2011.08.12.F1.Compit..

Corsi di Laurea in Ingegneria
Prova scritta di Fisica Generale 1 (Prof. G. Naletto)
Corsi estivi a Bressanone - Bressanone, 12 Agosto 2011
Cognome .............................................................. Nome ........................................... Matricola .......................
Docente di riferimento a Padova: Prof. ...................................................................
Problema 1
Un corpo A di dimensioni trascurabili e massa mA = 1.2 kg
giace su un piano orizzontale liscio appoggiato ad una molla
ideale di costante elastica k = 400 N/m parallela al piano,
l
vincolata ad un estremo e compressa di ∆x = 0.15 m. Ad un
certo istante la molla viene sbloccata ed il corpo inizia a muoversi sul piano. Dopo essersi staccato dalla molla, il corpo A
attraversa un tratto scabro di lunghezza l del piano; il coefficiente di attrito dinamico tra corpo e piano è µ = 0.08 e
l’intervallo di tempo impiegato dal corpo ad attraversare il tratto scabro è pari a ∆t = 0.5 s. Dopo aver superato questo
tratto scabro, quindi nuovamente sul piano liscio, il corpo A urta in modo completamente anelastico un corpo B di massa
mB = 2mA inizialmente fermo sul piano. I due corpi uniti, infine, vanno a comprimere un’altra molla identica alla
precedente, parallela al piano e vincolata all’estremo opposto rispetto ai corpi. Determinare:
a) la lunghezza l del tratto scabro di piano;
b) il modulo v della velocità del sistema dei corpi A+B dopo l’urto.
A
B
Problema 2
A
θ
B
Un corpo A di dimensioni trascurabili e massa mA = 5 kg giace su un piano liscio
inclinato di un angolo θ = 30°. Il corpo è collegato verso l’alto ad una molla ideale
parallela al piano, vincolata ad un estremo ed estesa di ∆x = 0.2 m, e verso il basso ad
una fune ideale, tesa parallelamente al piano. All’altro estremo della fune, per mezzo
di una carrucola ideale, è collegato un corpo B di massa mB = 3mA soggetto alla forza
peso. Inizialmente tutto il sistema è fermo. Ad un certo istante, si stacca la molla ed il
sistema dei due corpi inizia a muoversi. Determinare:
a) il valore della costante elastica k della molla;
b) l’altezza h di cui è sceso il corpo B quando il modulo della sua velocità è
v = 3 m/s.
Problema 3
v B
l
R
z
A
–v
l
Una corpo rigido è costituito da una sfera omogenea di raggio R = 0.2 m e massa M = 5m = 5 kg
e da due sbarrette di sezione trascurabile, lunghezza l = R e massa m = 1 kg; le due sbarrette
hanno entrambe un estremo in contatto con la superficie della sfera, sono orientate radialmente e
disposte simmetricamente rispetto al centro della sfera. Il corpo, che può ruotare senza attrito
attorno ad un asse fisso z passante per il centro della sfera e perpendicolare alle sbarrette,
inizialmente è fermo. Ad un certo istante, due corpi A e B di dimensioni trascurabili, di uguale
massa mA = mB = m/4 e aventi velocità opposte di modulo v = 5 m/s e direzione perpendicolare
al piano contenente l’asse di rotazione z e le sbarrette, urtano in modo completamente anelastico
le sbarrette stesse ai loro estremi liberi (vedi figura) rimanendovi attaccate. Determinare:
a) il momento di inerzia Iz rispetto all’asse di rotazione del corpo rigido prima dell’urto;
b) il modulo ω della velocità angolare del sistema dopo l’urto.
Problema 4
Tre moli di gas ideale biatomico contenute in un cilindro adiabatico chiuso da un pistone adiabatico che può muoversi
senza attrito si trovano nello stato iniziale A in equilibrio alla pressione pA = 105 Pa e occupano un volume VA = 0.1 m3.
Per mezzo di un rapido spostamento del pistone, il gas viene espanso; quando il volume del gas è VB = 2VA e
corrispondentemente la sua energia interna è variata di ∆UAB = –6000 J, si blocca il pistone e si attende che il gas
