Modelli econometrici per l`analisi della β

Modelli econometrici per l’analisi della βconvergenza a livello micro-territoriale
Emanuele Taufer, Giuseppe Espa
Facoltà di Economia, Università di Trento
1 Introduzione
Nello studio della crescita economica e delle disparità nella distribuzione dei redditi a
livello regionale o nazionale si fa spesso riferimento a due concetti fondamentali di
convergenza. Un tipo di convergenza si verifica qualora un'economia più povera cresca
più velocemente di un'economia più ricca, raggiungendola in termini di livello di
reddito, valore aggiunto o prodotto pro-capite. Questo fenomeno fa riferimento al
concetto di β-convergenza sviluppato in particolare da Mankiw (1992), Barro e Sala-IMartin (1995). Un altro tipo di convergenza si verifica se la dispersione del reddito o
del prodotto pro-capite tra economie diverse diminuisce; in questi casi si parla di σconvergenza. La convergenza del primo tipo tende solitamente a generare quella del
secondo tipo.
Il modello base per lo studio della β-convergenza fa riferimento all’equazione (si veda,
per esempio, Arbia (2005, p.8) per ulteriori dettagli)
,
dove
e
rappresentano, rispettivamente, il prodotto (o reddito o valore aggiunto)
nel periodo e nel periodo iniziale;
rappresenta il valore di equilibrio del sistema,
data la tecnologia. Come si può notare, il valore
è una combinazione lineare del
valore iniziale e del punto di equilibrio. La velocità di convergenza verso il punto di
equilibrio è determinata dal parametro b che è definito velocità di convergenza.
Un altro parametro fondamentale per analizzare la convergenza di un’economia è il
cosiddetto half-life, definito come il tempo necessario a
per giungere a metà
percorso tra il valore iniziale e quello di equilibrio, ossia
Considerando un intero periodo
, attraverso opportune elaborazioni otteniamo il
tasso medio di convergenza nel periodo attraverso l’equazione
( )
,
(1)
dove
è una costante legata al livello tecnologico esistente ed al reddito di equilibrio
e
è legata alla velocità di convergenza, ossia,
, da cui
.
(2)
Lo studio della convergenza attraverso modelli econometrici è fondamentale per la
verifica dell’efficacia di determinate politiche economiche volte alla riduzione delle
disparità territoriali. Tra i vari contributi econometrici presenti nella letteratura citiamo
in particolare quelli di Bollino e Polinori (2007) e Arbia e Piras (2005).
In Bollino e Polinori (2007) troviamo, tra l’altro, un’analisi dello sviluppo e della βconvergenza dei comuni umbri nel periodo 1991-2001; lo studio è interessante poiché
propone uno studio della convergenza a livello micro-territoriale quale quello del
Comune. E’, infatti, opinione largamente diffusa che la convergenza possa verificarsi a
livelli territoriali più fini di quelli solitamente studiati. La difficoltà nell’effettuare questi
studi sta nella difficile reperibilità di dati adatti allo scopo. Un altro elemento
interessante nel lavoro di Bollino e Polinori è la riconosciuta necessità di introdurre
nell’analisi degli elementi che tengano conto di relazioni funzionali fra i comuni nonché
degli elementi di caratterizzazione spaziale. In particolare viene riconosciuta e discussa
l’importanza dei sistemi locali del lavoro (SLL) nello studio del fenomeno della
convergenza. Le SLL sono unità territoriali costituite da più comuni contigui fra loro,
geograficamente e statisticamente comparabili, individuati in base ai dati relativi agli
spostamenti quotidiani per motivi di lavoro. Popolosità e gravitazione della forza
lavoro risultano centrali nel definire le connessioni funzionali nello spazio geografico e
pertanto le SLL sono uno strumento di analisi appropriato per indagare la struttura
socio-economica dell'Italia secondo una prospettiva territoriale. Per ulteriori
approfondimenti sulla definizione e metodologia di individuazione delle SLL si veda
Sforzi (1997).
