autovalori-autovettori

Geometria
AUTOVALORI-AUTOVETTORI
Matrice di partenza:
4 1 1 
A = 1 4 1 
1 1 4
Calcolare:
• Autovalori
• Polinomio caratteristico
• Autospazi
• Autovettori
• Diagonalizzabilità
• Matrice M e A’
 x
 x
 
 
3
• Risolvere il sistema A  y  = 27 y 
z
z
 
 
1. Trovare gli autovalori
Calcolo analitico:
det( A − λI ) = 0
MATLAB:
autoval = eig(A)
3.0000
3.0000
6.0000
Quindi
λ1, 2 = 3
con molteplicità d (λ ) = 2
λ3 = 6
con molteplicità d (λ ) = 1
2. Trovare il polinomio caratteristico:
Calcolo analitico:
P (λ ) = det( A − λI )
MATLAB:
P = poly(A)
1.0000
Quindi
-12.0000
45.0000
-54.0000
P (λ ) = λ3 − 12λ2 + 45λ − 54
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3. Trovare gli autospazi:
Calcolo analitico:
per ogni autovalore calcolare ( A − λI ) X = 0 e X è il mio autospazio.
Autospazio associato a λ1, 2 = 3 :
( A − λI ) X = 0
Î
Quindi
1
1  1 1 1
4 − 3

( A − 3I ) =  1
4−3
1  = 1 1 1
 1
1
4 − 3 1 1 1
1 1 1  x  0
1 1 1 ⋅  y  = 0

    
1 1 1  z  0
La matrice ha rango 1, quindi ho 2 incognite libere (utilizzo una equazione del sistema). Trovo la
soluzione, che è il mio autospazio:
 x  − y − z 
 y =  y 
  

 z   z 
Poiché ho due incognite libere, avrò 2 autovettori associati a questo autospazio.
Autospazio associato a λ3 = 6 :
( A − λI ) X = 0
Quindi
Î
1
1  − 2 1
1
4 − 6



( A − 6I ) =  1
4−6
1  =  1 − 2 1 
 1
1
4 − 6  1
1 − 2
1   x  0 
− 2 1
 1 − 2 1  ⋅  y  = 0 

    
 1
1 − 2  z  0
La matrice ha rango 2 (determinante è uguale a zero), quindi ho 1 incognita libera (utilizzo 2
equazioni del sistema). Trovo la soluzione, che è il mio autospazio:
 x z
 y = z
   
 z   z 
Poiché ho una incognita libera, avrò 1 autovettore associato a questo autospazio.
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4. Trovare gli autovettori:
Calcolo gli autovettori partendo dagli autospazi:
Autospazio associato a λ1, 2 = 3 genera due autovettori:
 x  − y − z  y =1
− 1
 y  =  y  →
z =0
v1 =  1 
  

 z   z 
 0 
 x   − y − z  y =0
− 1
 y  =  y  
z =1
→ v2 =  0 
  

 z   z 
 1 
Autospazio associato a λ3 = 6 genera un autovettore:
 x z
1
 y  =  z  →
z =1
v3 = 1
   
 z   z 
1
Verifica:
( A − 3I ) ⋅ v1 = 0
( A − 3 I ) ⋅ v2 = 0
( A − 6 I ) ⋅ v3 = 0
5. Diagonalizzabilità
Per la diagonalizzabilità devo analizzare gli autovalori:
λ1, 2 = 3
con molteplicità algebrica d (λ ) = 2
con molteplicità geometrica m(λ ) = 2
λ3 = 6
con molteplicità algebrica d (λ ) = 1
con molteplicità geometrica m(λ ) = 1
n=3
grado del polinomio caratteristico
La molteplicità algebrica è l’esponente dell’autovalore, e la molteplicità geometrica è il numero di
incognite libere dell’autospazio associato all’autovalore.
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Poiché sono rispettate le proprietà:
d (λ ) = m(λ ) per ogni autovalore
∑ d (λ ) = n
•
•
si può concludere che gli autovalori sono tutti regolari, quindi la matrice A è diagonalizzabile.
6. Matrice M
La matrice M è la matrice che ha per colonne gli autovettori. Se la matrice A è diagonalizzabile,
allora posso applicare la seguente formula:
A1 = M −1 AM
dove la matrice A1 è una matrice di zeri che ha sulla diagonale gli autovalori di A.
− 1 − 1 1
M =  1 0 1
 0 1 1
Quindi
3 0 0 
A1 = 0 3 0
0 0 6
MATLAB:
Adiag =
3.0000
0
0
0.0000
3.0000
0.0000
0.0000
0.0000
6.0000
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7. Sistema lineare
 x
 x
 
 
A  y  = 27 y 
z
z
 
 
3
Calcolo A3:
con
4 1 1 
A = 1 4 1 
1 1 4
90 63 63
A = A ⋅ A ⋅ A = 63 90 63
63 63 90
3
Quindi scrivo A3 ⋅ X = 27 ⋅ X
90 63 63  x 
 x
63 90 63 ⋅  y  = 27 ⋅  y 

  
 
63 63 90  z 
 z 
90 63 63  x 
 x  0 
63 90 63 ⋅  y  − 27 ⋅  y  = 0

  
   
63 63 90  z 
 z  0
Scrivo il sistema:
90 x + 63 y + 63z − 27 x = 0
63 x + 63 y + 63z = 0
63 x + 90 y + 63z − 27 y = 0
63 x + 63 y + 90 z − 27 z = 0
63 x + 63 y + 63z = 0
63 x + 63 y + 63z = 0
In forma matriciale:
B⋅ X = 0
63 63 63  x  0
63 63 63 ⋅  y  = 0

    
63 63 63  z  0
La matrice B ha rango 1, ho due ingenite libere e quindi posso eliminare due righe della matrice. Il
sistema è omogeneo ( B ⋅ X = 0 ), quindi ammette sempre soluzione. Ora devo trovare il numero di
soluzioni.
n=3
m=3
r =1
numero di incognite
numero di equazioni
rango della matrice B
Poiché
n>r
Nel nostro caso:
n−r
allora il sistema ha ∞ soluzioni
∞ 2 soluzioni
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Voglio ora trovare la soluzione analitica del sistema di equazioni. Poiché ho due incognite libere,
mi basta prendere una sola equazione:
Considero la prima equazione:
63x + 63 y + 63 z = 0 Î
x+ y+z =0 Î
x = −y − z
Quindi la mia soluzione è:
 x − y − z
  

 y =  y 
z  z 
  

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