raggiunga l’equilibrio. Con il pistone bloccato, si rimuove l’isolamento adiabatico e si pone il gas in contatto termico con
un serbatoio alla temperatura TC = 280 K. Raggiunto il nuovo stato di equilibrio C, si ripristina la parete adiabatica del
cilindro, si sblocca il pistone e si comprime reversibilmente il gas fino allo stato D in cui VD = VA. Infine, dopo aver
nuovamente bloccato il pistone, per mezzo di un riscaldatore posto internamente al cilindro, si fa tornare il gas
reversibilmente nello stato iniziale A. Determinare:
a) il valore della pressione pB del gas nello stato B;
b) il lavoro totale WTOT compiuto dal gas nel ciclo.
Problema 5
Due moli di gas ideale monoatomico si trovano nello stato A, di volume VA = 0.04 m3, pressione pA = 105 Pa e
temperatura TA. Il gas viene compresso reversibilmente mantenendo il contatto termico con un serbatoio alla temperatura
TA fino a raggiungere lo stato B. Dallo stato B il gas giunge per mezzo di una trasformazione adiabatica reversibile allo
stato C, con TC = TB/2 e VC = VA/2. Infine, il gas viene messo in contatto termico con il serbatoio alla temperatura TA fino
a raggiungere lo stato iniziale A. Determinare:
a) il lavoro WAB scambiato dal gas nella trasformazione AB;
b) la variazione ∆SU di entropia dell’universo nel ciclo.
Problema 4bis (per chi non svolge la parte di termodinamica)
Un corpo rigido è costituito da una sbarretta AB di lunghezza l = 0.8 m e massa
trascurabile, e da un anello omogeneo di massa m = 2 kg e raggio R = 0.1 m attaccato
A
in B alla sbarretta su un punto della sua circonferenza, avente il suo centro sul
prolungamento di AB. Il sistema può ruotare senza attrito attorno ad un asse
θ
orizzontale passante per A perpendicolare al piano dell’anello. La sbarretta AB giace
inclinata di un angolo θ = 40° rispetto alla verticale sostenuta da una fune ideale
attaccata alla sbarretta nel suo punto medio tesa perpendicolarmente alla sbarretta
C
stessa (vedi figura). All’altro estremo della fune, per mezzo di una carrucola ideale, è
appeso un corpo C di massa mC soggetto alla forza peso. Inizialmente tutto il sistema è
B
fermo. Ad un certo istante si taglia la fune ed il corpo inizia a ruotare attorno all’asse
passante per A. Determinare:
a) il valore della massa mC del corpo C;
b) il modulo α dell’accelerazione angolare del corpo rigido nell’istante del taglio
della fune.
Problema 5bis (per chi non svolge la parte di termodinamica)
Un disco omogeneo A di massa mA = 15 kg e raggio R = 0.15 m si muove di
puro rotolamento su un piano orizzontale scabro grazie all’azione di un
B
A
momento interno di modulo M = 10 Nm. Un altro corpo B di massa
mB = mA è collegato al centro di massa del disco per mezzo di un opportuno
supporto rigido di massa trascurabile parallelo al piano; il corpo B si trova
“davanti” ad A (nel verso del moto del centro di massa di A, per cui B è
spinto da A), ed è soggetto ad una forza di attrito radente dinamico con
coefficiente µ = 0.22. Determinare:
a) il modulo a dell’accelerazione del centro di massa del disco;
b) il valore minimo µs,min del coefficiente di attrito statico tra disco e piano perché possa avvenire il moto di puro
rotolamento.
Soluzioni
Problema 1
a)
1
1
2
k∆x 2 = m A v oA
2
2
b)
v A = v oA + (−µg )∆t = 2.35 m/s; mA v A = (m A + mB )v ⇒ v =
⇒ voA = ∆x
k
= 2.74 m/s; a = −µg
mA
⇒ l=
1
( −µg )∆t 2 + voA ∆t = 1.27 m
2
mA
v
v A = A == 0.78 m/s
m A + mB
3
Problema 2
a)
T = mB g; k∆x = m A g sin θ + T = mA g (sin θ + 3) ⇒ k =
b)
∆E k , A+ B + ∆E p, A+ B = 0 ⇒
⇒ h=
mA g
(sin θ + 3) = 857.5 N/m
∆x
1
(mA + mB )v 2 = mA gh sin θ + mB gh ⇒ 2mA v 2 = mA gh(sin θ + 3)
2
2v 2
= 0.52 m
g (sin θ + 3)
oppure
mA g sin θ + mB g = (m A + mB )a ⇒ a =
g
(sin θ + 3); v 2 = vo2 + 2ah = g (sin θ + 3)h
4
2
Problema 3
a)
b)
2
1
2
l   20

