Individuazione delle componenti Serie storica a componenti

Individuazione delle componenti!
Lʼapproccio classico articola la serie storica nelle sue componenti di trend,
ciclo, stagionalità.!
Le componenti non sono direttamente osservabili. !
Il vento non lo vediamo, ma
ne percepiamo gli effetti!
Serie storica a componenti separate!
Nelle serie storica cʼè sia una componente sistematica e conoscibile ed una
erratica!
ERRARE!
v. intr. [io èrro ecc. ; aus. avere]!
1 andare di qua e di là senza meta o
senza scopo; vagare, peregrinare
(anche fig.): errare per la città, per i
campi; errare con lo sguardo, con la
fantasia.!
Percorrere vagando: Dante... errava /
pensoso peregrin la selva fiera!
Portata annuale del Nilo
2 (lett.) allontanarsi, deviare dal retto
sentiero, fuorviarsi!
Sappiamo però che esplicano il loro influsso e che possiamo descriverle
se riusciamo ad isolare il loro impatto differenziale sui valori della serie
storica !
Esempio!
3 cadere in errore; ingannarsi,
sbagliare, fallire.!
I modelli di formazione del dato!
Individuate, in ogni grafico, le componenti presenti!
Modello Additivo!
Modello Moltiplicativo!
Modelli Misti!
Anni!
Modello additivo!
Esempio di serie storica additiva!
Valori osservati!
E’ valido se l’ampiezza della
oscillazione stagionale non varia
con il livello della serie. !
Il trend è espresso nella unità di misura della
"y". !
Le altre componenti sono deviazioni assolute -in
più o in meno- dal trend e ne importano la
stessa unità di misura.!
Nel modello additivo, le
componenti St,Tt, Et sono espresse
nella stessa unità di misura di yt; !
Trend!
L’errore può assumere valori
positivi o negativi; Zero è il valore
neutrale, nel senso che non
influenza la serie. !
Stagionalità!
Esempio!
Se l'effetto stagionale di dicembre sulla serie storica delle vendite si traduce in un
incremento di 250 unità rispetto alla media annuale, lo stesso potrà aversi l’anno
successivo indipendentemente dal livello medio raggiunto dalle vendite!
Modello moltiplicativo!
Il trend è sempre espresso nella stessa unità della "y", ma le altre sono
espresse in percentuale rispetto al trend.!
Esempio!
indica che il valore attribuito alla componente ciclica, al tempo "t" ha
un'incidenza pari al 6% del valore del trend alla stessa epoca "t"!
Il modello moltiplicativo diventa additivo in scala logaritmica!
Il modello additivo è applicabile a dati sia negativi che positivi. Tuttavia,!
ha avuto meno fortuna poiché implica separabilità delle componenti.!
Il modello moltiplicativo, pur limitato a soli valori positivi, coinvolge un legame!
di interazione tra le componenti che è più realistico!
Componente !
ERRATICA!
Esempio!
Molte serie economiche esibiscono
fluttuazioni stagionali che crescono
all’aumentare del livello della serie;
per tale motivo il modello
moltiplicativo trova più larga
applicazione.!
Valori osservati!
Trend!
Stagionalità!
In tale modello solo Tt (per
convenzione) è espresso nell’unità di
misura di yt; Et e St sono numeri puri.!
Nel modello moltiplicativo l’errore
può assumere solo valori non negativi
e ha uno come valore neutrale!
Componente !
ERRATICA!
Modelli misti!
Tale scelta presenta problemi analitici
ed è difficile da giustificare sul piano!
concettuale.!
Ne vedremo alcuni esempi alla fine del
corso!
Le difficoltà di misura delle componenti sono esasperate dalla loro interazione che
non è eliminabile con il passaggio ai logaritmi!
La complessità dei fenomeni che portano al ciclo è tale che se può solo avere una
approssimazione!
Si presume che il modello additivo o quello moltiplicativo siano comunque in
grado di dare conto di questa componente anche se l’interazione è di tipo misto!
Essenza dell'approccio classico!
L'essenza dell'approccio classico consiste nello studio del modello
moltiplicativo (o, se si vuole, additivo nei logaritmi) ed in particolare!
Metodo di “residuazione”!
Le singole componenti non verranno stimate
tutte insieme in simultanea, ma ottenute una
dopo lʼaltra, attraverso lʼanalisi dei residui!
Determinazione del Trend!
Realizzata adattando una funzione “semplice” con la tecnica dei minimi
quadrati o altra ritenuta idonea!
Determinazione del ciclo!
Realizzata calcolando degli indici di ciclicità che però operano con
grande approssimazione!