Arbia e Piras (2005) analizzano la β-convergenza per 125 regioni europee nel periodo
1980-1995; in questo caso l’approccio è per mezzo di modelli econometrici spaziali e i
risultati mostrano che l’aspetto territoriale è fondamentale per un’analisi corretta del
problema della convergenza. Il lettore interessato ad altri lavori in questo contesto può
consultare Arbia e Paelink (2003), Peracchi e Meliciani (2001) e i riferimenti
bibliografici all’interno di questi.
Il presente lavoro è organizzato come segue: nella sezione 2 vengono discussi alcuni
modelli econometrici utilizzabili per l’analisi della β-convergenza. La sezione 3 contiene
l’analisi di dati pubblicati dall’ISTAT, riguardanti il valore aggiunto al lordo SIFIM per le
35 SLL del Trentino Alto Adige (TAA) nel periodo dalla seconda metà degli anni 90 ai
primi anni del decennio successivo. In particolare, lo scopo del presente lavoro è
verificare l’ipotesi di β-convergenza a livello micro-territoriale per il TAA ed illustrare e
discutere l’applicazione dei modelli econometrici discussi nella sezione 2. Alcune
considerazioni finali sono contenute nella sezione 4.
2 Modelli econometrici per la -convergenza
2.1 Un approccio tradizionale.
Prendiamo in considerazione l’equazione (1), riguardante la crescita media nel periodo
[0,T]. Autori quali Mankiw et al. (1992), Barro e Sala-I-Martin (1995), suggeriscono di
aumentare l’equazione (1) con un termine di errore casuale ponendola in un contesto
di analisi di regressione. Più precisamente, se con
individuiamo il reddito pro-capite
per la regione al tempo , con
e
per l’analisi della ß-convergenza è definito da
(
, un modello di regressione
)
(3)
dove è un termine di errore a media nulla e varianza σ 2. Tipicamente il modello viene
stimato attraverso i minimi quadrati ordinari (OLS) postulando indipendenza tra gli
errori e le osservazioni e tra le equazioni del modello. Per l’implementazione delle
procedure inferenziali è inoltre introdotta l’assunzione di normalità degli errori.
Se si considera l’intero periodo tra il tempo e il tempo , il tasso medio di crescita
del reddito pro-capite è ancora ottenuto attraverso un modello di regressione lineare
semplice
(
)
.
(4)
Si noti che i parametri
e
non necessariamente coincidono nelle formule (3) e (4);
nel caso della formula (4) la relazione tra
e la velocità di convergenza b è definita
dall’equazione (2).
In questo lavoro ci concentreremo sull’analisi della convergenza media in un
determinato periodo. Per non appesantire troppo la simbologia e cercando di
mantenere la simbologia tradizionale dei modelli econometrici, definiamo le variabili
dipendenti ed indipendenti del modello con
(
),
(
),
,
introduciamo inoltre una simbologia vettoriale indicando con
il
vettore delle osservazioni della variabile indipendente e con
la
matrice contenente le n osservazioni delle (possibili) k variabili indipendenti
(usualmente la matrice contiene una colonna di costanti per accomodare l’intercetta
della retta). Indichiamo inoltre con
,…,
il vettore degli errori; in questo
contesto è un vettore di errori indipendenti con distribuzione normale a media nulla
e varianza costante. Tale vettore viene indicato brevemente con
); dove
indica la matrice unitaria di dimensione n. Facendo ricorso alla simbologia testé
definita, con
, il modello (4) può essere riscritto semplicemente come
.
(5)
2.1 Un approccio con modelli spaziali.
Introduciamo ora alcuni modelli econometrici spaziali che useremo nell’analisi del
fenomeno della -convergenza. In questo caso i modelli tengono conto della vicinanza
spaziale delle n osservazioni attraverso una matrice di prossimità .
Una formulazione piuttosto generale per un modello di analisi spaziale è data
dall’equazione
̃
dove
i.
