ARITMETICA E FISICA

ARITMETICA E FISICA
INCONTRARE IL MASSIMO COMUNE DIVISORE SUI
PIATTI DI UNA BILANCIA
PROF. LUCA GOLDONI Ph.D.
PESARE UN FAGIOLO
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●
Sono disponibili pesi da 5 grammi e 7 grammi in
numero qualsiasi.
E' possibile pesare un fagiolo da 1grammo?
PESARE UN FAGIOLO
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Metti 3 pesi da 5 grammi su uno dei piatti
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Metti 2 pesi da 7 grammi sull'altro.
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Aggiungi sul secondo piatto il fagiolo.
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La bilancia è in equilibrio!
PESARE UN FAGIOLO
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Sono disponibili pesi da 4 grammi e 6 grammi in
numero qualsiasi.
E' possibile pesare un fagiolo da 1 grammo?
ALCUNI CASI
1
2
3
4
1
2
8
14
20
2
2
4
10
16
3
6
0
6
12
4
2
4
2
8
Pesi 6gr
Pesi 4 gr
SI POTREBBE CONTINUARE MA...
I multipli di 4 sono pari.
➔ I multipli di 6 sono pari.
➔ La differenza fra due numeri pari è pari.
➔ Siccome 1 è dispari non possiamo ottenerlo.
➔
OSSERVIAMO CHE
5 × 3 + 7 ( -2 ) = 1 = M .C.D (5,7)
4 × 2 + 6 × ( -1) = 2 = M .C.D (4,6)
SI DIMOSTRA CHE
Il minimo peso (positivo) che possiamo usare per poter ottenere l'equilibrio della bilancia è:
M.C.D.(Peso 1, Peso 2)
Quindi:
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Se Peso 1=5gr, Peso 2=7gr allora il fagiolo da 1 grammo si può pesare.
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Se Peso 1=4gr, Peso 2=6gr allora il fagiolo da 1 grammo non si può pesare.
IN TERMINI MATEMATICI
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Se abbiamo due numeri positivi a, b.
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Se d indica il loro M.C.D.
Allora l'equazione
ax+by=d
ha sempre una soluzione costituita da numeri
x, y interi relativi.
L'EQUAZIONE
ax+by=d
SI CHIAMA EQUAZIONE DI BEZOUT ED E' IMPORTANTE
NELLA TEORIA DEI NUMERI PERCHE' COLLEGA
L'OPERAZIONE DI DIVISIONE A QUELLA DI ADDIZIONE.
Étienne Bézout 1730-1783