Questi passi sono spesso
Iterati più volte!
Determinazione della stagionalità!
Realizzata rimuovendo gli effetti stagionali dalla serie
storica!
Questa è la naturale conseguenza dell’ipotesi che ogni
componente eserciti la sua influenza in modo
autonomo rispetto alle altre.!
La serie storica è la risultante di queste forze che
riteniamo stiano agendo all’interno del fenomeno!
Ogni qualvolta si procede ad analizzare una serie storica di tipo economico con
l’approccio classico si realizza una scissione del tutto in parti astratte che non
esistono se non nella realtà del modello.!
Individuazione ed estrazione del trend!
Esempio di stima del trend!
Il criterio usato è il seguente!
Lʼeffetto trend può essere modellato con una funzione semplice del tempo !
Aumenta con l’R2 corretto e con il
valor p medio dei parametri!
NB non si usano i valori passati del fenomeno che di solito sono la chiave del successo
nella modellazione della serie storica!
Il software del corso prevede diverse scelte:!
"1=Logarithmic","2=Quad.log.","3=Exponential","4=Quad.Exp.","5=hyperbolic”!
"6=Quad.hyper”,
7=Gompertz","8=Power","9=Logistic","10=Jolicoeur”,"11=linear”!
"12=Quadratic","13=Cubic","14=Quartic","15=Pentic","16=Sestic","17=Eptic”!
"18=Ottic”!
Lʼidea è di provarle tutte e poi scegliere quella più adatta in base ad un criterio
prefissato.!
Lʼapplicazione del modello avviene con la tecnica dei minimi quadrati.!
Altro esempio di stima del trend!
La proposta ottimale è il modello Jolicoeur.
Lo scarto rispetto alla semplice retta è
troppo esiguo. !
Il principio di semplicità impone pertanto
la scelta del modello lineare!
La stagionalità!
Per STAGIONALITA' si intende una componente
oscillatoria che fa ripetere un comportamento analogo
nello stesso periodo (mese, trimestre, semestre, etc.)
di anni successivi!
Nell'ambito del modello moltiplicativo!
La stagionalità si presenta come un indice di variazione proporzionale
rispetto ad un livello base (medio) unitario. !
Se cioè, per ogni "t" si ha St=1 non c'è stagionalità. !
Gli scarti dall'unità ne indicano invece la presenza.!
La stagionalità/2!
Nello studio delle serie storiche è essenziale individuare e poi eliminare la
stagionalità. Solo così è possibile confrontare dati di periodi diversi in modo
corretto!
Esempio!
Il numero destagionalizzato di disoccupati nel primo trimestre di un
anno è comparabile con il dato corrispondente all'ultimo trimestre
dell'anno precedente. !
Questo non è possibile con i dati grezzi perché lo scarto potrebbe
derivare da effetti tipici del 1° trimestre ad esempio un freddo intenso!
La depurazione della stagionalità è una operazione complessa e non univoca:
a seconda delle procedure adottate si perviene a dati DESTAGIONALIZZATI
diversi e, a volte, molto diversi.!
Inevitabili quindi le polemiche quando si tenti di valutare l'evoluzione
corrente degli indicatori economici!
Descrizione della stagionalità!
La descrizione della stagionalità passa per due operazioni!
Effettuare le correzioni di calendario per eliminare eventuali
difformità dovute a soli motivi tecnici di rilevazione!
Accertarsi della presenza di stagionalità perché altrimenti le
depurazioni portano a risultati imprevedibili.!
La verifica della presenza significativa della componente stagionale
può essere effettuata con diverse tecniche.!
Per ora esaminiamo delle tecniche grafiche e dei test non specifici. !
Verifica grafica della stagionalità!
Grafico multilinea!
Dati trimestrali sull'importo complessivo della moneta circolante!
Prezzo medio mensile del cotone sui
mercati internazionali!
Se la serie NON ha stagionalità i
grafici redatti periodo per periodo
sono tutti diversi!
.!
In presenza di stagionalità il
grafico ha lo stesso aspetto
anno per anno. !
Per i dati in esempio questo è
vero (1987 escluso)!
In questo caso la presenza della
stagionalità è più evidente: si
riconosce la stessa struttura
all'interno di ogni anno!
L'analisi grafica è utile se i dati
producono indicazioni univoche.!
In caso di interpretazione difficile si
ricorre a confronti numerici!
Stagionalità e variabilità!
Scomposizione della varianza!
Consideriamo la serie storica detrendizzata con trend derivato dai dati
osservati!