MR 2 + 2  m l 2 + m  R +   =
mR 2 = 0 .267 kg m 2
5
12
2
3




r
r
26
I z ' = I z + 2 m A (R + l )2 =
mR 2 ; Li ,CM = L f ,CM ⇒ 2[(R + l )m A v ] = I z ' ω
3
3v
⇒ ω=
= 2. 88 rad/s
26 R
Iz =
⇒
4R
m
26
v=
mR 2ω
4
3
Problema 4
p
a)
A
∆U AB = −W AB =
B
oppure
p V
∆U AB
TA = A A = 401 K; ∆U AB = ncV (TB − TA ) ⇒ TB = TA +
= 304.47 K
nR
ncV
C
⇒
D
V
b)
1
( p BVB − p AV A ) ⇒ p B = 1 [ p AV A + (γ − 1)∆U AB ] = 3.8 ⋅ 104 Pa
γ −1
VB
pB =
nRTB
= 3.8 ⋅ 104 Pa
VB
γ −1
V 
TCVC = TDV D
⇒ TD = TC  C 
= 369 .5 K
 VD 
W AB = −∆U AB ; WBC = 0; WCD = −∆U CD = ncV (TC − TD ) = −5578 J; WDA = 0
γ −1
γ −1
⇒ WTOT = WAB + WCD = 421.6 J
Problema 5
pC =
p
nRTC nRTB / 2 nRTA
=
=
= pA
VC
VA / 2
VA
Quindi la trasformazione CA è isobara irreversibile.
1
B
a)
T
p T
TA = A A = 240.6 K; TBVBγ −1 = TCVCγ −1 ⇒ VB = VC  C
nR
 TB
⇒ WAB = nRTA ln
C
A
b)
 γ −1

= 0.0071 m 3

VB
= −6931J
VA
Q AB = W AB ; QCA = ncP (TA − TC ) = 5000 J ∆S U = ∆S amb =
V
Problema 4bis
r
a)
∑MA =0
b)
∑ M A = I Aα
r
⇒
( l + R ) mg sin θ =
⇒
l
mC g
2
[
⇒
−Q AB −QCA
+
= 8.03 J/K
TA
TA
l+R
= 2 .89 kg
l
( l + R ) g sin θ
⇒ α= 2
= 6.9 rad/s
R + (l + R )2
m C = 2 m sin θ
]
( l + R ) mg sin θ = mR 2 + m (l + R )2 α
Problema 5bis
a)
−T
M
T
fas
fad
M
1
− f as
 mA a A =
⇒
R
2
2mA a A = f as − µmA g
b)

1
2 aCM , A
M − Rf as = Iα = mA R
2
R

f
−
T
=
m
a
 as
A CM , A

T − f ad = mB aCM ,B ⇒ T − µmA g = mAaCM , A


5
M
2 M
mA a A =
− µmA g ⇒ a A = 
− µg  = 0.92 m/s2
2
R
5  mA R

f as = mA (2a A + µg ) ≤ µ s mA g ⇒ µ s ≥
2a A
+ µ = 0.41
g