞ 2τ(E 1 − E 2 ) 2(E 1 − E 2 ) ⎛ T
⎞
⋅ ⎜ t − − τ⎟
=
⋅⎜t − ⎟ −
4τ − T ⎝
2⎠
4τ − T
4τ − T ⎝
2
⎠
I valori iniziale e finale sono:
⎧
⎪t = T −
⎪
⎨
⎪
(E − E 2 ) ⋅ (2τ − T )
⎪Vo 2 T − = − 1
4τ − T
⎩
⎧ T+
⎪t =
2
⎪
⎨
+
⎪V ⎛⎜ T ⎞⎟ = − 2τ(E 1 − E 2 )
⎪ o 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
4τ − T
⎩
( )
⎧ 2(E 1 − E 2 )
T
⋅ (t − τ) per 0 ≤ t <
⎪−
4τ − T
2
⎪⎪
Vo (t ) = ⎨
⎪ 2(E − E )
T
⎛ T
⎞
1
2
⎪
⋅ ⎜ t − − τ ⎟ per
≤t<T
⎪⎩ 4τ − T ⎝
2
2
⎠
ONDA QUADRA DI AMPIEZZA E CON VALORE MEDIO NULLO
T
⎧
≤
<
E
per
0
t
⎪⎪
2
Vi ( t ) = ⎨
T
⎪− E per
≤t<T
⎪⎩
2
E
V2
vi(t), vo(t)
Vo1
Vo2
T/2
T
V1
t
−E
Le equazioni dell’uscita sulla capacità e sulla resistenza si ottengono direttamente dalle equazioni
trovate nel caso di generica onda quadra mettendo al posto di E1 l’ampiezza E, al posto di E2
l’ampiezza −E.
Uscita sulla capacità
T
⎧
−
t
t
2τ
−
−
1
e
−
⎪E + (V − E ) ⋅ e τ = E −
τ
2
E
e
per 0 ≤ t <
⋅
⋅
1
T
⎪
−
⎪
1− e τ
⎪
Vo (t ) = ⎨
⎪
T
T
T
t−
t−
−
2
⎪
2
τ
−
− 2
1− e
τ
⎪− E + (V2 + E ) ⋅ e τ = −E +
2
E
e
per
⋅
⋅
T
−
⎪
1− e τ
⎩
11
T
2
T
≤t<T
2
Con
V1 =
2e
−
T
2τ
−e
1− e
−
−
T
τ
−1
T
τ
⋅E
V2 =
1+ e
−
T
τ
− 2e
1− e
−
T
τ
−
T
2τ
⋅ E = − V1
T
<< τ
2
Se
⎧ E − V1
4E
E⋅T
T
⋅ t + V1 =
⋅t −
per 0 ≤ t <
⎪
4τ − T
4τ − T
2
⎪⎪ τ
Vo (t ) = ⎨
⎪ E+V
T⎞
4E ⎛ T ⎞ E ⋅ T
2 ⎛
⎪−
⋅ ⎜ t − ⎟ + V2 = −
⋅⎜t − ⎟ +
⎪⎩
τ
2⎠
4τ − T ⎝
2 ⎠ 4τ − T
⎝
V1 = −
con
E⋅T
4τ − T
V2 =
T
≤t<T
2
per
E⋅T
= − V1
4τ − T
Uscita sulla resistenza
T
⎧
−
t
t
2τ
−
−
1
e
−
⎪(E − V ) ⋅ e τ =
τ
2
E
e
per 0 ≤ t <
⋅
⋅
1
T
⎪
−
⎪
1− e τ
⎪
Vo (t ) = ⎨