,
(6)
è una matrice di distanza tra i punti spaziali
di dimensione
. Tipiche scelte per sono
,
(7)
oppure
,
dove
è una misura di distanza fisica tra i due punti e
determinato appropriatamente. Molto spesso la matrice
riga, ossia,
∑
,
è un parametro
è normalizzata per
(8)
in questo caso l’auto-valore massimo di
è pari a 1; come vedremo
quest’informazione sarà utile nel procedimento di stima. In questo lavoro, data
l’applicazione a dati territoriali del TAA, l’uso di pesi di tipo (7) non sembra
appropriato data la morfologia del territorio in cui aree confinanti possono
essere, dal punto di vista economico, molto lontane se separate da catene
montuose elevate. Nell’analisi useremo quindi pesi di tipo (8) con p=1 e dove
rappresenta la distanza chilometrica tra i punti i, j.
ii.
L’assunzione di base è che
); tipicamente è possibile configurare
un vettore con dipendenza spaziale definita attraverso l’equazione
,
(9)
dove
,
è una generica matrice di varianza/covarianza e
è
una matrice di distanze (non necessariamente uguale a ). Nel nostro caso,
come vedremo nella fase di analisi, i dati non sembrano indicare la necessità di
un termine di errore di tipo (9). Sfrutteremo invece il parametro
nell’equazione (6) per catturare relazioni spaziali nel fenomeno in esame.
iii.
La matrice ̃ contiene le variabili indipendenti. In alcuni casi ̃
, tuttavia è
possibile configurare dipendenza spaziale attraverso l’uso di una matrice
̃
; dove
può coincidere con
o includere solo un
sottoinsieme delle colonne di . Con l’introduzione di ̃ la variabile Y al sito i,
è anche funzione delle variabili indipendenti ai siti
; la loro influenza è
mediata dalla matrice dei pesi
. Sotto tale ipotesi il modello (6) può essere
riscritto più esplicitamente come
.
(10)
Il modello (10) è citato nella letteratura come modello di Durbin (Le Sage, 1999) ed è il
modello di riferimento nel nostro caso. Si noti che per stimare l’intercetta (necessaria
se le variabili X ed Y non hanno media nulla) basta semplicemente considerare una
colonna unitaria nella matrice ̃ . Da notare che in taluni casi è possibile avere problemi
di multi-collinearità nella matrice
.
Ai fini della stima dei parametri consideriamo il modello nella forma (6). E’ noto che il
metodo OLS per il modello (6) non necessariamente produce stimatori consistenti, si
veda Anselin (1988) per approfondimenti. Condizionando il modello ai valori delle
variabili indipendenti, la funzione di verosimiglianza è ottenibile in modo relativamente
semplice considerando la verosimiglianza del vettore di errori indipendenti
e
̃ . Denotando con
operando poi la trasformazione
e con
, la funzione di verosimiglianza del modello (6) è data
da
| |
,
̃
̃
-,
dove | | indica il determinante di . Si noti che la presenza di | | nella funzione di
verosimiglianza fa si che le stime ottenute con il metodo dei minimi quadrati e quello
della massima verosimiglianza non coincidano. Dal punto di vista computazionale il
problema della minimizzazione di –
è ben definito anche se numericamente vi
possono essere delle difficoltà di calcolo date dalla necessità di calcolare | | che
contiene il parametro incognito . La condizione | |
è richiesta per il calcolo delle
stime e la regolarità della funzione di verosimiglianza. A tal fine è necessario
restringere i possibili valori di nell’intervallo
) dove
e
denotano rispettivamente l’autovalore di ordine minimo e di ordine massimo di . Nel
caso in cui
sia normalizzata per riga,
.
Una procedura di stima di massima verosimiglianza per il modello (5) è descritta in
Anselin (1988), o Le Sage (1999), ed è data dai seguenti passaggi:
̃
1. Stimare con il metodo dei minimi quadrati ordinari il modello
.
̃
2. Stimare con il metodo dei minimi quadrati ordinari il modello
.
̃̂ e
̃ ̂ , dove ̂ e ̂ indicano,
3. Calcolare i residui
rispettivamente, le stime OLS di
e
ottenute ai passi 1 e 2.
4. Dati
e
, determinare il valore di
che massimizza la funzione di
verosimiglianza concentrata:
(
)
|
|
.
5. Dato ̂ che massimizza , calcolare le stime ̂ ̂
̂̂ .