Scomponiamo la serie in “m” anni e in “s” stagioni (per semplicità
consideriamo solo anni completi).!
Definiamo la media e a varianza totale come:!
Questi rapporti potrebbero essere soggetti ad un differenze nella media
dovute al fattore stagionalità!
Si può evidenziare quanta parte di variabilità sia attribuibile alla
diversificazione “within” (stagionale) e quanta invece sia dovuta a
differenze “between” (annuale). !
In pratica cerchiamo un indice che esprime lʼeffetto della divisione in
stagioni sulla variabilità totale. !
Scomposizione della varianza/2!
Riorganizziamo i dati in forma di matrice rettangolare!
Si ipotizza che le Xij siano indipendenti e gaussiane con varianza
comune !2 e media µij distinta per anno e per stagione!
La statistica F!
Zero!
La statistica F è un indice non negativo ed invariante rispetto alla scala!
La suddivisione dellʼanno in stagioni non ha effetto se le medie parziali per
stagioni sono tutte uguali tra di loro (e dunque uguali alla media totale)!
Si sono ottenuti due fattori additivi: !
Varianza annuale
(media delle varianze allʼinterno degli anni);!
Varianza stagionale
(media degli scarti tra medie stagionali e µ ) !
In tal caso numeratore sarà nullo e la stagionalità sarà da ritenersi ininfluente.!
Se le medie parziali sono diverse allora le stagioni sono una fonte di variabilità
che è tanto più forte quanto più cresce il numeratore rispetto al denominatore.!
Calcolo della F!
Esempio con R!
Attenzione! La stagionalità
potrebbe essere oscurata dal
ciclo-trend. Si deve verificare
anche la serie detrendizzata!
La statistica F non è in grado di dirci
quale stagione-periodo abbia
contribuito di più e quale meno alla
variabilità: ci informa che le stagioni
non hanno lo stesso livello medio!
Se F è grande ovvero se il suo valor p è molto piccolo riterremo presente la
stagionalità. Nel caso in esempio cʼè una marcata componente stagionale!
Verifica della stagionalità/Armoniche!
Un utile riferimento per accertare la presenza di stagionalità nella serie
storica è lʼanalisi spettrale cioè della sua conversione in funzioni
periodiche!
Coefficiente di stagionalità!
In questo caso non cè stagionalità: forse è già stata rimossa dalla serie!
Esempio_1!
La presenza di un picco in ogni periodo è segno di stagionalità!
Esempio_2!
Un solo picco indica una presenza discutibile di stagionalità!
Perché filtrare!
La stima del Trend-Ciclo è avvenuta per dati grezzi cioè con molti disturbi
nella possibilità di adattamento e di utilizzabilità del risultato.!
La stima del trend ciclo può essere realizzata in modo più efficiente se si basa
su delle medie delle sottounità stagionali.!
La componente stagionale, per
definizione, si compensa
nell'arco di 12 mesi o di 4
trimestri, o di 2 semestri etc. e
la loro media non ne è più
influenzata.!
Di media però se ne potrebbe
ottenere una sola per ogni
anno riducendo drasticamente
i dati.!
Cʼè unʼalternativa? La media
mobile!!
Descrizione del trend con un filtro!
il filtro di una serie storica consiste nel trasformare una serie in
un'altra pari alla prima, depurata di una delle componenti!
Medie mobili!
Consideriamo ora la scelta: r=2, s=1!
Le medie si “muovono”
lungo la serie storica!
Di solito usiamo un fitro di tipo LINEARE cioè una combinazione
lineare di valori della serie originaria!
Esce X1!
Entra X5!
Il sistema dei pesi privilegia più i valori precedenti che quelli seguenti!
Il sistema dei pesi è asimmetrico: dati in posizione equidistante hanno!
pesi diversi!
Poiché, per ogni "t", un termine entra ed un termine esce dalla media,
si parla di MEDIA MOBILE.!
La serie filtrata perde due informazioni all'inizio ed una alla fine. La perdita !
dei dati finali è più seria rispetto a quelli allʼinizio perché più recenti!
Esempio!
Media aritmetica mobile!
Lʼidea è di eliminare la stagionalità prima di misurare il ciclo-trend!
Reported monthly cases of measles, 1928-1972, New York City!
La rimozione più semplice della stagionalità si ottiene sommando
tanti dati arretrati quanti ne indica la periodicità e dividere per questa
il totale trovato!
s= periodicità
stagionale!
Non appena matura un nuovo dato esso verrà passato nel filtro per
produrre il dato depurato corrispondente al periodo.!