⎪
T
T
T
t−
t−
−
2
⎪
τ
2
−
− 2
1− e
τ
⎪− (E + V2 ) ⋅ e τ = −
2
E
e
per
⋅
⋅
T
−
⎪
1− e τ
⎩
Con
V1 =
2e
−
T
2τ
−e
1− e
−
−
T
τ
T
τ
−1
⋅E
V2 =
1+ e
−
T
τ
T
2
T
≤t<T
2
− 2e
1− e
−
T
τ
−
T
2τ
⋅ E = − V1
T
Se << τ
2
⎧
4E
T
⋅ (t − τ ) per 0 ≤ t <
⎪−
2
⎪⎪ 4τ − T
Vo (t ) = ⎨
⎪ 4E
T
⎛ T
⎞
⎪
⋅ ⎜ t − − τ ⎟ per
≤t<T
⎪⎩ 4τ − T ⎝
2
2
⎠
ONDA QUADRA DI AMPIEZZA E CON VALORE MEDIO E/2
T
⎧
⎪⎪E per 0 ≤ t < 2
Vi ( t ) = ⎨
⎪0 per T ≤ t < T
⎪⎩
2
E
V2
Vim
V1
vi(t), vo(t)
Vo1
T/2
Vo2
T
t
12
Uscita sulla capacità
T
⎧
−
t
t
⎪E + (V − E ) ⋅ e − τ = E − 1 − e 2 τ ⋅ E ⋅ e − τ per 0 ≤ t < T
1
T
⎪
−
2
⎪
1− e τ
⎪
Vo (t ) = ⎨
⎪
T
T
T
t−
t−
−
2
⎪
2τ
− 2
−
1− e
T
τ
τ
⎪V2 ⋅ e
=
per
⋅E⋅e
≤t<T
T
−
2
⎪
τ
1− e
⎩
e
V1 =
Con
−
T
2τ
−e
1− e
−
T
τ
T
−
τ
⋅E
V2 =
1− e
−
1− e
T
2τ
−
T
τ
⋅E
T
<< τ
2
⎧
T⎞
⎛
2E ⋅ ⎜ τ − ⎟
⎪E − V
2E
2E ⎛
T⎞
T
2⎠
⎝
1
⎪
=
⋅ ⎜ t + τ − ⎟ per 0 ≤ t <
⋅ t + V1 =
⋅t +
4τ − T
4τ − T
4τ − T ⎝
2⎠
2
⎪ τ
⎪
Vo (t ) = ⎨
⎪ V
T
2E ⎛ T ⎞
2τE
2E ⎛
T⎞
T
⎪− 2 ⋅ ⎛⎜ t − ⎞⎟ + V2 = −
⋅⎜t − ⎟ +
=−
⋅ ⎜ t − τ − ⎟ per
≤t<T
2⎠
4τ − T ⎝
2 ⎠ 4τ − T
4τ − T ⎝
2⎠
2
⎪ τ ⎝
⎪
⎩
Se
V1 =
con
(2τ − T ) ⋅ E
V2 =
4τ − T
2τE
4τ − T
Uscita sulla resistenza
T
⎧
−
t
t
2τ
−
⎪(E − V ) ⋅ e τ = 1 − e ⋅ E ⋅ e − τ per 0 ≤ t < T
1
T
⎪
−
2
⎪
1− e τ
⎪
Vo (t ) = ⎨
⎪
T
T
T
t−
t−
−
⎪
2τ
− 2
− 2
1
e
−
T
⎪− V2 ⋅ e τ = −
per
⋅E⋅e τ
≤t<T
T
−
2
⎪
1− e τ
⎩
Con
V1 =
e
−
T
2τ
−e
1− e
Se
T
<< τ
2
−
−
T
τ
T
τ
⋅E
V2 =
1− e
−
1− e
T
2τ
−
T
τ
⋅E
⎧
2E
T
⋅ (t − τ ) per 0 ≤ t <
⎪−
2
⎪⎪ 4τ − T
Vo (t ) = ⎨
⎪ 2E
T
⎛ T
⎞
⎪
⋅ ⎜ t − − τ ⎟ per
≤t<T
2
2
⎠
⎩⎪ 4τ − T ⎝
13