6. E’ possibile ottenere una stima della varianza
attraverso la formula
̂
(
̃ ̂) (
̂
̃ ̂ ).
̂
La varianza asintotica degli stimatori, necessaria per la procedura di verifica delle
ipotesi è ottenibile attraverso l’inversione della matrice di informazione di Fisher, le cui
formule di calcolo sono riportate da Anselin (1988, p.65). Riportiamo per convenienza
le formule per il calcolo della varianza asintotica degli stimatori per il caso del modello
(6); abbiamo:
(̂ )
̂
,
*(
̃̃
,
̃ )(
(10)
̃ )
+-.
(11)
Per procedere alla stima della varianza asintotica è sufficiente sostituire i valori dei
parametri incogniti con le loro stime ottenute dalla massimizzazione della funzione di
verosimiglianza.
Verifiche formali di ipotesi sui parametri possono essere effettuate attraverso il test di
Wald o il rapporto di verosimiglianza (LRT). Il test di Wald viene spesso definito test t
asintotico poiché è usato negli stessi contesti in cui è usato il test t tradizionale. Se
indichiamo con
e
i valori del vettore parametrico postulati, rispettivamente,
dall’ipotesi nulla
e dall’ipotesi alternativa
e con ̂ e ̂ le stime ottenute
col metodo di massima verosimiglianza nei due casi, allora
̂
̂
,
che, sotto le ipotesi del modello, ha distribuzione Chi-quadrato con
dove corrisponde al numero di vincoli nell’ipotesi.
Si noti che Arbia (1995) analizza il problema della
modello SEM (Spatial Error Model)
gradi di libertà
-convergenza attraverso un
(12)
dove, a differenza del tradizionale modello di -convergenza (5),
, con
. Il modello SEM, dopo alcuni passaggi algebrici, può essere riscritto
come
,
ossia come il modello (6) in cui
e ̃
unitario di dimensione , necessario per stimare l’intercetta, e
con
un vettore
il vettore
contenente il logaritmo del prodotto (o reddito o valore aggiunto) all’inizio del
periodo. Come si vede, anche se i due modelli possono essere formulati in modo
equivalente, il modello SEM, a differenza dl modello (6) impone dei vincoli sui
parametri (si noti che il coefficiente di
è ).
3 Analisi per il Trentino Alto-Adige
Consideriamo ora un’applicazione ad alcuni dati per il TAA. Nel 2005 l’ISTAT ha
pubblicato le stime relative agli anni 1996-2002 del valore aggiunto (VA) e degli
occupati interni nei Sistemi Locali del Lavoro (SLL), disaggregate per macro-branca di
attività economica (Agricoltura, Industria e Servizi) secondo la definizione del SEC95.
Per il TAA sono stati individuati 35 SLL di riferimento in base ai flussi di pendolarismo
lavorativo rilevati con il Censimento della Popolazione del 1991. Ci sono due serie di
dati che interessano in questo contesto:
a) il VA ai prezzi base, al lordo SIFIM, per abitante - Anni 1996-2000.
b) Il VA ai prezzi base, al lordo SIFIM, per sistema locale del lavoro e settore di
attività economica - Anni 1996-2002.
L’Istat nel 2008 ha reso disponibili anche delle nuove serie, relative agli anni 20012005, del VA e degli occupati interni nei SLL individuati dai flussi di pendolarismo
lavorativo rilevati con il Censimento della Popolazione del 2001. L’aggregazione delle
due serie non è possibile data la presenza di difficoltà oggettive, quali la differente
definizione degli SLL (32 SLL in TAA per il periodo 2001-2005) e la differente definizione
di VA (al lordo SIFIM per il periodo 1996-2000).
Data inoltre la crescita molto bassa avvenuta nell’ultimo decennio in Italia, poiché tra
gli scopi del presente lavoro vi è anche quello di validazione di determinati modelli,
l’analisi della convergenza verrà effettuata sulle serie relative agli anni 1996-2002.
3.1 Analisi VA pro-capite 1996-2000
Prendiamo dunque in considerazione la serie del VA aggiunto al lordo SIFIM pro-capite
per gli anni 1996-2000 e studiamo la convergenza media nel periodo. I dati non
elaborati sono riportati nella Tabella A1 in Appendice.