Per ogni periodo questo tipo di media mobile ignora i valori seguenti
tenendo conto solo dei precedenti!
Medie mobili per dati mensili!
Per la stagionalità dei dati mensili si può usare una MM con 12 termini!
La serie filtrata
comincia dal 7° e si
chiude al quintultimo!
Poiché il numero di termini è pari, la MM si collocherebbe fra il 6° ed il 7°
mese cioè a 6.5 mesi. La successiva sta tra il 7° e l'8° mese, cioè a 7.5 mesi.!
Per ottenere una media CENTRATA sul 7° mese basta effettuare la media!
semplice delle due medie mobili corrispondenti (6.5+7.5)/2=7!
La MM centrata è pari ad una non centrata con termini dispari e con i due
pesi estremi uguali alla metà dei pesi mediani!
Lʼandamento è smussato, ma la stagionalità non è del tutto sparita. Il filtro
non considera i valori successivi!
N.B. Il picco della serie filtrata è posteriore rispetto a quello della osservata!
Medie mobili per dati mensili/2!
L'uso delle M.M. mensili centrate fa però perdere 12 dati: 6 all'inizio e 6 alla
fine. !
L'inconveniente è grave in fase di estrapolazione dei dati futuri perché i calcoli
si fermano ai 6 mesi precedenti.!
Esempio di calcolo!
MM per dati Tri- e quadri- mestrali!
Nel caso di dati trimestrali, si può pensare a filtrare i dati con una media
mobile a 5 termini!
Esempio di MM!
Andamento export di beni durevoli!
anche qui si tratta di una media mobile centrata, dato che i trimestri formano
una suddivisione PARI dell'anno.!
Per i dati quadrimestrali, essendo riferiti ad un frazionamento di anno con un
numero di termini DISPARI, non è necessario CENTRARE le MM perché sono
naturalmente riferite al dato intermedio!
Per il calcolo delle MM centrate è forse più semplice procedere in due passi:!
1) calcolare i totali mobili semplici: 139=20+12+47+60; 159=12+47+60+40, etc.!
2) La MM centrata è data dalla somma di due totali mobili contigui divisi per 8!
In questo caso i pesi sono uguali!
Operatività delle MM/2!
Applicazione!
Lʼidea di effettuare medie mobili di
medie mobili può essere ampliata.!
Ogni passaggio filtra la serie storica di
una parte della sua erraticità, ma anche
di una parte dei suoi contenuti.!
Il numero dei termini si riduce sempre
di più, ma le curvature sono sempre
più smussate.!
Tuttavia, è difficile stabilire lʼutilità
pratica di una simile procedura.!
Nelle analisi finanziarie speculative ha
però un certo spazio.!
La componente stagionale può essere tanto intensa da
mascherare fasi evolutive importanti!
La media mobile centrata a 13 termini evidenzia il netto
cambio del trend avvenuto tra il 3° e 4° anno!
Questa può essere, da sola, unʼottima ragione per filtrare.!
Un modo di procedere più pratico è di
scegliere un prefissato sistema di pesi
che rispetti il principio della media
aritmetica mobile!
Pesi binomiali!
Ponderazione dei valori!
Un sistema unimodale è adeguato per valorizzare un termine che dipende dai
suoi vicini in forma più stretta secondo la distanza temporale.
Un altro esempio è la scelta dei pesi come i termini dello sviluppo del
binomio di Newton!
Un sistema a discesa ha un’impatto forte all’inizio per poi decadere.!
Per r=1 si ha!
Per r=2 si ha!
esponenziale!
Questa scelta porta ad un numero di pesi DISPARI simmetricamente disposti
intorno ad un peso centrale!
Esempio!
Altri sistemi!
Pesi per r=6!
Più accentuata è la cuspide dei pesi, minore è la capacità di smussamento del sistema.!
Uno schema molto utile è quello dei pesi triangolari !
Anche questa scelta porta a pesi disposti simmetricamente intorno ad un
centro, ma lo scarto tra i pesi è più contenuto.!
Altre proposte interessanti sono:!
Quadratico!
La serie filtrata riproduce fedelmente lʼandamento della serie originale. Non si
riscontra un vero e proprio effetto perequativo del filtro.!
Quartico!
Vantaggi delle MM!
Esempio!
La stima del trend può avvenire direttamente su di esse e non sui dati grezzi
spesso ricchi di asperità che inducono forti errori di adattamento.!
La serie depurata dalla componente stagionale evidenzia movimenti
infrannuali nuovi senza confonderli con gli effetti stagionali classici!
Una semplice media mobile centrata elimina il forte effetto stagionale. !
