Parallelogramma equiesteso all`unione di altri due parallelogrammi.
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Parallelogramma equiesteso all`unione di altri due parallelogrammi.
Parallelogramma equiesteso all’unione di altri due parallelogrammi. Dato il parallelogramma ABCD, scegliere sulla diagonale AC un punto P e costruire il parallelogramma CDEP avente come lati consecutivi i segmenti PC, CD ed il parallelogramma ABFP, avente come lati consecutivi i segmenti AP, AB. Dimostrare che il parallelogramma ABCD è equiesteso all’unione dei due parallelogrammi CDEP, ABFP. Dimostrazione Facciamo riferimento alla figura riportata a lato. Note operative per la costruzione della figura 1) Per costruire il parallelogramma CDEP, una volta fissato il punto P sulla diagonale AC, osservato che DP deve essere una diagonale del parallelogramma da costruire, si devono tracciare dal punto D la retta parallela alla Figura 1-L’unione dei due parallelogrammi CDEP, diagonale AC e dal punto P la retta parallela al ABFP è equiestesa al parallelogramma ABCD. lato CD. Il punto E è l’intersezione delle due Apri la figura con GeoGebra per modificarla rette tracciate. 2) Per costruire il parallelogramma ABFP, visto che BP deve essere una sua diagonale, si devono tracciare per il vertice B la parallela alla diagonale AC e dal punto P la retta parallela al lato AB (è la stessa retta che risulta parallela al lato CD). Il punto F risulta essere l’intersezione delle due rette tracciate. Dimostriamo ora la tesi. Nella costruzione della figura sono stati individuati i due punti G ed H ottenuti dall’intersezione della retta condotta per P parallelamente ai lati CD, AB; in figura sono presenti oltre al parallelogramma ABCD iniziale e ai due parallelogrammi CDEP, ABFP, altri due parallelogrammi: CDGH, ABHG. Osserviamo che i parallelogrammi CDEP,CDGH hanno in comune la base CD e come altezze relative la distanza tra la retta contenente CD e la retta tracciata da P e parallela a CD. Dunque i due parallelogrammi sono equiestesi: CDEP CDGH . Analogamente, i due parallelogrammi ABFP, ABHG, considerati sulla base comune AB, risultano avere altezze congruenti, perché coincidenti con la distanza tra la retta del lato AB e la retta condotta da P parallelamente ad AB. Dunque: ABFP ABHG . Componendo i quattro parallelogrammi indicati sopra otteniamo: ABHG CDGH ABFP CDEP ABCD ABFP CDEP L’equivalenza ottenuta rappresenta la tesi da dimostrare. Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it Pagina 1