Nella Tabella 1 troviamo i valori di media e deviazione standard per le variabili
Y=Log(VA00 /VA96) e X=Log(VA 96) distinte per provincia e sul totale.
Media
DS
Y=Log(VA00/VA96)
TN
BZ
Tot
0,1866 0,2312 0,2070
0,0969 0,0812 0,0916
X=Log(VA96)
TN
BZ
Tot
9,7370 9,8016 9,7665
0,2268 0.2379 0,2308
Tabella 1. Media e deviazione standard (DS) per le variabili distinte per
provincia e sul totale.
Osservando i valori, notiamo una certa stabilità nelle DS, tuttavia vi sembra essere una
differenza marcata tra le variabili dipendenti nelle due province, come evidenziato
dalle medie. Per verificare se esiste una differenza significativa definiamo una variabile
binaria da inserire nel modello di regressione.
Iniziamo l’analisi adattando il modello (5) dove, in questo caso, la retta da stimare è
,
(13)
In cui, oltre alle già definite variabili Y ed X appare una variabile binaria indicatore della
provincia, ossia
,
Il gruppo di riferimento è dunque costituito dalla provincia di Trento ed il coefficiente
corrispondente alla variabile BZ indica il differenziale di intercetta della provincia di
Bolzano rispetto a quella di Trento. L’output dell’analisi di regressione del modello (13)
è illustrato nelle Tabelle 2 e 3.
Beta
Costante 1,9830
X
-0,1845
BZ
0,0565
ES
t-stat Sig.
0,5883 3,367 0,002
0,0604 -2,052 0,004
0,0276 2,047 0,049
Tabella 2. Stime OLS modello (13): coefficienti (Beta); errore standard (ES).
Variabile dipendente: Y=Log(VA 00/VA96); Variabili indipendenti: X=Log(VA 96)
e BZ = 1 se Bolzano, 0 altrimenti.
SS Df
Regressione 0,0777 2
Residuo
0,2075 32
Totale
0,2852 34
MS
0,0388
0,0065
F
5,9901
Sig.
0,006
Tabella 3. Tavola ANOVA modello (13). Variabile dipendente:
Y=Log(VA 00/VA96); Variabili indipendenti: X=Log(VA 96) e BZ = 1 se Bolzano, 0
altrimenti.
Si noti che tutte le variabili nel modello sono significative; il test F della tavola ANOVA
inoltre accetta il modello come esplicativo del fenomeno. In particolare, il coefficiente
negativo per la variabile indipendente X ci indica la presenza di β-convergenza nel
periodo considerato con una velocità media di convergenza, per T=4, pari a b=0,051.
Per un termine di paragone, citiamo Arbia e Piras (2005) che, per il periodo 1980-1995,
ottengono, con il modello (13), un coefficiente
pari a -0,175 per le 125 regioni
europee.
Il modello (13) ha un R2 corretto pari a 0,23, piuttosto basso. Per capire meglio ciò che
succede conviene ragionare sulla sua formulazione base nell’espressione (4), che
risulta più agevole per capire gli effetti in discussione. Il modello (4) è ottenuto
attraverso la trasformazione non-lineare dei valori originali di VA00 e VA96. Con
un’ulteriore trasformazione è possibile riscrivere il modello (4) come
,
(14)
da cui, anziché procedere alla stima di
direttamente, si stima il parametro
. In tal caso la bontà di adattamento del modello migliora sensibilmente
(R2 corretto pari a 0,85), tuttavia al di là di questo dato i due modelli sono equivalenti e
producono gli stessi risultati (tenuto conto dell’ovvia differenza nel coefficiente di
regressione). Si preferisce pertanto procedere con la formulazione (13) per la diretta
connessione dei valori stimati con il modello teorico sulla β-convergenza.
Nel caso della regressione lineare semplice possiamo fornire una rappresentazione
grafica del fenomeno. La Figura 1 e la Figura 2 riportano i dati, distinti per provincia, e
le rette di regressione per il modello (13) ed il modello (14) rispettivamente.
