Capitolo 5 Interpolazione ed approssimazione

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Capitolo 5
Interpolazione ed
approssimazione
5.1
Interpolazione
Data una funzione f : [a, b] → R e un insieme {xi }ni=1 ⊂ [a, b], sia Ln−1 f (x)
il polinomio di grado n − 1 interpolatore di f nei punti xi (cioè Ln−1 f (xi ) =
f (xi ). Chiameremo i punti xi nodi di interpolazione (o, più semplicemente,
nodi ). Un generico punto x̄ ∈ [a, b] in cui si valuta Ln−1 f sarà chiamato nodo
target (o, più semplicemente, target).
5.1.1
Nodi di Chebyshev
Si chiamano n nodi di Chebyshev gli zeri del polinomio
Chebyshev di grado
di
jπ+ π2
, j = 0, . . . , n − 1.
n Tn (x) = cos(n arccos(x)). Dunque, xj+1 = cos
n
Si chiamano n nodi
di Chebyshev estesi (o di Chebyshev–Lobatto) i nodi
jπ
, j = 0, . . . , n − 1. Tali nodi appartengono all’intervalx̄j+1 = cos n−1
lo [−1, 1]. I nodi di Chebyshev relativi ad un intervallo generico [a, b] si
ottengono semplicemente per traslazione e scalatura.
5.1.2
Interpolazione di Lagrange
Dato un insieme di n coppie di interpolazione {(xi , yi )}ni=1 , il polinomio
elementare di Lagrange i-esimo (di grado n − 1) è
Li (x) =
n
Y
(x − xj )
j=1
j6=i
23
xi − xj
.
24
CAPITOLO 5. INTERPOLAZIONE ED APPROSSIMAZIONE
L’algoritmo per il calcolo dei polinomi di Lagrange su vettori (colonna) target
x è riportato in Tabella 5.1.
function y = lagrange(i,x,nodi)
%
% y = lagrange(i,x,nodi)
%
n = length(nodi);
m = length(x);
y = prod(repmat(x,1,n-1)-repmat(nodi([1:i-1,i+1:n]),m,1),2)/...
prod(nodi(i)-nodi([1:i-1,i+1:n]));
Tabella 5.1: Polinomio elementare di Lagrange.
Il polinomio di interpolazione si scrive dunque
pn−1 (x) =
n
X
yi Li (x) .
i=1
5.1.3
Sistema di Vandermonde
Dato il polinomio
pn−1 (x) = a1 xn−1 + a2 xn−2 + . . . + an−1 x + an
e n coppie di interpolazione {(xi , yi )}ni=1 , il corrispondente sistema di Vandermonde si scrive

x1n−1
xn−1
 2
 ..
 .
 n−1
xn−1
xnn−1
x1n−2 . . . x1
x2n−2 . . . x2
..
..
.
...
.
n−2
xn−1 . . . xn−1
xnn−2 . . . xn

 

1
a1
y1

 

1
  a2   y 2 
..   ..  =  .. 

 

.
 .   . 