Il filtro basato sulle medie mobili è molto usato perché…!
La scelta sbagliata dei pesi potrebbe lasciare nella serie la stagionaliltà!
Si basa su premesse logiche semplici, intuibili, accettabili!
Eʼ applicato direttamente ai dati grezzi evitando le trasformazioni!
Elimina la stagionalità con una perdita ridotta di dati!
Riduce lʼerraticità grazie alle operazioni perequative!
Un impiego delle MM!
Indice Mib 30, media mobile dell'indice, velocità e media mobile della
velocità!
L'effetto Slutzky-Yule!
I dati usciti dal filtro delle MM, PER COSTRUZIONE, sono fortemente
autocorrelati: il dato al tempo (t+1) è linearmente legato al dato del tempo t!
Infatti, il calcolo delle MM avviene con uno schema RICORSIVO!
C'è quindi il rischio di introdurre, con le MM, delle strutture artificiali che
possono oscurare le tendenze reali presenti nel fenomeno.!
Un fenomeno molto noto è !
l'EFFETTO SLUTZKY-YULE: !
una serie del tutto erratica, se filtrata con
le medie mobili, può mostrare
oscillazioni cicliche e stagionali.!
Effetto Slutzky-Yule/2!
Esempio!
Consideriamo il modello per dati annuali!
Non c'è alcun effetto ciclico, ma così non è se si!
guarda alle medie mobili a 5 termini!
Una serie composta solo da valori casuali può assumere un aspetto ben
”strutturato" se filtrata con le MM. !
Che cosa ci impedisce di scambiare la serie a destra per una serie dotata di
ciclo e trend?!
Ciclo-Trend e stagionalità!
Qual è il risultato della media mobile?!
L'effetto si concreta nella somiglianza ad una serie con
componenti cicliche anche se il ciclo non cʼè.!
Accertamento e rimozione!
Le verifiche grafiche ed i test parametrici e non parametrici, consentono di
accertare, con un certo grado di fiducia, se esiste un effetto stagionale.!
Determina una serie priva di stagionalità e di ridotta erraticità con grande
vantaggio rispetto alla stima del trend su dati grezzi:!
Cʼè però il rischio di un eccesso di intervento se la stagionalità non cʼè ovvero
è poco presente.!
Se non si riscontra stagionalità si passa
allo studio della presenza di un effetto
ciclico!
Depurare la serie da componenti di fatto assenti non è una procedura neutra,
ma può aggiungere effetti imprevisti (Effetto SY)!
Prima di applicare le medie mobili conviene accertarsi in modo non
soggettivo della presenza significativa di stagionalità.!
Se lʼeffetto stagionale è presente allora
occorre procedere alla sua individuazione per
poterlo descrivere e poi rimuovere dalla serie
storica.!
Tipi di stagionalità!
A questo fine distingueremo fra due scelte possibili!
I rapporti di stagionalità!
La serie filtrata con una MM depura la serie dalla stagionalità!
Componente ciclo-trend!
˜!
Stagionalità costante: per ogni anno
agiscono sempre gli stessi stimoli!
Per il modello moltiplicativo si ha!
Stagionalità variabile: ogni anno le
forze della stagionalità si esplicano in
modo diverso!
Per cui i rapporti!
Questi sono i rapporti !
di stagionalità!
Lʼeffetto stagionale si esaurisce comunque nellʼarco dellʼanno!
Le due scelte si basano entrambe sui rapporti di stagionalità!
Esempio!
Serie trimestrale dei valori delle giacenze presso una impresa!
Misurano la stagionalità purché l'incidenza degli errori sia piccola, ovvero i loro valori
siano tutti vicino alla media unitaria.!
Stagionalità costante!
La STAGIONALITA' COSTANTE implica ”RS" uguali anno per anno.!
Rs !
Nello schema moltiplicativo le parti
“nonTrend” sono in % quindi RS=0.9868
significa che la stagionalità riduce il
trend dello (1-0.9868)%= 1.32%.!
il numero di “RS" su cui
calcolare la media è : !
numero di anni - 1!
La stagionalità non è mai molto
regolare. !
Senza stagionalità gli ”RS" sarebbero
tutti uguali ad uno (a meno di errori).!
Ogni scarto da "1", se elevato, ci
induce a pensare alla stagionalità!
Ecco delle alternative!
La media aritmetica degli RS è
una buona scelta perché ne
attenua lʼerraticità.!
Mediana dei coefficienti grezzi Rs!
Nell'esempio ci sono ”RS" con
incidenza del ± 14% e quindi l'effetto
della stagionalità è rilevante.!