Y
Tn
0.4
Bz
Bz
Tn
0.3
TnTn
Bz
Bz
Bz Tn
BzBz Tn
Tn Bz Tn Tn
Bz
Tn
Bz
Tn
Bz
Bz
Bz
0.2
Tn
Tn
Tn
0.1
Bz
Tn
Bz
Tn
Tn
Tn
Bz
0.0
Tn
9.4
9.6
9.8
10.0
X
10.2
Figura 1. Grafico a dispersione: Y=Log(VA00/VA96 ); X=Log(VA 96 ).Linea
tratteggiata: provincia di Trento; linea continua: provincia di Bolzano.
Y
10.4
Bz
Bz
Tn
Bz
Bz
10.2
Tn
Tn Tn Bz
Bz
BzBz
Tn
Tn
Tn
Tn
BzTn
BzBz
10.0
9.8
Tn
Tn
Bz
Tn
9.6
Tn
Bz
Bz
Tn
Bz
Tn Tn Tn
Tn
Bz Tn
9.4
9.6
9.8
10.0
10.2
X
Figura 2. Grafico a dispersione: Y=Log(VA 00); X=Log(VA 96). Linea
tratteggiata: provincia di Trento; linea continua: provincia di Bolzano.
Si noti che il coefficiente
ottenuto dalla regressione (13) è pari a 0,8155, ossia pari
a 1 - 0,1845. Come già detto, in tal caso il coefficiente R 2 corretto è pari a 0,85.
Passiamo ora all’analisi dell’insieme dei dati a disposizione tramite il modello con
componente spaziale. Consideriamo l’equazione (6) e scriviamo il modello per esteso
come:
,
(15)
dove, oltre alle già definite, variabili Y, X e BZ, troviamo:
a) la variabile WX che sta ad indicare la componente ottenuta dal prodotto
,
ossia l’effetto spaziale riconducibile alle variabili indipendenti X;
b) la variabile AR che sta ad indicare la componente ottenuta dal prodotto
,
ossia l’effetto auto regressivo spaziale riconducibile alle variabili Y.
Nella Tabella 4 troviamo i risultati della procedura di stima con il metodo di Massima
Verosimiglianza (MV) del modello (15). In tabella sono presenti le stime dei coefficienti
dell’equazione (15), la stima dell’errore standard asintotico, ottenuto dalle formule
(10) e (11), la statistica test di Wald, il LRT ed i relativi livelli di significatività. L ’ultima
riga della Tabella 4 riporta il LRT di comparazione tra i modelli (13) e (15).
Costante
X
BZ
WX
AR
Beta
-1,575
-0,155
0,054
0,347
-0,604
ESA Wald
5,681 -0,277
0,069 -2,256
0,032 1,690
0,547 0,525
0,067 -9,056
Sig.
0,781
0,024
0,091
0,525
0,000
LRT
0,089
5,479
2,842
0,467
0,624
1,106
Sig.
0,764
0,019
0,092
0,493
0,429
0,293
Tabella 4. Stime di MV modello (15): coefficienti (Beta); errore standard
asintotico (ESA) test di Wald LRT. Y=Log(VA00 /VA96); Variabili indipendenti:
X=Log(VA 96); BZ = 1 se Bolzano, 0 altrimenti; AR=Wy.
Analizziamo con ordine i risultati in Tabella 4. L’effetto riconducibile alla β-convergenza
(coefficiente
è ancora significativo, sebbene con valore leggermente ridotto; il
differenziale tra le due province è sostanzialmente immutato, ma l’aumentata
variabilità nelle stime impedisce di giudicare tale effetto significativo; l’effetto spaziale
dovuto a WX non risulta significativamente diverso da 0. Notiamo che i risultati dei test
di Wald ed il LRT sono concordi per quanto riguarda le variabili X, BZ e WX. La
situazione è contrastante per quanto riguarda il coefficiente relativo ad AR che risulta
significativo con il test di Wald mentre non lo è per il LRT. Bisogna tuttavia ricordare
che il test di Wald è ottenuto sulla base della varianza asintotica; nel nostro caso, il
numero limitato di osservazioni (35), per quanto riguarda lo stimatore del parametro
, non permette di ottenere una stima della variabilità accurata, per cui si ritiene più
affidabile il test ottenuto con il rapporto di verosimiglianza.
