Universit`a degli Studi di Roma Tre Corso di Laurea in Matematica

Università degli Studi di Roma Tre
Corso di Laurea in Matematica – a.a. 2013/2014
AL110
Tutorato 5
(1) Provare per induzione che 13 + 23 + . . . + n3 = ( n(n+1)
)2 .Provare inoltre che il cubo
2
di ogni numero intero è differenza di due quadrati.
(2) Sia p un numero primo, p > 3, tale che p + 2 è primo, provare che
12|p + (p + 2)
(3) Utilizzando l’algoritmo euclideo delle divisioni successive:
(a) Calcolare M CD(2424, 772) e una relativa identità di Bézout;
(b) Provare che M CD(a, b)|a − b;
(c) Trovare M CD(1962, 1965) e M CD(1961, 1965).
(4) Siano x, y interi non nulli, provare che le seguenti proprietà sono equivalenti:
(a) x|y;
(b) M CD(x, y) = |x|;
(c) mcm(x, y) = |y|.
(5) Scrivere 1121 in base 7, in base 9 e in base 2. Successivamente scrivere 17121, 1331, 1745
in base 11.
(6) Poniamo xZ := {xk : k ∈ Z}. Mostrare che aZ ⊂ bZ ⇔ b|a. Sia h = mcm(a, b),
mostrare che hZ = aZ ∩ bZ
(7) Date le seguenti equazioni diofantee, dire se ammettono soluzioni e, in caso affermativo, determinarle:
(a) 2x + 7y = 5;
(b) 6x − 8y = 3;
(c) 21x + 3y = λ
con λ ∈ Z
(8) Usando il principio di induzione si dimostri che:
• n! > n2 , per ogni n > 3
n+1
X
1
n
•
<
2
i
n+1
i=2
(9) Utilizzando l’algoritmo euclideo delle divisioni successive, stabilire che:
• ogni numero intero dispari è della forma 4k + 1, 4k + 3, k ∈ Z;
• il quadrato di ogni numero intero è della forma 3k, 3k + 1, k ∈ Z;
• il cubo di ogni numero intero è della forma 9k, 9k + 1, 9k + 8, k ∈ Z.
(10) Provare che se n è un numero intero tale che 2 6 |n e 3 6 |n allora 12|(n2 − 1).
(11) Provare che:
(a) ogni numero primo della forma 3n + 1 è anche della forma 6m + 1;
(b) l’unico numero primo della forma n3 − 1 è 7;
(c) l’unico primo per cui 3p + 1 è un quadrato è 5.
(12) Si consideri la funzione f : R → R definita ponendo
1
(
x+1
se x < 3
fh (x) :=
2
x − 6x + 10 se x ≥ 3
Si determinino esplicitamente gli insiemi f (R), ed [0]ρ , essendo ρ la relazione nucleo
di f .
(13) Si consideri l’insieme X = N × N, munito della relazione ≺ definita ponendo
(a, b) ≺ (α,β) ⇔ (a < α) oppure (a = α,b ≤ β)
• Si verifichi che ≺ è un ordine totale sull’insieme P .
• Se esistono, determinare massimo, maggioranti ed estremo superiore del seguente
sottoinsieme Q = {(2012, n)|n ∈ N} di P .
• Si determini, se esiste, il minimo dell’insieme
R = {(7x + 29y, x + y)|x, y ∈ N, 7x + 29y ≥ 203}