Media potata: si eclude lʼRs più piccolo, quello più grande e si calcola la
media dei rimanenti!
Media winsorizzata: si sostituiscono gli Rs "anomali" con l'Rs medio o
mediano e si ricalcola la media!
I coefficienti grezzi di stagionalità!
Con i trimestri le scelte si riducono alle prime due e siccome non si notano
scompensi eccessivi tra i pesi usiamo la media aritmetica semplice!
Coefficienti netti di stagionalità!
Il totale degli "Rs " dovrebbe essere pari a 4 (cioè al numero di periodi
infrannuali)!
Occorre effettuare delle correzioni perché altrimenti non si ha lʼsatto
compenso delle variazioni stagionali nel corso dell'anno. !
Questo si ottiene moltiplicando i coefficienti grezzi per il fattore!
Coefficienti grezzi (o lordi) di
stagionalità.!
La stagionlità si applica con un
tendenza crescente allʼintrno
dellʼanno.!
in questo modo si ottengono i coefficienti corretti o netti di stagionalità!
La media è pari ad uno!
Esempio!
Serie trimestrale PIL USA!
Significato dei coefficienti di stagionalità!
Il rapporto tra serie originaria medie Mobili esclude la componente ciclotrend. !
Se applichiamo il modello moltiplicativo, si ottiene infatti!
La stagionalità è poco
accentuata!
I coefficienti grezzi conservano ancora erraticità il cui impatto può però essere
attenuato!
Infatti, con la media dei coefficienti grezzi si rimuove, almeno in parte, la
componente erratica (poiché E(ut)=1).!
Esempio!
Per dati quadrimestrali, si sono ottenuti i seguenti coefficienti di stagionalità!
Calcolo dei coefficienti di stagionalità!
L'algoritmo di calcolo dei coefficienti di stagionalità prevede:!
1!
Nel primo quadrimestre c'è una deviazione dal ciclo-trend del 4.9% dovuta
ad effetti stagionali; !
2!
Si calcolano i coefficienti di stagionalità dividendo i valori originari per i
valori filtrati con le MM . !
3!
Si sceglie un coefficiente di stagionalità rappresentativo per ciascuna
delle frazioni di anno (media, mediana, media potata, media
winsorizzata, etc.)!
Nel secondo quadrimestre c'è un aumento del 6.2% e nel terzo una
variazione in meno dellʼ 1.3% e questo per ogni anno.!
Nell’approccio classico la
struttura si ripete da un anno
all’altro sempre uguale!
Destagionalizzazione!
A partire dai dati rilevati su k frazioni di anno si calcolano le MM di
ordine m=k se k è DISPARI oppure m=k+1 se k è PARI!
4!
Si normalizzano i rapporti del punto 3 in modo che la loro somma
sia pari esattamente alla periodicità stagionale: k!
Esempio!
Coefficienti grezzi di stagionalità!
Consiste nel determinare i valori depurati dalle variazioni stagionali che si
sarebbero ottenuti, in ogni frazione di anno, qualora la stagionalità fosse
stata assente (o poco rilevante).!
Per attuare la ripulitura è necessario dividere i valori originari della serie
per i coefficienti netti di stagionalità!
Questa serie può poi essere utilizzata per una stima più efficace del
ciclo-trend!
La serie destagionalizzata è preferibile ai dati originari in quanto sono state eliminate
le irregolarità più tormentate che potrebbero oscurare la scelta del trend.!
Destagionalizzazione della australian wine!
A fianco della serie è stata inserita una serie artificiale!
ottenuta duplicando ogni anno gli indici netti di stagionalità!
Stima del ciclo-Trend da serie destagionalizzate!
Buscar el levante para el ponente
Stima del Trend sui valori !
NON destagionalizzati!
Serie del Pil USA!
Stima del Trend sui valori !
destagionalizzati!
Sulla serie destagionalizzata si può ora realizzare
una stima più attendibile della funzione che rappresenti il ciclo-trend!
Stagionalità variabile!
Lʼimpatto mensile sul trend varia da un anno allʼaltro. Il grafico a destra mostra
che le oscillazioni dovute della stagionalità si modificano nel corso degli anni.!
I parametri delle due rette stimate sono simili. Questo succede se la
stagionalità è attenuata!
Stagionalità variabile/2!
Organizziamo in una matrice anno/stagioni i rapporti grezzi di stagionalità
ottenuti dal rapporto tra serie storica e interpolazione del trend con una
funzione liscia!
Questa scelta evita la perdita dei valori iniziali e
finali. !
