Fenomeni di Trasporto

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CALCOLI MACROSCOPICI: TRASPORTO DI MATERIA
La velocità di trasferimento di massa attraverso l’interfaccia ha,
per i processi di separazione, un ruolo altrettanto importante
delle condizioni di equilibrio termodinamico tra le fasi perchè
determina le dimensioni dell’apparecchiatura.
feed
Esistono approcci differenti per tener conto delle condizioni di
equilibrio e della velocità di trasferimento nei diversi processi
(vedi assorbimento e strippaggio vs distillazione ed estrazione
liquido-liquido, in rapporto all’uso di efficienze di stadi).
Tipi di estrattori
(a) Perforated-tray extractor, (b) rotating-disk extractor,
(c) mixer-settler extractor, (d) spray extractor,
(e) packed-tower extractor)
Esistono approcci differenti per tener conto delle condizioni di
equilibrio e della velocità di trasferimento nei diversi processi
(vedi assorbimento e strippaggio vs distillazione ed estrazione
liquido-liquido, in rapporto all’uso di efficienze di stadi).
Coefficienti di trasferimento interfacciale di materia
in sistemi gas-liquido
La velocità di trasferimento tra le due fasi dipende dal grado di
miscelazione e dall’estensione dell’area interfacciale (legati tra
loro e dipendenti dall’energia spesa per la miscelazione o per il
passaggio attraverso letti a riempimento).
La complessa distribuzione spaziale delle due fasi comporta la
rinuncia all’approccio fondamentale (coefficienti di diffusione,
profili di concentrazione) e il ricorso a quello ingegneristico,
all’uso di coefficienti di trasferimento:
coefficienti di trasferimento individuali (tra bulk e interfaccia)
k mx  k mc c 
k mc P
 k mp P
RΤ
coefficienti di trasferimento di materia globali (tra bulk e bulk)
utili al calcolo del flusso molare di una specie (A) tra le due
fasi
N A  K OG  x A
La definizione di KOG (overall mass transfer coefficient) è
legata a quella della differenza tra le ‘bulk average mole
fractions’
Il coefficiente globale Kog può essere correlato ai coefficienti
individuali, relativi ai due film contigui all’interfaccia liquido-gas,
come somma di due ‘resistenze
interfaccia
in serie’, legate ai coefficienti
x AG
individuali, partendo da
liquido
N A  K OG x  x OG 

x
x GA i


G
 k mx
x AG  x GAi 
L
 k mx
L
Ai
 x AL
x AL i
All’interfaccia vale la relazione
di equilibrio
  m
x f x
G
A
L
A
A
x
L
A
che è lineare per bassi valori di
concentrazione
x  mAx
G
Ai
gas
x AL
two film theory
 
x GA
x
f x AL
m A x AL
G
Ai
x 
G 
A
L
Ai
x AL

G
N A  k mx
x AG  x GAi

x AL i
x AL
G

x
m A L 
L  Ai
 k mx

x  K OG x  x OG
 mA mA A 


Le concentrazioni all’interfaccia non sono note e torna utile
introdurre un’altra concentrazione calcolabile dall’equilibrio e
dalla concentrazione della fase liquida (bulk)
x   m
G 
A
L
x
A A
Il coefficiente globale Kog può essere correlato ai coefficienti
individuali, relativi ai due film contigui all’interfaccia liquido-gas,
come somma di due ‘resistenze
interfaccia
in serie’, legate ai coefficienti
x AG
individuali, partendo da
liquido
N A  K OG x  x OG 

x
x 


G 
A
G
 k mx
x AG  x GAi 
L
 k mx
L
Ai
 x AL
  m
x f x
L
A
A
x
x  mAx
gas
two film theory
 
x GA
L
A
che è lineare per bassi valori di
concentrazione
G
Ai
x AL i
x AL
All’interfaccia vale la relazione
di equilibrio
G
A
x GA i
x
f x AL
m A x AL
G
Ai
x 
G 
A
L
Ai
x AL

G
N A  k mx
x AG  x GAi

x AL
x AL i
G

x
m A L 
L  Ai
 k mx

x  K OG x  x OG
 mA mA A 


Le concentrazioni all’interfaccia non sono note e torna utile
introdurre un’altra concentrazione calcolabile dall’equilibrio e
dalla concentrazione della fase liquida (bulk)
x   m
G 
A
NA  k
G
mx
x
G
A
x
G
Ai
 k
L
mx
L
x
A A
    K
1 G
x Ai  x GA
mA