1
an−1
yn−1 
1
an
yn
(5.1)
L’implementazione dell’algoritmo per il calcolo della matrice di Vandermonde
è riportata in Tabella 5.2. Alternativamente, si può usare la function di GNU
Octave vander.
5.1. INTERPOLAZIONE
25
function V = vandermonde(nodi,varargin)
%
% V = vandermonde(nodi)
%
n = length(nodi);
if (nargin == 1)
m = n;
else
m = varargin{1};
end
V = repmat(nodi’,1,m).^repmat([m-1:-1:0],n,1);
Tabella 5.2: Matrice di Vandermonde.
5.1.4
Interpolazione di Newton
Data una funzione f , definiamo le differenze divise nel seguente modo:
f [x] = f (x)
f [x] − f [x1 ]
f [x1 , x] =
x − x1
... = ...
f [x1 , x2 , . . . , xk−1 , x] − f [x1 , x2 , . . . , xk−1 , xk ]
f [x1 , x2 , . . . , xk−1 , xk , x] =
x − xk
L’algoritmo per il calcolo delle differenze divise è riportato in Tabella 5.3.
function d = diffdiv(nodi,valori)
%
% d = diffdiv(nodi,valori)
%
n = length(nodi);
for i = 1:n
d(i) = valori(i);
for j = 1:i-1
d(i) = (d(i)-d(j))/(nodi(i)-nodi(j));
end
end
Tabella 5.3: Differenze divise.
26
L’interpolazione nella forma di Newton si scrive dunque
L0 f (x) = d1
w = (x − x1 )
Li f (x) = Li−1 f (x) + di+1 w, i = 1, . . . , n − 1
w = w · (x − xi+1 ),
i = 1, . . . , n − 1
ove
di = f [x1 , . . . , xi ] .
Il calcolo delle differenze divise e la costruzione del polinomio di interpolazione possono essere fatti nel medesimo ciclo for.
Sfruttando la rappresentazione dell’errore
!
!
i
i
Y
Y
(x − xj ) f [x1 , . . . , xi , xi+1 ]
(x − xj ) f [x1 , . . . , xi , x] ≈
f (x)−Li−1 f (x) =
j=1
j=1
(5.2)
è possibile implementare un algoritmo per la formula di interpolazione di
Newton adattativo, che si interrompa cioè non appena la stima dell’errore è
più piccola di una tolleranza fissata.
Dato il polinomio interpolatore nella forma di Newton
pn−1 (x) = d1 + d2 (x − x1 ) + . . . + dn (x − x1 ) · . . . · (x − xn−1 ) ,
si vede che le differenze divise soddisfano il sistema lineare

 


0
...
...
0
1
f (x1 )
dn

 


0
...
0
(x2 − x1 ) 1
 dn−1   f (x2 ) 

..
.
.






.
.
.
.
..
..   ..  = 
..
..
..


.
Qn−2

 



