Interpolazione polinomiale: convergenza

Interpolazione polinomiale: convergenza
• Cosa accade se si aumentano il numero dei nodi e quindi il
grado del polinomio interpolatore?
• L’errore di propagazione, cioè quello associato agli errori
sui dati e di approssimazione, cresce.
• Cosa accade all’errore di troncamento?
• Ovvero, al crescere del numero dei nodi il polinomio
interpolatore “tende” alla funzione?
• In una unica parola il polinomio interpolatore è una approssimazione convergente della funzione analitica, ovvero in
una formula:
lim pn ( x) = f ( x) ⇔ lim En ( x) = 0
n →∞
n →∞
Convergenza: funzione di Runge
In generale la convergenza non è garantita, ad esempio:
f ( x) =
1
1+ x2
x ∈ [a, b] = [−5,5]
i(b − a)


=
+
,
(
)
x
a
f
x
 i
i 
n


2.5
f(x)
p5 (x)
p9 (x)
p15 (x)
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
5
Convergenza: condizioni sufficienti
Teorema: se f(x)∈ C∞[a,b], e, posto |f(k)(x)|≤Mk, k=0,1,…,
x∈[a,b] (ad es. funzione con derivate equilimitate), risulta:
(b − a) k
Mk = 0
lim
k →∞
k!
pn ( x) = f ( x) uniformemente e per qualunque
allora: lim
n →∞
scelta della distribuzione dei nodi in [a,b].
Teorema: se f(x) è lipschitziana in [a,b], la successione dei
polinomi interpolatori sui nodi di Chebyshev, converge a
f(x), uniformemente in [a,b].
Nodi di Chebyshev: definizione e proprietà
I nodi di Chebyshev in [a,b] sono definiti come:
xˆi =
b−a
 π 2i + 1  b + a
cos
+
2
2
 2 n +1 
Inoltre il polinomio nodale costruito sulla base dei nodi di
Chebyshev verifica le seguenti proprietà:
n +1
(
b − a)
max πˆ n ( x) =
n +1
x∈[ a ,b ]
2
max πˆ n ( x) ≤ max π n ( x)
x∈[ a ,b ]
x∈[ a ,b ]
dove πn(x) è un qualunque altro polinomio nodale costruito su
una base di nodi diversa da quelli di Chebyshev.
Nodi di Chebyshev: esempio
1
f ( x) =
1+ x2
x ∈ [a, b] = [−5,5]
i(b − a)


=
+
,
(
)
x
a
f
x
 i
i 
n


2.5
p15C (x)
p15 (x)
f(x)
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
5