OG x
 x OG
 

E’ conveniente usare x GA , concentrazione di pseudoequilibrio
per definire xOG
 
 x    K
 x OG  x AG  x GA
NA  k
G
mx
x
G
A
x
G
Ai
 k

1 G
xA i
mA
L
mx

G 
A
OG x
x  x  
G
A
G 
A
E’ così possibile sommare le resistenze in serie riguardanti i
due film adiacenti all’interfaccia, lato gas e lato liquido, usando
termini di concentrazione x G
tra loro omogenei
A
G 
A
  
 1 mA
 x x  x  x
 N A  G  L
 k mx k mx
1
1
1 mA
K OG x 
 G  L
1 mA
K OG x k mx k mx
 L
G
k mx k mx
  
x  x
G
A
G
A
G
Ai

G 
A
G
Ai

1
  N A
K OG x

Sperimentalmente, è misurabile soltanto K OG x e non i valori dei
coefficienti individuali che si possono ricavare da esso, nel caso
in cui la resistenza al trasferimento di materia sia controllata da
uno dei due film (gassoso o liquido).
mA piccolo (alta solubilità di A in fase liquida)
mA
1
 G
L
k mx
k mx
1
K OG x

1
G
k mx
G
K OG x  k mx
trasferimento di materia controllato dal film gassoso
mA grande (bassa solubilità di A in fase liquida)
mA
1
 G
L
k mx
k mx
1
K OG x
m
 LA
k mx
K OG x
L
k mx

mA
trasferimento di materia controllato dal film liquido
Correlazioni dei coefficienti di trasferimento con i relativi numeri
caratteristici sono desumibili dai dati sperimentali a condizione
che l’area interfacciale sia nota. Altrimenti, le correlazioni sono
disponibili per i coefficienti volumetrici kmxai (ai: area interfacciale
per unità di volume)
Un esempio di correlazioni per aree interfacciali note riguarda i
flussi interni in tubi
moto laminare
S h  1.86 G z m
Sh 
k mc D
D
( DL oo DDG) )
G
G
1/3
D
m
Gz m 
Re Sc 
4L
DL
mass transfer Graetz number
moto turbolento
f
 0.023 Re - 0.2
2
S h  0.023 R e 0.8 S c 1/3
jM  jH 
0 .6  S c  2 .5
eguale all’equazione di Dittus-Boelter con Sc al posto di Pr
Per alti Sc ( 4 3 0  S c  1 0 5 )
S h  0 .0 0 9 6 R e 0.91 S c 0.35
trasferimento di massa in colonne di assorbimento
(o strippaggio) (colonne a riempimento)
sistema reale
modello semplificato
N zL1
N zG1
N zL 2
N zG 2
z  z
z
trasferimento di massa in colonne di assorbimento
(o strippaggio) (colonne a riempimento)
modello semplificato della sezione a riempimento
► correnti (liquida e gassosa) uniformi e parallele
► composizione e velocità uniformi nella sezione
► scambio di massa attraverso l’area interfacciale ai (riferita
all’unità di volume) di valore eguale nell’intero riempimento
► assenza di trasporto diffusivo nella direzione assiale (di moto
delle correnti)
► profili continui delle concentrazioni nella direzione del moto
modello semplificato
N zL1
N zG1
N zL 2
N zG 2
z  z
z
N zL1
N zG1
N zL 2
N zG 2
z  z
z
Bilancio relativo alla specie A (specie assorbita), alla fase gas
e all’elemento di volume Szz
N AGz S z  N AGz
z
z  dz
N AGz  N AGz
z

z
dN AGz
S z - N Ai a i S z  z  0
z  dz
- N Ai a i  0
- N Ai a i  0
dz
d N zG x GA