0
(xn−1 − xj ) . . . (xn−1 − x1 ) 1  d2  f (xn−1 )
j=1
Qn−1
f (xn )
d1
...
. . . (xn − x1 ) 1
j=1 (xn − xj )
(5.3)
5.2
Interpolazione polinomiale a tratti
Data una funzione f : [a, b] → R e un’insieme {xi }ni=1 ⊂ [a, b] di nodi ordinati,
consideriamo l’interpolante polinomiale a tratti Lck−1 f di grado k −1. Su ogni
intervallo hi = xi+1 − xi essa coincide con il polinomio di grado k − 1
ai,1 (x − xi )k−1 + ai,2 (x − xi )k−2 + . . . + ai,k−1 (x − xi ) + ai,k .
(5.4)
Dunque, l’interpolante polinomiale a tratti è completamente nota una volta
noti i nodi e i coefficienti di ogni polinomio.
5.2. INTERPOLAZIONE POLINOMIALE A TRATTI
5.2.1
27
Strutture in GNU Octave
In GNU Octave è possibile definire delle strutture, cioè degli insiemi (non
ordinati) di oggetti. Per esempio, le istruzioni
S.a = 1;
S.b = [1,2];
generano la struttura S
S =
{
a =
b =
1
1
2
}
L’interpolazione polinomiale a tratti è definita mediante una struttura solitamente chiamata pp (piecewise polynomial), che contiene gli oggetti pp.x
(vettore colonna dei nodi), pp.P (matrice dei coefficienti), pp.n (numero
di polinomi), pp.k (grado polinomiale aumentato di uno) e pp.d (numero
di valori assunti dai polinomi). La matrice P ha dimensione n × k e, con
riferimento a (5.4),
Pij = ai,j .
Nota una struttura pp, è possibile valutare il valore dell’interpolante in un
generico target x̄ con il comando ppval(pp,xbar).
È possibile definire una struttura anche attraverso il comando mkpp(x,P).
5.2.2
Splines cubiche
Le splines cubiche sono implementate da GNU Octave con il comando spline
che accetta in input il vettore dei nodi e il vettore dei valori e restituisce la
struttura associata. La spline cubica costruita è nota come not-a-knot, ossia
viene imposta la continuità della derivata terza (generalemente discontinua)
nei nodi x2 e xn−1 . Lo stesso comando permette di generare anche le splines
vincolate: è sufficiente che il vettore dei valori abbia due elementi in più
rispetto al vettore dei nodi. Il primo e l’ultimo valore verranno usati per
imporre il valore della derivata alle estremità dell’intervallo.
28
Implementazione di splines cubiche in GNU Octave
Con le notazioni usate fino ad ora, si può costruire una spline cubica S a
partire dalla sua derivata seconda nell’intervallo generico [xi , xi+1 ]
′′
S[x
(x) =
i ,xi+1 ]
mi+1 − mi
(x − xi ) + mi ,
hi
i = 1, . . . , n − 1
(5.5)
ove mi = S ′′ (xi ) sono incogniti, con m1 = mn = 0. Integrando due volte la
(5.5), si ottiene
mi+1 − mi
(x − xi )2 + mi (x − xi ) + ai
2hi
mi
mi+1 − mi
(x − xi )2 + ai (x − xi ) + bi
(x − xi )3 +
S[xi ,xi+1 ] (x) =
6hi
2
′
S[x
(x) =
i ,xi+1 ]
ove le costanti ai e bi sono da determinare. Innanzitutto, richiedendo la
proprietà di interpolazione, cioè S[xi ,xi+1 ] (xj ) = f (xj ), j = i, i + 1, si ottiene
bi = f (xi ),
hi
hi
f (xi+1 ) − f (xi )
− (mi+1 − mi ) − mi =
ai =
hi
6
2
f (xi+1 ) − f (xi )
hi
hi
=
− mi+1 − mi
hi
6
3
′
A questo punto, richiedendo la continuità della derivata prima, cioè S[x
(xi ) =
i−1 ,xi ]
′
S[xi ,xi+1 ] (xi ) per i = 2, . . . , n − 1, si ottiene
hi−1
hi−1 + hi
hi
f (xi+1 ) − f (xi ) f (xi ) − f (xi−1 )
mi−1 +
mi + mi+1 =
−
.
6
3
6
hi
hi−1
(5.6)
Risulta chiaro che ci sono n − 2 equazioni e n incognite mi .
Splines cubiche naturali Si impone che il valore della derivata seconda
agli estremi dell’intervallo sia 0. Dunque m1 = mn = 0. Il sistema
lineare (5.6) diventa allora

1
 h61


0
.
 ..

0
0
0
...
h1 +h2
3
h2
6
...
...
...
...
...
...
0
...
...
0
...
...
...
...
...
...
hn−2
6
hn−2 +hn−1
3
...
0
0
0
..
.
 

m1
d1
  m2   d2 
 .   . 
 .   . 
 .   . 
 .  =  . 
 .   . 
0 
 .   . 
hn−1  
mn−1  dn−1 
6
mn
dn
1

