7.1 Aggiunto di un operatore lineare. Operatori autoaggiunti.

c 88-7999-006-3
!
Cap. 7
OPERATORI AUTOAGGIUNTI ED UNITARI
In questo capitolo V = V
è uno spazio vettoriale euclideo n–dimensionale.
Il prodotto scalare verrà indicato con " , #.
n
7.1
Aggiunto di un operatore lineare. Operatori autoaggiunti.
! n
"
Definizione 1. Sia V = V , " , # uno spazio vettoriale euclideo n–dimensionale.
Sia T : V → V un operatore lineare. Si chiama aggiunto di T un operatore lineare S : V → V tale che:
"T (u), v# = "u, S(v)#, ∀ u, v ∈ V.
! n
"
Proposizione 1. Sia V = V , " , # uno spazio vettoriale euclideo n–dimensionale
e sia T un operatore lineare di V . L’aggiunto S di T esiste ed è unico.
Se
è una base ortonormale (rispetto a " , #) e se T ( ) = B, l’aggiunto S
di T ha matrice tB (rispetto ad ). [Per tale motivo l’aggiunto S di T è talvolta detto operatore trasposto di T e denotato t T ].
Dim. Sia
una base (arbitraria) di V . Sia T ( ) = B, con B ∈
la matrice di " , # (rispetto ad ). Dunque:
( ), e sia A
n
"u, v# = " x, y# = txAy , ∀ u = x, v = y ∈ V .
[Si noti che A ∈ GLn( ), in quanto " , # è un prodotto scalare].
Denotiamo con S un arbitrario operatore lineare di V e poniamo S( ) = C,
con C ∈ n( ). Risulta, ∀ u, v ∈ V :
Pertanto:
"T (u), v# = "T ( x), y# = " Bx, y# = t(Bx)Ay = tx(tBA)y ;
"u, S(v)# = " x, S( y)# = " x, Cy# = txA(Cy) = tx(AC)y .
−1
S è aggiunto di T ⇐⇒ tBA = AC ⇐⇒ C = A
t
BA.
Dunque l’aggiunto di T esiste ed è unico [infatti la sua matrice C (in base
−1
dividuata da A e B, tramite la condizione: C = A tBA].
Se infine
è una base ortonormale, allora A = In e dunque C = tB.
) è in-
! n
"
Definizione 2. Sia V = V , " , # uno spazio vettoriale euclideo n–dimensionale
e sia T un operatore lineare di V . L’operatore T è detto autoaggiunto [o simmetrico] se T = t T , cioè se:
63
64
Cap. VII
OPERATORI AUTOAGGIUNTI ED UNITARI
c 88-7999-006-3
!
"T (u), v# = "u, T (v)#, ∀ u, v ∈ V.
Osservazione 1. Sia T : V → V un operatore lineare e sia
male di V . Sia T ( ) = B. Dalla Prop. 1 segue subito che:
una base ortonor-
T è autoaggiunto ⇐⇒ B = tB.
Pertanto gli operatori autoaggiunti di V = V sono in corrispondenza biunivoca con
le matrici simmetriche di
n( ) [anzi formano un sottospazio vettoriale di End(V ),
isomorfo al sottospazio vettoriale delle matrici simmetriche di
n( )].
Si osservi che, se la base
non è ortonormale, un operatore autoaggiunto può
avere matrice non simmetrica e, viceversa, un operatore con matrice simmetrica può
non essere autoaggiunto (cfr. il successivo Eserc. 1).
n
Esempio 1. Tutti gli operatori di proiezione ortogonale e tutti gli!operatori
" di simmen
tria ortogonale rispetto ad ogni sottospazio vettoriale U di V = V , " , # sono operatori autoaggiunti.
#
$
Per provare tale fatto, si consideri una base ortonormale f , . . . , f
di U
1
m
[ottenuta ad esempio con l’algoritmo di Gram–Schmidt], la si completi ad una base
di V e poi la!si ortonormalizzi [sempre
con l’algoritmo di Gram–Schmidt]. Si de"
noti con
= f ... f
. . . f la base ortonormale ottenuta.
1
m
n
Siano P, S rispettivamente l’operatore di proiezione ortogonale su U e l’operatore di simmetria ortogonale rispetto ad U . Risulta: P ( ) = A e S( ) = B, con




1
1
..
..