I rapporti mancanti sono posti pari ad uno!
dove k è la stagionalità ed m il numero di anni della serie storica. !
Se i grafici segnalano variabilità nei coefficienti grezzi di stagionalità non si può
usare un rapporto di stagionalità unico per ogni anno perché non darebbe conto
dellʼimpatto reale di questa componente.!
Dʼaltra parte non si possono usare gli stessi coefficienti grezzi di stagionalità
perché soggetti ad erraticità.!
Il coefficienti grezzo di stagionalità per lʼanno i-esimo potrebbero essere
espresso con la relazione cubica (k=6 o k=12) ovvero con una relazione
quadratica o lineare se (k≤4)!
Stagionalità variabile/3!
Esempio!
Con il metodo dei minimi quadrati si determinano i parametri che consentono
poi di ottenere i valori interpolati dei rapporti di stagionalità!
La variabilità stagionale è descritta dalle differenti configurazioni di parametri
delle relazioni, una per ogni anno!
Il coefficiente netto di stagionalità -specifico per anno/stagione- si ottiene
normalizzando i rapporti interpolati!
La stagionalità variabile (a destra) in questo caso smussa la serie
originale meglio di quella fissa (a sinistra)!
In questo modo, la media dei rapporti di stagionalità è vincolata al valore
unitario per ciascun anno.!
Ricalcolo del trend!
Scelta del modello di stagionalità!
La procedura nota come approccio classico prevede che sia calcolato ex novo
il trend sulla serie destagionalizzata.!
Il software sviluppato nel corso prevede le seguenti scelte!
No!
Variabile !
Mediana!
(polinomio infrannuale)!
Stagionalità!
MM centrata!
Si!
Per tutte le scelte si calcola
la statistica F di Fisher.
Lʼopzione che da il valore p
minore sarà quella usata per
la destagionalizzazione!
Media!
Media!
Costante!
Pesi lineari!
Mediana!
Pesi quadratici!
Pesi quartici!
Mediana!
Media!
Pesi binomiali!
Mediana!
Media!
Mediana!
Media!
Il criterio di scelta del trend passa da 1.05 a 1.10 per il modello Jolicoeur.
In ogni caso, lʼultimo trend è quello usato nelle ricostruzioni!
La componente ciclica!
La serie storica risulta dalla sovrapposizione di oscillazioni con
periodi di varia lunghezza!
I moti derivano dalla esigenza di reagire ai cambiamenti incessanti che
impattano sui fenomeni del mondo moderno.!
La destagionalizzazione elimina la oscillazione di periodo più breve.!
Domestic Uk airline passgs!
La rimozione del trend elimina
quella con dinamica più
lenta!
Rimane da studiare lʼonda
intermedia della ciclicità!
La componente ciclica/2!
Approccio semiologico!
Le fluttuazioni cicliche sono
caratterizzate da una
sequenza di valori
superiori al trend seguiti
da valori inferiori o
viceversa!
La stagionalità esaurisce la
sua influenza nel corso
dellʼanno, la ciclicità
potrebbe non compensare
mai del tutto una fase con
quella contraria!
I cicli si estendono su di un numero variabile di periodi ed è molto raro !
che abbiano struttura fissa!
Questa visione del ciclo si concretizza nella individuazione di sintomi o
segni premonitori della fase di contrazione o di espansione.!
Sovrapposizioni!
Alle fluttuazioni cicliche si
sovrappongono:!
Fluttuazioni accidentali !
Fluttuazioni episodiche con
effetti riconducibili ad una
causa specifica (scioperi,
cambi di governo, catastrofi
naturali)!
Dovrebbero essere già state
trattate come valori anomali!
Eventi casuali!
Eventi di natura episodica!
Attenzione: i cambiamenti repentini e molto drastici possono essere una
manifestazione legittima del fenomeno dare contributi importanti per la sua
comprensione!
Su questa si stima il trend!
Secondo Shumpeter I cicli,
come I battiti del cuore, sono
parte essenziale dellʼorganismo
in cui si producono.!
Esempio sulla ciclilcità!
Esempio-continua!
Dalla serie dei valori originari si devono rimuovere!
la stagionalità ed il trend.!
Se non ci fosse il ciclo,
il grafico sarebbe una
linea piatta passante
per lʼordinata pari ad
uno.!
Lo studio del ciclo è disturbato dalla erraticità e da turbolenze
episodiche che alterano sia la percezione delle fasi del ciclo (picchi e
valli) che la sua reale portata.!
Prima di avventurarsi in considerazioni tecnico-teoriche sul ciclo,
cerchiamo di ridurre l'impatto degli errori!
Esempio!