29
function pp = splinenaturale(x,y)
%
% function pp = splinenaturale(x,y)
%
n = length(x);
x = x(:);
y = y(:);
h = x(2:n)-x(1:n-1);
d1 = h(2:n-2)/6;
d0 = (h(1:n-2)+h(2:n-1))/3;
rhs = (y(3:n)-y(2:n-1))./h(2:n-1)-(y(2:n-1)-y(1:n-2))./h(1:n-2);
S = diag(d1,-1)+diag(d0)+diag(d1,1);
m = zeros(n,1);
m(2:n-1) = S\rhs;
a = (y(2:n)-y(1:n-1))./h(1:n-1)-h(1:n-1).*(m(2:n)/6+m(1:n-1)/3);
b = y(1:n-1);
pp.x = x;
pp.P = [(m(2:n)-m(1:n-1))./(6*h),m(1:n-1)/2,a,b];
pp.k = 4;
pp.n = n-1;
pp.d = 1;
Tabella 5.4: Spline cubica naturale.
(xi−1 )
(xi )
− f (xi )−f
, i = 2, . . . , n − 1.
con d1 = dn = 0 e di = f (xi+1h)−f
hi−1
i
L’algoritmo per il calcolo della struttura associata ad una spline cubica
naturale è riportato in Tabella 5.4.
Splines cubiche vincolate Si impongono due valori d′1 e d′2 per la derivata
S ′ (x1 ) e S ′ (xn ), rispettivamente. Si ricava dunque
a1 = d′1
mn − mn−1
(xn − xn−1 )2 + mn−1 (xn − xn−1 ) + an−1 = d′n
2hn−1
da cui
h1
f (x2 ) − f (x1 )
h1
m1 + m2 =
− d′1
3
6
h1
hn−1
f
(xn ) − f (xn−1 )
hn−1
mn−1 +
mn = d′n −
6
3
hn−1
30
Il sistema lineare da risolvere diventa dunque

h
 

h1
1
0 ...
...
0
m1
d1
3
6
 h1 h1 +h2 h2
 

0
...
0 

6
3
6
 m. 2   d.2 


.
.
.
.
.



..
..
..
..
..   ..   .. 
0



= . 
  .. 
 ..
...
... ...
...
 . 
0  . 
.
  . 

hn−2
hn−2 +hn−1
hn−1  

dn−1 
 mn−1
0
...
0
6
3
6
hn−1
hn−1
mn
dn
0
... ...
0
6
3
con d1 =
f (x2 )−f (x1 )
h1
− d′1 e dn = d′n −
f (xn )−f (xn−1
.
hn−1
Splines cubiche periodiche Si impone S ′′ (x1 ) = S ′′ (xn ) e S ′ (x1 ) = S ′ (xn ).
Si ricava dunque
m1 = mn
mn − mn−1
a1 =
hn−1 + mn−1 hn−1 + an−1
2
da cui
m1 − mn = 0
h1
hn−1
hn−1
f (x2 ) − f (x1 ) f (xn ) − f (xn−1 )
h1
m1 + m2 +
mn−1 +
mn =
−
3
6
6
3
h1
hn−1


 

1
0
... ... ...
0
−1
m1
d1
h2
 h1 h1 +h2
 

0 ...
...
0 

6
3
6
 m2   d2 
h2 +h3
h3
h2

0
0
...
0   m3   d3 

6
3
6
 .   . 
 ..
.. 
.
.
.
.
.


..
..
..
..
..
.. 

.
.
 =  .. 





..   ..   .. 
 ..
...
...
... ...
...
.  .   . 
.


hn−2 +hn−1
hn−1  
hn−2
 dn−1 

0
m
...
...
0
n−1
6
3
6
hn−1
hn−1
h1
h1
mn
dn
0
.
.
.
0
3
6
6
3
con d1 = 0 e dn =
f (x2 )−f (x1 )
h1
−
f (xn )−f (xn−1 )
.
hn−1
Splines cubiche not-a-knot Si impone la continuità della derivata terza
in x2 e xn−1 . Si ricava dunque
m3 − m2
m2 − m1
=
h1
h2
mn−1 − mn−2
mn − mn−1
=
hn−2
hn−1
31
da cui
1
1
1
1
m2 + m3 = 0
m1 −
+
h
h1 h2
h2
1
1
1
1
1
mn−1 +
mn−2 −
+
mn = 0
hn−2
hn−2 hn−1
hn−1
1


 
− h11 − h12 h12
0
...
0
d1
m1
h1
h1 +h2
h2
 h1

 
0
...
0 
6

3
6
 m. 2   d.2 


.
.
.
.
.


..
..
..
..
..  
.. 
0
  .. 


=



..   .. 
 ..