.
.








1
1




A=
 e B=
.
−1
0








.
.
..
..




0
−1
Poiché A, B sono matrici (diagonali e quindi) simmetriche e poiché
è ortonormale, in base alla Prop. 1 P ed S sono autoaggiunti.
Si noti che è possibile dimostrare tale risultato senza far uso delle matrici di P
ed S. Se infatti u = u! + u!! , v = v ! + v !! , con u! , u!! ∈ U e u!! , v !! ∈ U ⊥ , allora:
"P (u), v# = "u! , v ! + v !! # = "u! , v ! # = "u! + u!! , v ! # = "u, P (v)#;
"S(u), v# = "u! − u!! , v ! + v !! # = "u! , v ! # − "u!! , v !! # = "u! + u!! , v ! − v !! # = "u, S(v)#.
2
Esercizio 1. Sia V = V un piano vettoriale euclideo, con prodotto scalare " , #
definito, rispetto ad una base
di V , dalla matrice
+
,
2 −1
A=
.
−1 1
65
§ 7.2 Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti
c 88-7999-006-3
!
Sia T : V → V l’operatore lineare definito da
T ( ) = B, con B =
+
1
2
,
2
.
1
Verificare che T non è autoaggiunto (nonostante B sia simmetrica) e determinare
la matrice dell’operatore aggiunto S di T (in base ).
* * *
Soluzione. Se T fosse un operatore autoaggiunto si avrebbe: "T ( x), y# =
" x, T ( y)#, ∀ x, y ∈ V , da cui tx(tBA)y = tx(AB)y , ∀ x, y ∈
( ).
n,1
Dunque si avrebbe tBA = AB, mentre risulta:
+
,
+
,
0 1
0 3
t
BA =
*= AB =
.
3 −1
1 −1
L’operatore aggiunto S di T è definito da
+
,
−1
3 0
S( ) = C, con C = A tBA =
.
0 −1
7.2 Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti e
diagonalizzazione “ortonormale” di forme bilineari simmetriche.
Il seguente teorema afferma che se T è un operatore autoaggiunto di V = V ,
esiste una base ortonormale di V formata da autovettori di T . Tale fatto, come vedremo nell’ultimo capitolo, ha importanti conseguenze.
n
Teorema 1. (Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti). Sia V = V uno spazio vettoriale euclideo n–dimensionale. Se T : V → V è un operatore autoaggiunto, esiste una base ortonormale di autovettori di T .
n
La dimostrazione del teorema si basa su due risultati preliminari.
Proposizione 2. Sia A ∈
Il polinomio caratten( ) una matrice simmetrica.
ristico P = PA di A ha n radici reali (contate con la relativa molteplicità algebrica), cioè P si fattorizza linearmente in [x].
Dim. In base al teorema Fondamentale dell’Algebra, P si fattorizza linearmente in
[x] [cfr. Oss. IV.12]. Basterà quindi dimostrare che ogni radice λ ∈ di P è in effetti un numero reale (cioè λ ∈ ).
n
n
Sia T :
→
l’operatore lineare avente matrice A, rispetto alla base canon
nica
di
. Poiché λ è un autovalore di T , esiste un vettore non nullo z = z,
66
Cap. VII
OPERATORI AUTOAGGIUNTI ED UNITARI
c 88-7999-006-3
!
con z ∈
( ), tale che T (z) = λz, cioè
n,1
(•)
Az = λz .
Ricordiamo ora alcune definizioni e semplici risultati relativi a . Per ogni
α = x+iy ∈ , il numero complesso α = x−iy è detto coniugato di α; inoltre il nu2
2
mero reale αα = x + y è detto norma di α. Valgono i seguenti fatti (probabilmente noti al lettore, ma in ogni caso molto semplici da verificare):
α = α; α ∈ ⇐⇒ α = α;
αα ≥ 0; αα = 0 ⇐⇒ α = 0;
α + β = α + β; α β = α β, ∀ α, β ∈ .
 