- N Ai a i  0
dz


dove il flusso molare interfacciale della specie A è dato da
  
N A i  K OG x x  x
G
A
G 
A
 K OG x  x OG
x  è determinata da
G 
A
xAL, attraverso l’equazione di equilibrio,
x   m
G 
A
A
x AL
Dal bilancio relativo alla specie A relativo alla corrente liquida
per lo stesso elemento di volume Szz:


d N zL x AL

 N Ai a i  0
dz
Assumendo, per convenzione, entrambi i flussi orientati nella
direzione positiva z, ne discende che N zL x AL è intrinsecamente
negativo.
Se la miscela è binaria e la specie B rappresenta il solvente in
fase liquida
x BL  1
G
K OG x  k mx
dove
NBi  k
x   m
G 
B
G
mx
x   x 
G 
B
G
B
pB0
mB 
P
L
x
B B
la concentrazione di B in fase gassosa è dettata dalla tensione
di vapore
Il bilancio relativo a B in fase gassosa è:


d N zG x BG

 N Bi ai  0
dz
Il bilancio relativo al flusso di gas è:
dN zG

 N Ai a i  N B i a i  0
dz
La condizione di equilibrio gas-liquido è espressa nel modo più
semplice dalla legge di Henry
da cui
p A  P x GA  H A x AL
HA
mA 
P
valori della costante di Henry per sistemi gas-acqua
(HA x 104 atm)
L
Il flusso di liquido N z può essere ricavato dal bilancio globale tra
una generica sezione e la sezione di fondo (2)
N zL   N zG  N zL  N zG
2
2
Vale sempre la convenzione che entrambi i flussi sono orientati
nella direzione positiva z.

 
N zL x AL   N zG x AG  N zL x AL 2  N zG x AG

2
Gli stessi bilanci possono essere fatti tra sezione di testa (1) e
sezione di fondo (2) per fissare I vincoli tra flussi molari delle
due fasi e frazioni molari di A nelle correnti entranti e uscenti.
La risoluzione del problema è basata sull’uso combinato delle
equazioni scritte alle quali va aggiunta l’equazione di bilancio di
energia termica.
La risoluzione è più semplice se si può assumere che i flussi di
liquido e di gas ( N zL e N zG) siano costanti (ciò vale nel caso di
limitato assorbimento e trasferimento, il che comporta che si
può anche assumere che il processo sia isotermo) e soltanto la
specie A sia oggetto del processo di trasferimento di massa.


G
d N zG x AG
G dx A

 N Ai a i   N z
 N Ai a i  0
dz
dz
G

d
x
 N zG A  a i K OG x x AG  x GA  0
dz
  
Per calcolare l’altezza del riempimento ZT si può separare le
variabili e integrare
x AG1
d x AG
xA2
x  x
G
G
A
 
G 
A

a i K OG x
N
G
z

ZT
0
dz
N zG
ZT 
ai K OG x

x AG2
x AG1
d x AG
 
x AG  x GA

Z T
ZT  H OG  N T U G
 H T U N T U 
dove HOG è l’’altezza di un’unità di trasferimento’, che è basata
sul coefficiente globale di scambio riferito alla fase gassosa (v.
indice OG)
G
H OG
Nz

ai K OG x
1
K OG x

1 mA
 L
G
k mx k mx
e può essere quindi considerata somma di due contributi dovuti
ai film gassoso e liquido
con
G
m
N
H OG  H G  A L z H L
Nz
N zG
N zL
G
L
H 
H 
G
ai k m x
ai k mL x
HOG è una misura della difficoltà di separazione, legata ai valori
dei coefficienti individuali, oltre che all’area interfacciale
NTUG è il ‘numero di unità di trasferimento’
x AG2
NTU   G
G
x A1
d x AG
 
x AG  x GA

e misura il grado di separazione, legato ai valori di
x GA1 e x GA 2
Fissato il grado di separazione (e quindi NTUG) un alto valore
di HOG significa un’altezza maggiore della torre a riempimento.
Il calcolo di NTUG, essenziale per il calcolo di ZT, dipende dalla
integrazione della funzione 1/ x AG  x GA  e quindi dalla relazione
*
tra x GA e x AG
  
 
x   m
G 
A
L
x
A A
x AL deve essere correlato al valore di x AG della corrente gassosa
che attraversa la colonna alla stessa coordinata z
Se i flussi molari sono costanti in colonna:
N zL  N zL 2  N L
N zG  N zG 2  N G
dal bilancio tra la generica sezione e il fondo colonna