...
... ...
...

0 
.
 .   . 

hn−2
hn−2 +hn−1
hn−1  
0
 mn−1  dn−1 
...
0
6
3
6
1
1
1
1
dn
mn
0
...
0 hn−2 − hn−2 − hn−1 hn−1
con d1 = dn = 0.
Rappresentazione dell’errore
Supponiamo di usare un metodo di interpolazione polinomiale a tratti di
grado k − 1 in un intervallo [a, b] e consideriamo due diverse discretizzazioni,
rispettivamente con n1 e n2 nodi, con intervalli di lunghezza media h1 =
(b − a)/(n1 − 1) e h2 = (b − a)/(n2 − 1). Gli errori di approssimazione
saranno verosimilmente err1 = Chk1 e err2 = Chk2 . Si ha dunque
err2
=
err1
h2
h1
k
da cui
log err2 − log err1 = k(log h2 − log h1 ) = −k(log(n2 − 1) − log(n1 − 1)) .
Dunque, rappresentando in un grafico logaritmico-logaritmico l’errore in dipendenza dal numero di nodi, la pendenza della retta corrisponde al grado
di approssimazione del metodo, cambiato di segno.
5.2.3
Compressione di dati
Supponiamo di avere un insieme molto grande di coppie di nodi/valori {(xi , yi )}N
i=1
e di non conoscere la funzione che associa il valore al nodo corrispondente.
Ci poniamo il problema di comprimere i dati, ossia memorizzare il minor
32
numero di coefficienti pur mantenendo un sufficiente grado di accuratezza.
Una prima idea potrebbe essere quella di selezionare alcuni dei nodi, diciamo
n, e di costruire la spline cubica su quei nodi. Il costo di memorizzazione,
oltre ai nodi, sarebbe dunque pari a 4(n − 1). Rimarrebbe il problema di
scegliere i nodi da memorizzare, visto che non si suppone siano equispaziati.
Si potrebbe ridurre il costo di memorizzazione (a n) usando un unico
polinomio interpolatore: rimarrebbe il problema della scelta dei nodi e, probabilmente, si aggiungerebbe un problema di mal condizionamento sempre
dovuto alla scelta dei nodi.
Un’idea che combina le tecniche discusse è la seguente: si usa una interpolazione a tratti (anche lineare) per ricostruire i valori della funzione
sconosciuta in corrispondenza di n nodi di Chebyshev. Si usa poi un unico
polinomio interpolatore su quei nodi. Il rapporto di compressione è 2N/n,
considerando che non è necessario memorizzare i nodi di Chebyshev, ma
solo i coefficienti del polinomio interpolatore (e trascurando i due estremi
dell’intervallo).
5.2.4
Il comando find
Supponiamo di voler implementare una function per la valutazione della
funzione
(
sin(x)
se x ≥ 0
f (x) =
− sin(x) se x < 0
Una implementazione potrebbe essere
function y = f(x)
if (x >= 0)
y = sin(x);
else
y = -sin(x);
end
La forte limitazione di questa implementazione è l’impossibilità di avere un
risultato corretto quando x è un vettore anziché uno scalare. Si può dunque ricorrere al comando find. Per esempio, dato il vettore x=[-1,0,1], il
comando
find(x >= 0)
restituisce il vettore [2,3]. Cioè, gli elementi 2 e 3 del vettore x soddisfano
la relazione x>=0. Allora, una function che implementa correttamente la
funzione data per un input vettoriale generico è
33
5.3. APPROSSIMAZIONE
function y = f(x)
y = zeros(size(x));
index1 = find(x >= 0);
y(index1) = sin(x(index1));
index2 = find(x < 0);
y(index2) = -sin(x(index2));
5.3
5.3.1
Approssimazione
Sistema normale per i minimi quadrati
L’approssimazione ai minimi quadrati porta alla risoluzione di un sistema
sovradeterminato
Ax = b,
A ∈ Rn×m , b ∈ Rn×1 , n > m .
La soluzione ai minimi quadrati coincide con la soluzione del sistema normale
AT Ax = AT b .
(5.7)
Si pensi al caso di approssimazione mediante polinomi: la matrice A è la
matrice di Vandermonde costruita a partire dai nodi di interpolazione, fino
al grado m − 1. La matrice AT A risulta essere simmetrica e definita positiva.
Pertanto, è teoricamente possibile utilizzare la fattorizzazione di Cholesky per
risolvere il sistema. In maniera più efficiente, si può usare la fattorizzazione
A = QR, con Q ∈ Rn×m ortogonale e R ∈ Rm×m triangolare, senza il bisogno
di calcolare esplicitamente la matrice AT A. Si ha infatti
AT Ax = AT b ⇔ RT QT QRx = RT QT b ⇔ RT (Rx − QT b) = 0 ⇔ Rx = QT b .
In ogni caso, il numero condizionamento della matrice AT A potrebbe essere
molto elevato.
Si può ricorrere alla decomposizione SVD. Sia
A = U SV T ,
U ∈ Rn×n , S ∈ Rn×m , V ∈ Rm×m
con U e V matrici ortogonali e