z1
Assegnata quindi la colonna non nulla z =  :  ∈ n,1( ) e considerata la
zn
 
z1
sua colonna coniugata z =  :  ∈ n,1( ), si verifica subito che:
zn
n
(i ) t z z =
zi zi è un numero reale positivo [in quanto ∃ zi *= 0];
(ii )
!
i=1
t z Az
"
= t z A z = tzA z [in quanto A = A (essendo A ∈
( ))].
n
Torniamo ora alla dimostrazione di questa proposizione. Moltiplichiamo a sinistra la (•) per t z. Risulta:
t
z Az = t z λz = λ(t z z)
e quindi:
!t
"
1
λ = t zz
z Az .
Per dimostrare che λ ∈ , è sufficiente verificare che t z Az ∈ , cioè che
!
"
t z Az = t z Az.
Infatti (essendo A una matrice simmetrica):
!
"
!
"
t z Az = tzA z = t tzA z = t z tA ttz = t z Az .
Proposizione 3. Sia T un operatore autoaggiunto di uno spazio vettoriale euclin
deo V = V . Sia u un autovettore di T . Risulta:
T (u⊥ ) ⊆ u⊥
[cioè T lascia fisso il sottospazio u⊥ ].
Dim. Sia T (u) = λu. Per ogni v ∈ u⊥ [e dunque "u, v# = 0] si ha:
"T (v), u# = "v, T (u)# = "v, λu# = λ"v, u# = λ0 = 0
e pertanto T (v) ∈ u⊥ .
67
§ 7.2 Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti
c 88-7999-006-3
!
Veniamo ora alla dimostrazione del Teor. 1.
Dim. (Teorema 1). Si procede per induzione su n = dim(V ). Se dim(V ) = 1
l’asserto è evidente [basta scegliere una qualsiasi base
= (e), con || e ||= 1].
Supponiamo allora n = dim(V ) ≥ 2 e assumiamo vero l’asserto per operatori autoaggiunti su spazi vettoriali euclidei di dimensione n − 1.
In base alla Prop. 2, T ha almeno un autovalore reale. Fissato quindi λ ∈ Λ(T ),
sia e1 un autovettore di T ad esso associato. Si può assumere || e1 ||= 1 (altrimenti
si divida e1 per la sua norma).
Si osserva subito che e⊥
è un sottospazio vettoriale (euclideo) di V di dimensio1
ne n − 1 (cfr. Cor. VI.1). In base alla Prop. 3, T (e⊥
) ⊆ e⊥
e dunque è possibile re1
1
⊥
stringere T al sottospazio vettoriale e1 . Si ottiene in tal modo l’operatore lineare T ! : e⊥
→ e⊥
, che ovviamente è ancora autoaggiunto (in quanto T ! agisce come
1
1
T sui vettori di e⊥
).
1
Per ipotesi
induttiva,
T ! ammette una base ortonormale di autovettori, che de#
$
notiamo e2 , . . . , en . Poichè e1 ⊥ ei (∀ i = 2, . . . , n), i vettori e1 , e2 , . . . , en sono
a due a due ortogonali e dunque linearmente indipendenti (cfr. Oss. VI.2(i )). Ne
segue che tali vettori costituiscono una base ortonormale di autovettori di T , come
richiesto.
Osservazione 2. Sia T un operatore autoaggiunto ed
una base ortonormale di
autovettori di T . Vogliamo mettere in evidenza il fatto che, in base , T ha matrice diagonale
λ
0 ... 0 
1
 0
D=
 ..
.
0
λ2
..
.
0
...
..
.
...
0 
.. 
,
.
λn
dove λ1 , . . . , λn sono gli autovalori (non necessariamente distinti) di T . Ciascun autovalore λi di T compare hλi volte sulla diagonale di D (cfr. Def. IV.8).
Proposizione 4. Sia T : V → V un operatore autoaggiunto. Se u, v sono autovettori di T associati ad autovalori distinti, allora u, v sono ortogonali. Ne segue che gli autospazi di T sono a due a due ortogonali.
Dim. Sia T (u) = λu e T (v) = µv, con λ, µ ∈
"T (u), v# = "λu, v# = λ"u, v#
e
e λ *= µ. Si ha:
"u, T (v)# = "u, µv# = µ"u, v#.
Poiché "T (u), v# = "u, T (v)#, allora λ"u, v# = µ"u, v# e quindi [essendo λ *= µ]
risulta "u, v# = 0. Ne segue che Eλ ⊆ E⊥
e che Eµ ⊆ E⊥
.
µ
λ
68
Cap. VII
OPERATORI AUTOAGGIUNTI ED UNITARI
c 88-7999-006-3
!
Osservazione 3. In base alla Prop. 4, per calcolare una base ortonormale
di autovettori dell’operatore autoaggiunto T basterà quindi calcolare una base di ciascun autospazio Eλ di T ed (eventualmente) ortonormalizzarla (con l’algoritmo di Gram–
Schmidt). L’unione delle basi ottenute è una base
cercata.
4
Esercizio 2. In
, dotato di prodotto scalare standard, è assegnato l’operatore li4
neare T definito, rispetto alla base canonica
di
, dalla matrice