Osservando i test sui singoli coefficienti, dunque, le componenti spaziali del modello
non risultano significative. Si rammenta che i confronti tra modelli possono essere
opportunamente fatti per mezzo di test congiunti più che attraverso test singoli.
A questo proposito tuttavia si noti che il LRT per l’ipotesi
non è
significativo. Questo test ci permette di comparare i modelli (13) e (15) e il risultato ci
dice che i dati non supportano la necessità di un modello con componenti spaziali.
La presenza di risultati contrastanti tra test potrebbe essere dovuta ad effetti di
confusione conseguenti alla presenza di multi-collinearità nei dati. L’analisi dei
Variance Inflation Factors (VIF) tuttavia non ha evidenziato problemi.
3.2 Analisi VA 1996-2002
Prendiamo ora in considerazione la serie del VA totale al lordo SIFIM per gli SLL per gli
anni 1996-2002 e studiamo la convergenza media nel periodo. I dati sono riportati
nella Tabella A2 in Appendice.
I dati in questo caso dipendono anche dalla dimensione della SLL, come si vede in
Tabella A2 i grossi centri hanno un valore aggiunto notevolmente superiore ad altre
aree. Definiamo in questo caso le variabili Y=Log[(VA00-VA96)/VA96] e X=Log(VA 96). Si noti
che il logaritmo della variazione relativa
è definito solo se quest’ultima
è positiva, di solito questo non è un problema se il periodo di riferimento è
sufficientemente ampio. Nella Tabella 5 troviamo i valori di media e deviazione
standard distinte per provincia e sul totale.
Media
DS
Y=Log[(VA00-VA96)/VA96]
TN
BZ
Tot
-1.1986 -0.9429 -1,0817
0.5593 0.3011 0.4715
X=Log(VA96)
TN
BZ
Tot
5.4576 5,7633 5,5973
1.0647 1,0619 1.0592
Tabella 5. Media e deviazione standard (DS) per le variabili distinte per
provincia e sul totale.
Consideriamo prima di tutto un’analisi dei dati attraverso un modello di regressione
non-spaziale, ossia consideriamo un approccio classico alla β-convergenza adattando il
modello (13) ai dati. La stima è ottenuta tramite OLS. Le Tabelle 6 e 7 riportano
l’output tradizionale dell’analisi di regressione. Ancora, il coefficiente corrispondente a
BZ indica il differenziale (sull’intercetta) di Bolzano rispetto al gruppo di riferimento
Trento.
Il valore di R 2 corretto è pari a 0,145. Il test F della tavola ANOVA accetta il modello
come esplicativo del fenomeno ancorché il singolo coefficiente relativo alla provincia
(BZ) è appena al di sopra del limite standard dello 0,05. Ancora il coefficiente negativo
per la variabile indipendente X, significativamente diverso da 0, ci indica la presenza di
β-convergenza nel periodo considerato.
Beta
ES
t-ratio Sig.
Costante -0,347 0,402 -0,864 0,394
X
-0,156 0,071 -2,186 0,036
BZ
0,303 0,150
2,029 0,051
Tabella 6. Stime OLS modello (13): coefficienti (Beta); errore standard (ES).
Variabile dipendente: Y=Log[(VA00 -VA96)/VA96]; Variabili indipendenti:
X=Log(VA 96) e BZ = 1 se Bolzano, 0 altrimenti.
SS Df
1,476 2
6,082 32
7,558 34
Regressione
Residuo
Totale
MS
0,738
0,190
F
Sig.
3,882 0,031
Tabella 7. Tavola ANOVA modello (13). Variabile dipendente: Y=Log[(VA00VA96)/VA96]; Variabili indipendenti: X=Log(VA 96 ) e BZ = 1 se Bolzano, 0
altrimenti.
Diamo ora una rappresentazione grafica dei risultati; la Figura 3 riporta i dati, distinti
per provincia, e le rette di regressione del modello (13).