s1
0
.
.
.

0
S=
0

0
.
 ..
0

0 ... ...
0
s2 0
...
0
.. 
... ... ...

. 

. . . 0 sm−1 0 

... ...
0
sm 

... ... ...
0
..
..
..
.. 
.
.
.
. 
... ... ...
0
34
La soluzione ai minimi quadrati è quella che minimizza kAx − bk2 . Per
l’ortogonalità di U e V , si ha
kAx − bk2 = U T (AV V T − b)2 = kSz − dk2
con z = V T x e d = U T b. Il minimo di kSz − dk2 si ha per zi = di /si ,
i = 1, . . . , m, da cui poi si ricava x = V z.
5.3.2
Il comando polyfit
Nel caso di approssimazione ai minimi quadrati con polinomi, è possibile usare il comando polyfit. Dati due vettori di nodi e valori x e y di lunghezza n,
il comando polyfit(x,y,m-1), m < n, restituisce i coefficienti del polinomio
di grado m − 1 approssimante nel senso dei minimi quadrati. Ovviamente,
se m = n, il polinomio è l’unico interpolante.
5.4
Esercizi
1. Si implementi una function y = lagrange(i,x,nodi) che valuta il
polinomio di Lagrange i-esimo nel vettore x.
2. Si implementi una function y = interplagrange(nodi,valori,x) per
la formula di interpolazione nella forma di Lagrange.
3. Si testi l’interpolazione nella forma di Lagrange della funzione di Runge
nell’intervallo [−5, 5] su nodi equispaziati. Si prendano rispettivamente
n = 11, 21, 31, 41, 51 nodi di interpolazione e si valuti l’interpolante
su 5(n − 1) + 1 nodi target equispaziati. Si producano delle figure
mettendo in evidenza i nodi di interpolazione, la funzione di Runge e
l’interpolante.
4. Si implementi una function y = chebyshev(n) per il calcolo dei nodi
di Chebyshev nell’intervallo [−1, 1].
5. Si ripeta l’esercizio 3 usando nodi di interpolazione di Chebyshev anziché nodi equispaziati.
6. Si implementi una function V = vandermonde(nodi) per il calcolo della
matrice di Vandermonde definita in (5.1).
7. Si implementi una function y = interpvandermonde(nodi,valori,x)
per la formula di interpolazione mediante matrice di Vandermonde. Si
spieghino i risultati ottenuti.
5.4. ESERCIZI
35
8. Si ripeta l’esercizio 3, usando la formula di interpolazione mediante
matrice di Vandermonde. Si usi il metodo di Hörner implementato nel
Capitolo 2, Tabella 2.1 per la valutazione del polinomio.
9. Si implementi una function y = interpnewton(nodi,valori,x) per
il calcolo del polinomio di interpolazione nella forma di Newton.
10. Si ripeta l’esercizio 3, usando la formula di interpolazione di Newton.
11. Si modifichi l’implementazione dell’interpolazione nella forma di Newton, in modo da prevedere come parametro opzionale di input la tolleranza per l’errore (in norma infinito) di interpolazione, stimato come
in (5.2). Nel caso la tolleranza non sia raggiunta, l’algoritmo si interrompe all’ultimo nodo di interpolazione. La function deve fornire in
uscita il numero di iterazioni e la stima dell’errore.
12. Si considerino n = 21 nodi di interpolazione equispaziati nell’intervallo