1 0 0 0
 0 −1 0 0 
A=
.
0 0 0 1
0 0 1 0
Determinare una base ortonormale
di autovettori di T e scrivere la matrice di T
rispetto a tale base.
* * *
2
2
Soluzione. L’operatore
T
ha
polinomio
caratteristico P = (x − 1) (x + 1) e dun#
$
que ha spettro Λ(T ) = 1, −1 , con h1 = 2 e h−1 = 2. L’autospazio E1 ha equazioni:
.
−2x2 = 0
−x3 + x4 = 0
e dunque E1 = "(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1)#. La base indicata per E1 è già ortogonale. Ortonormalizzando i due vettori, si ottiene:
"
!
E1 = "(1, 0, 0, 0), 0, 0, √12 , √12 #.
L’autospazio E−1 ha equazioni:
.
2x1 = 0
x3 +x4 = 0
e dunque E−1 = "(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, −1)#. I due vettori scelti sono già ortogonali. Ortonormalizzandoli si ottiene:
!
"
E−1 = "(0, 1, 0, 0), 0, 0, √12 , − √12 #.
Pertanto una base ortonormale
di autovettori di T è:


1 0 0
0
0 0 1
0 

= C, con C = 
√1  ∈ O4( ).
 0 √12 0
2
0 √12 0 − √12
Esprimendo T in base
, risulta:

1
0
T ( ) = D, con D = tCAC = 
0
0
0 0
1 0
0 −1
0 0

0
0 
.
0
−1
69
§ 7.3 Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti
c 88-7999-006-3
!
Sia al solito V = V uno spazio vettoriale euclideo, con prodotto scalare " , #
e sia
una base ortonormale.
Sia b una forma bilineare simmetrica su V , definita, rispetto ad , da una matrice A. Sappiamo che con l’algoritmo di Lagrange (cfr. Cap. V §. 4) è possibile costruire una base ! b–diagonalizzante. Tuttavia ! non è necessariamente ortonormale. Il teorema che segue (conseguenza del teorema spettrale) afferma che è possibile costruire una base b–diagonalizzante ortonormale.
n
! n
"
Teorema 2. Sia V = V , " , # uno spazio vettoriale euclideo. Se b è una forma
bilineare simmetrica su V , esiste una base ortonormale b–diagonalizzante.
Dim. Sia
una base ortonormale (rispetto ad " , #) e sia b( x, y) = txAy.
Ovviamente A = tA (cfr. Prop. V.1).
La matrice A definisce l’operatore lineare T : V → V tale che T ( ) = A.
Si noti che T è un operatore autoaggiunto [in quanto A è simmetrica ed
è ortonormale]. In base al Teor. 1, esiste una base ortonormale
formata da autovettori di T . Inoltre:
T ( ) = D, con D matrice diagonale.
Se
= C, in base alla Prop. VI.1(i ), C ∈ On( ) [e dunque C
D = T ( ) = T ( C) = T ( )C = AC =
−1
= tC]. Si ha:
t
CAC
e dunque:
D = tCAC.
Pertanto:
b( x! , y ! ) = b( Cx ! , Cy! ) = t(Cx ! )A(Cy ! ) = tx! (tCAC)y ! = tx! Dy ! .
Dunque
è una base ortonormale b–diagonalizzante, come richiesto.
4
Esercizio 3. In
, dotato di prodotto scalare standard, è assegnata la forma bili4
neare simmetrica b definita, rispetto alla base canonica
di
, dalla matrice A
considerata nell’Eserc. 2. Determinare una base ortonormale
b–diagonalizzante e
scrivere l’espressione di b (in base ). Scrivere (sempre in base ) l’espressione
della forma quadratica Q associata a b.
* * *
Soluzione. Nell’Eserc. 2 abbiamo costruito una base ortonormale
autovettori dell’operatore autoaggiunto T avente matrice A (in base
, b ha quindi matrice tCAC = D (cfr. Eserc. 2) e dunque
Infine:
b( x, y) = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 − x4 y4 .
2
2
2
2
Q( x) = x1 + x2 − x3 − x4 .
formata da
). In base
70
Cap. VII
OPERATORI AUTOAGGIUNTI ED UNITARI
c 88-7999-006-3
!
7.3
Operatori unitari.
! n
"
Definizione 3. Sia V = V , " , # uno spazio vettoriale euclideo n–dimensionale
e sia T : V → V un operatore lineare. L’operatore T è detto unitario se risulta:
"T (u), T (v)# = "u, v#, ∀ u, v ∈ V ,
cioè se T conserva il prodotto scalare " , # di V .
! n
"
Proposizione 5. Sia T un operatore lineare di V = V , " , # . Risulta:
T è unitario ⇐⇒ T è invertibile e T
−1
= tT .
Dim. (=⇒). Basta verificare che t T ◦ T = 1V , cioè che
!
"
t
T T (v) = v, ∀ v ∈ V .
Infatti, in base alla definizione di aggiunto (cfr. Def. 1), si ha, ∀ u, v ∈ V :
!
"
"u, v# = "T (u), T (v)# = "u, t T T (v) #
e quindi:
!
"
"u, v − t T T (v) # = 0, ∀ u ∈ V .
!
"
Ne segue che v = t T T (v) , ∀ v ∈ V , come richiesto.
(⇐=). Risulta, ∀ u, v ∈ V :
!
"
"
−1!
"T (u), T (v)# = "u, t T T (v) # = "u, T T (v) # = "u, v#.
Osservazione 4 (i ) Si verifica facilmente che gli operatori unitari costituiscono