 
N L x AL   N G x AG  N L x AL 2  N G x AG
si ricava
x x
L
A
L
A2

NG G
 L x A 2  x AG
N

2

Essendo stata ipotizzata una relazione lineare di equilibrio, il
numero di unità di trasferimento NTUG può essere determinato
analiticamente
 


G
N
x AG  x GA *  x AG  m x AL  x AG  m x AL 2  m L x AG 2  x AG 
N
G
G
N G
N 
G
L 
 x A 1  m L   m  L x A 2  x A 2 
N 

N

 
x AG  x GA *   1 x AG   2
NG
1  1  m L
N
 NG G

 2  m  L x A 2  x AL 2 
N

x AG 2
NTU G   G
x A1
d x AG
1  1 x AG 2   2

ln
G
 1 x A   2  1  1 x AG 1   2
H OG  1 x AG 2   2
ZT 
ln
1
 1 x AG1   2
retta di lavoro
x GA
x 
x AG
 
x  x
G
A
retta di equilibrio
*
m A x AL
xAL
xAL
G
A
G 
A
1
x AG  x GA
 *
NTU G
x AG1
x AG 2 x AG
Calcolo dell’altezza di una torre di assorbimento
Una corrente d’aria contenente 5% (in volume) di SO2 e avente
una pressione di 1 atm. è inviata a una torre di assorbimento
contenente un riempimento costituito da anelli Raschig (1”) con
l’obiettivo di rimuovere il 90% del contenuto di SO2 usando come
solvente in controcorrente acqua a 20°C. La velocità di massa
dell’aria in ingresso è 250 lb/(ft2 hr), quella dell’acqua è 5000
lb/(ft2 hr).
Calcolare l’altezza della colonna (della sezione di riempimento).
I flussi molari entranti e uscenti d’aria sono:
0.95
250
 8.19 lbmol/(ft2 hr)
29
Il flusso molare entrante di SO2 è:
8.19
0.05
 0.43 lbmol/(ft2 hr)
0.95
La frazione molare di SO2 nella corrente gassosa uscente è:
x
G
A1
0.043

 0 0052
8.19  0.043
in quella entrante è:
x AG 2 
0.43
 0 .0499
8.19  0.43
Assumendo che le portate di gas e di liquido siano costanti in
colonna, la frazione molare di SO2 nel liquido uscente si ricava
dal bilancio totale intorno all’intera sezione di riempimento:
x AL 1  x AL 2

NG G
 L x A 2  x AG 1
N

x AL 2

NG G
 L x A 2  x AG 1
N

x
x AL 2
L
A2

NG G
 L x A 2  x AG 1
N

250
0.0499 - 0.0052 
 29
 0 00139
5000
18
La costante di Henry relativa all’assorbimento di SO2 in acqua a
20°C è pari a 33 atm e quindi, operando alla pressione di 1 atm,
si ha:
mA 
HΑ
 33
P
valori della costante di Henry per sistemi gas-acqua
(HA x 104 atm)
Se il liquido uscente fosse all’equilibrio con il gas entrante, si
avrebbe:
G
x 
L 
A 2
x A 2 0 0499


 0 00152
mA
33
Il liquido uscente è molto vicino alla condizione di equilibrio.
Da relazioni che legano il coefficiente di trasferimento sul lato
liquido al numero di Reynolds e al numero di Schmidt e quello
sul lato gas alle portate delle due correnti si ricava:
L
G
K mx
a i  201 lbmol/(ft3 hr)
K mx
a i  21.8 lbmol/(ft3 hr)
1
K OG x ai 
 4 76 lbmol/(ft3 hr)
33
1

201 21.8
Essendo la relazione di equilibrio lineare, si può usare:
H OG  1 x AG 2   2
ZT 
ln
1
 1 x AG1   2
250
NG
1  1  m L  1  33 29  0 0241
5000
N
18
 250

G


N G
L 
29
 2  m  L x A 2  x A 2   33 
0.0499  000139 
 5000

N



 18

 2  0  0051
N TU G 
1
- 0.0241  0.0499  0.0051
ln
 10.13
- 0.0241 - 0.0241  0.0052  0.0051
H OG
N zG

ai K OG x
250
 29  1.81 ft
4.76
Z T  1 0 .1 3  1 .8 1  1 8 .3 ft

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