[−5, 5]. Si interpoli in forma di Newton la funzione y = cos(x) sull’insieme di nodi target {−2, 0, 1} per diverse tolleranze e, successivamente,
sull’insieme di nodi target {−2π, π}. Si spieghino i risultati ottenuti.
13. Si calcolino i numeri di condizionamento della matrice di Vandermonde
(5.1) e della matrice dei coefficienti dell’interpolazione di Newton, da
ordine 2 a 20 (considerando nodi equispaziati in [−1, 1] e se ne produca
un grafico semilogaritmico nelle ordinate. Si discutano i risultati.
14. Si implementi una function pp = lintrat(x,y) per l’interpolazione
lineare a tratti.
15. Si verifichi, mediante un grafico logaritmico-logaritmico, il grado di approssimazione (errore in norma infinito) delle splines cubiche naturali
per la funzione di Runge. Si considerino un numero di nodi di interpolazione equispaziati nell’intervallo [−5, 5] da n = 11 a n = 91 e 102
nodi target equispaziati.
16. Si ripeta l’esercizio precedente con l’interpolazione lineare a tratti.
17. Data la struttura associata ad una spline cubica, si ricavi la corrispondente struttura per la derivata seconda.
18. Si ripeta l’esercizio 15, confrontando però la derivata seconda della
funzione di Runge e la derivata seconda della spline cubica not-a-knot
associata.
36
19. Si considerino le coppie {(xi , yi )} ove gli xi sono N = 1001 nodi equispaziati nell’intervallo [0, 2π] e yi = sin(xi ). Mediante il procedimento
descritto in § 5.2.3 (interpolazione lineare a tratti e interpolazione su
nodi di Chebyshev estesi), si determini il minimo grado n necessario per
comprimere i dati con un errore in norma infinito inferiore a 10−5 . Si
determini poi l’errore in corrispondenza del rapporto di compressione
286. Infine, si giustifichi la stagnazione dell’errore di approssimazione
per grado di interpolazione maggiore di 10.
20. Si implementino due functions per la risoluzione del sistema normale
(5.7) tramite fattorizzazione QR e tramite decomposizione SVD. Si
consulti l’help dei comandi qr e svd.
21. Si considerino i vettori x=linspace(0,3*pi,101) e y=sin(x)+(rand(size(x))-0.5)/5
Le coppie (xi , yi ) possono essere interpretate come dati affetti da rumore. Si costruiscano i polinomi di approssimazione ai minimi quadrati,
con grado opportuno. Si determini sperimentalmente quale è il grado
polinomiale che meglio ricostruisce la funzione seno.
Indicando con A+ la matrice pseudoinversa (AT A)−1 AT , si ha
A+ = V S + U T ,
ove S + è la matrice pesudoinversa di S. Risulta
1
0 ... ...
0 0 ...
s1
0 1
0
...
0 0 ...
s2

 .. . . . .
..
+
.
..
S =.
.
.
. 0 ...

0 ... 0 s 1
0
0 ...
m−1
1
0 ... ...
0
0 ...
sm

0
0


∈ Rm×n
0

0
0
Nel caso si = 0, si sostiuisce il corrispondente elemento nella pseudoinversa
con 0.

Capitolo 5 Interpolazione ed approssimazione

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