un sottogruppo (denotato O(V )) del gruppo Aut(V ) degli automorfismi di V .
−1
Infatti si ha: T ◦ S è unitario (se T ed S lo sono), 1V è unitario e T
è unitario (se T lo è). Si osservi invece che T + S ed aT non sono sempre unitari (se T ed S lo sono).
(ii ) Un operatore unitario T conserva il prodotto scalare " , # di V . Dunque
conserva la norma di un vettore e l’angolo convesso tra due vettori non nulli. Risulta
cioè:
!
"
|| u ||=|| T (u) || e ϑ(u, v) = ϑ T (u), T (v) .
Cerchiamo
ora
! n
" informazioni sulle matrici degli operatori unitari. Sia
di V = V , " , # e sia " x, y# = txAy . Sia T ( ) = B. Si ha:
T è unitario ⇐⇒ "T ( x), T ( y)# = " x, y#, ∀ x, y ∈ V ⇐⇒
⇐⇒ " Bx, By# = " x, y#, ∀ x, y ∈ V ⇐⇒
⇐⇒ t(Bx)A(By) = txAy, ∀ x, y ∈ n,1( ) ⇐⇒
⇐⇒ tx(tBAB)y = txAy , ∀ x, y ∈ n,1( ) ⇐⇒ tBAB = A.
una base
71
§ 7.3 Operatori unitari
c 88-7999-006-3
!
! n
"
Corollario 1. Sia V = V , " , # uno spazio vettoriale euclideo con base ortonormale . Sia T : V → V un operatore lineare tale che T ( ) = B. Risulta:
T è unitario ⇐⇒ B ∈ On( ).
Ne segue che O(V ) è isomorfo al gruppo On( ).
Dim. Per quanto sopra osservato: T è unitario ⇐⇒ tBAB = A. Poiché
è ortonormale, A = In e dunque: T è unitario ⇐⇒ tBB = In ⇐⇒ B ∈ On( ).
Osservazione 5 (i ) Sia T unitario. Se
è una base ortonormale, in base a
Prop. VI.1(ii ) anche T ( ) è una base ortonormale Dunque un operatore unitario trasforma basi ortonormali in basi ortonormali.
(ii ) Se T è unitario, risulta: det(T ) = ±1. Infatti, se T ( ) = B, con
base ortonormale, allora B ∈ On( ) e dunque det(T ) = det(B) = ±1.
Gli operatori unitari tali che det(T ) = +1 sono detti operatori unitari
speciali (o anche rotazioni ) di V . Tali operatori costituiscono un sottogruppo
[denotato SO(V )] del gruppo O(V ).
(iii ) Se T è unitario, ΛT ⊆ {1, −1}. Infatti, se T (u) = λu, risulta:
2
2
"u, u# = "T (u), T (u)# = "λu, λu# = λ "u, u#
e dunque λ = 1, cioè λ = ±1.
Si osservi che un operatore unitario può non essere diagonalizzabile [ad esempio
2
in
, con prodotto scalare standard, la matrice
+
,
0 −1
Rπ =
∈ SO2( )
2
1 0
2
definisce (rispetto alla base canonica di
) un operatore unitario privo di autovalori e dunque non diagonalizzabile].
(iv ) Se ΛT = {1, −1}, gli autospazi E1 e E−1 sono ortogonali tra loro. Infatti,
se T (u) = u e T (v) = −v, si ha:
"u, v# = "T (u), T (v)# = "u, −v# = −"u, v#
e dunque 2"u, v# = 0, cioè "u, v# = 0].
(v ) Se infine u è un autovettore di T , risulta: T (u⊥ ) ⊆ u⊥ . Infatti, ∀ v ∈ u⊥ ,
si ha (essendo λ = ±1):
"T (v), u# = λ1 "T (v), λu# = λ1 "T (v), T (u)# = λ1 "v, u# = 0,
e quindi T (v) ∈ u⊥ .]
Esempio 2. Ogni operatore ! di simmetria
ortogonale S rispetto ad un sotto"
n
spazio vettoriale U di V = V , " , # è un operatore unitario [oltreché autoaggiunto, come già osservato in Esempio 1].
72
Cap. VII
OPERATORI AUTOAGGIUNTI ED UNITARI
c 88-7999-006-3
!
Infatti, dal precedente Esempio 1 sappiamo che esiste una base ortonormale
di V tale che


1
.


..




1


S( ) = B, con B = 
.
−1




.
.


.
2
−1
Tale matrice è ortogonale. Infatti tBB = B = In e dunque tBB = B
che S è unitario. Osserviamo inoltre che, se dim U = m, risulta:
−1
. Ne segue
S ∈ SO(V ) ⇐⇒ det(B) = +1 ⇐⇒ n − m è pari ⇐⇒ n − dim U è pari.