Y
Tn
0.5
Bz Tn
Bz
1.0
Tn
Tn
Tn
Bz
Bz Bz
Bz
Bz
Bz
Tn
Tn
Bz
Tn
Tn
Bz
Tn
Tn
Tn Bz
Bz
Bz
Tn
Bz
Tn
Tn
1.5
Tn
Tn
Bz
Bz
2.0
2.5
Tn
3.0
4
5
6
7
8
X
Figura 3. Grafico a dispersione: Y=Log[(VA00-VA96)/VA96]; X=Log(VA 96 ).Linea
tratteggiata: provincia di Trento; linea continua: provincia di Bolzano.
Analogamente a quanto fatto nella sezione 3.1, adattiamo il modello (15) ai dati. Nella
Tabella 8 troviamo i risultati della procedura di stima con il metodo di Massima
Verosimiglianza (MV) del modello (15). In tabella sono presenti le stime dei coefficienti
dell’equazione (15), la stima dell’errore standard asintotico, ottenuto dalle formule
(10) e (11), la statistica test di Wald, il LRT ed i relativi livelli di significatività. L’ultima
riga della Tabella 8 riporta il LRT di comparazione tra i modelli spaziale e non.
Costante
X
BZ
WX
AR
Beta Errore Std.
Wald
1,064
2,566
0,415
-0,172
0,058 -2,947
0,515
0,125
4,116
-0,679
0,450 -1,509
-2,226
0,059 -37,447
Sig.
0,678
0,003
0,000
0,131
0,000
LRT
0,169
7,381
9,404
1,727
5,849
6,725
Sig.
0,681
0,006
0,002
0,189
0,015
0,009
Tabella 8. Stime di MV modello (15): coefficienti (Beta); errore standard
asintotico (ESA) test di Wald LRT. Y=Log[(VA00-VA96)/VA96 ]; Variabili
indipendenti: X=Log(VA 96); BZ = 1 se Bolzano, 0 altrimenti; AR=Wy.
Analizziamo i risultati in Tabella 8. L’effetto relativo alla β-convergenza (coefficiente
è significativo, con valore leggermente incrementato; il differenziale tra le due
province è maggiore rispetto al modello non spaziale e con significatività inferiore
all’1%. L’effetto spaziale dovuto a WX non risulta significativamente diverso da 0
mentre lo è quello relativo ad AR. Notiamo che, a differenza dei risultati in sezione 3.1,
i test di Wald ed il LRT sono concordi su tutte le variabili anche se il test di Wald, per il
caso AR, sembra indicare un problema analogo a quanto rilevato nella sezione
precedente visto il lusinghiero valore della statistica test pari a -37,447.
Si noti inoltre che il LRT per l’ipotesi
ha p-value appena superiore al
valore dell’1% e quindi conferma che i dati in questo caso supportano il modello con
componenti spaziali.
4. Considerazioni conclusive
L’analisi effettuata supporta l’ipotesi di un effetto di convergenza a livello microterritoriale, ossia aree svantaggiate tendono a crescere più velocemente di aree più
ricche. L’effetto è decisamente presente, anche se il periodo esaminato non è molto
ampio. Se si considerano i dati pro-capite, l’analisi suggerisce che il fenomeno sia
generalizzato, senza effetti spaziali, ossia sembra che la vicinanza di aree
maggiormente sviluppate non abbia sostanzialmente effetto sul fenomeno, questo
può essere dovuto al forte pendolarismo che si ha in moltissime zone del TAA verso i
centri maggiori. In particolare, a differenza dei risultati di Bollino e Polinori (2007), che
escludono alcuni gruppi di comuni, l’effetto di β-convergenza è presente in maniera
generalizzata ed uguale per le due province. L’introduzione di una variabile binaria per
la provincia di Bolzano ci indica la presenza di un significativo diverso livello di
partenza; tuttavia, gli effetti di interazione tra provincia e crescita, non sono risultati
significativi.
Se si considera la crescita percentuale in termini di area geografica, l’effetto spaziale
diviene rilevante, i risultati indicano che la vicinanza di aree a maggior crescita ha
effetto contagioso sulla crescita delle aree vicine.
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