La serie dei coefficienti depurati segue troppo quella dei coefficienti grezzi.!
Questo è forse dovuto al ridotto numero di termine della media mobile o al
ridotto impatto della erraticità!
Finalità della M.M per i cicli!
Pesi con la formula di Henderson!
La scelta del numero di termini e dei pesi mira a!
Smussare lʼandamento dei coefficienti grezzi di ciclicità!
Preservare il loro andamento oscillatorio!
m=(p+3)/2, r=(p-1)/2 e p è il numero dei termini della Henderson!
Se il numero dei punti è p=13, allora m=8 e r=6!
MM con pochi termini non tradiscono lʼandamento, ma hanno scarso effetto
sullo smussamento dei C.g.c.!
MM con molti termini attenuano le fluttuazioni dei Cgc, ma impattano troppo
sulla sistematicità dei movimenti di espansione e contrazione!
Henderson 9: -0.041 -0.010 0.119 0.267 0.119 -0.010 -0.041!
Henderson 13: -0.019 -0.028 0.000 0.066 0.147 0.214 0.240 0.214 0.147!
Generalmente sono usate medie mobili di 5, 7 termini. Se è necessario si
arriva a MM di 9,11,13,15, 21, 23.!
A parità di effetti di regolarità e preservazione si devono preferire le medie con
meno termini!
Caratteristiche dei pesi Henderson!
La formula deriva dallʼadattamento di un polinomio cubico (spline) tenendo
anche conto delle differenze con la serie levigata (smoothed)!
Riflessione sulle MM per la ciclicità!
La presenza di pesi negativi amplifica le fluttuazioni cicliche!
accelerando le fasi di espansione e frenando quelle di recessione.!
Il numero di termini deve aumentare man mano che
aumenta l'influenza del fattore erratico!
L'aumento dei punti peggiora però il grado di adattamento delle
spline!
La struttura delle MM è tale da attribuire peso maggiore al termine centrale,
mentre, ai termini sempre più distanti dal centro, sono assegnati dei pesi via
via più piccoli o addirittura negativi.!
Si potrebbe ovviare aumentando il grado del polinomio delle spline, ma il
rimedio potrebbe essere peggiore del male.!
Si rischia infatti di inserire componenti artificiali nella serie storica che è poi
difficile distinguere da quelle proprie del fenomeno.!
Esempio!
Quarterly S&P 500 index, 1900-1996. Source: !
Makridakis, Wheelwright and Hyndman (1998)!
Applicazione!
Coef.Stg!
Trend lineare!
La serie è già
destagionalizzata!
Per cui la procedura è
qui Inefficace!
C.p.stag.!
Eʼ evidente la presenza del ciclo!
Il trend sembra assente!
I coefficienti di ciclicità si !
possono calcolare!
direttamente sulla serie!
Applicazione- continua!
Lʼerrraticità è stata filtrata con
una Henderson a 7 termini!
Filtri asimmetrici!
L'uso delle MM di (2r+1) addendi per filtrare la componente ciclica comporta
la perdita di "2r" termini della serie. !
Lʼeffetto è nullo!
Anche altre MM hanno avuto
pochissimo impatto!
A differenza della stagionalità non è possibile recuperare i pesi mancanti
perchè i cicli hanno una struttura variabile.!
Poiché la ricostruzione della serie necessita dei primi e degli ultimi termini
questi debbono essere stimati.!
A questo fine abbiamo usato dei filtri asimmetrici che coinvolgono I termini
di un lato solo del valore di riferimento.!
Eʼ evidente che la serie proposta in esempio era già stata scomposta nei
termini dellʼapproccio classico!
Filtri asimmetrici/2!
Esempio!Serie +MMstag!
C.gr.Cic.!
Una formula rivelatisi utile è la seguente!
LIVELLAMENTO !
ESPONENZIALE!
Commercio al dettaglio!
I pesi decrescono dalla posizione più recente a quella più remota!
rispetto a quela considerata.!
Non ci sono pesi negativi!
Per ogni stima la somma dei pesi è unitaria.!
Scelta del filtro per la ciclicità!
La determinazione automatica dei coefficienti netti di ciclicità a partire
dai coefficienti grezzi avviene in base a tre euristiche
Variabilità dei cnc rispetto alla!
media unitaria (indice di Gini)!
Correlazione lineare tra cnc e cgc !
Numero dei termini nella Henderson !
Il criterio complessivo di scelta è
per I valori più piccoli di
Favorisce la scelta di filtri poco
variabili che seguono l’andamento
originario ed hanno molti termini.
C.p.Cic.!