Microsoft PowerPoint - Relativit\340 1905-2005

1905 : l’annus mirabilis di
Albert Einstein
enrico giaché del liceo scientifico “Vito Volterra” di Ciampino
Salve
Questa è una lezione sotto forma di conferenza per
onorare Albert Einstein che nel 1905 stupì il mondo
con la Relatività Particolare/Ristretta/Speciale, dieci
anni dopo lo sconvolgerà con la Relatività Generale.
Isaac Newton
…se ho visto più in là di Cartesio è perché mi sono
drizzato sulle spalle di giganti…
Sulle spalle di giganti
A E
H
P
J.C
M
H
M
I
N
G
G
H.A
L
Il mondo prima di Einstein:
Galileo Galilei (1564 – 1642) Italia
Christiaan Huygens (1629 – 1695) Olanda
Isaac Newton (1642 – 1727) Inghilterra
James Clerk Maxwell (1831 – 1879) Inghilterra
Albert Abraham Michelson (1852 – 1931) Polonia/USA
Hendrik Antoon Lorentz (1853 – 1928) Olanda
Henri Poincaré (1854 – 1912) Francia
Hermann Minkowski (1864 – 1909) Lituania
Albert Einstein (1879 – 1955) Germania/Svizzera/USA
Galileo Galilei (1564 – 1642)
y
y’
v
O’
O
x’
x
Galileo Galilei (1564-1642)
La relatività classica: qualsiasi legge del moto è la stessa in
tutti i sistemi di riferimento inerziali
Trasformazioni di Galileo: trasformazioni delle coordinate per
due sistemi di riferimento inerziali S e S’ con S’ che si muove
con velocità v rispetto a S (per t=0 S ed S’ sono coincidenti)
y
y’
S
O
z
v
S’
x
O’
x’
z’
x = x’ + vt; y = y’;
x’ = x - vt; y’ = y;
z = z’; t = t’
z’ = z; t’ = t
Galileo Galilei (1564-1642)
Legge galileiana di composizione delle velocità: u = u’ ± v
dove u’: velocità relativa del punto P rispetto al sistema di
riferimento S’
v: velocità del sistema di riferimento S’ rispetto a quello S
u: velocità assoluta del punto P rispetto al riferimento S
y
y’
v
S
P u’
S’
O
x
O’
x’
Christiaan Huygens (1629 – 1695)
Natura ondulatoria della luce
Isaac Newton (1642 – 1727)
Natura corpuscolare della luce
Meccanica
James Clerk Maxwell (1831 – 1879)
James Clerk Maxwell (1831-1879)
La teoria dell’elettromagnetismo, introdotta da Maxwell nel
1864, prediceva, tra le altre cose, che la velocità della luce c
è una costante universale (c = 1/√ε0µ0 = 2,997925 x 108 m/s).
Poiché in base al principio dei moti relativi della teoria
cinematica newtoniana, le velocità dipendono dal sistema di
riferimento in cui vengono misurate, l’universalità di c
implicherebbe l’esistenza di un sistema di riferimento
privilegiato in cui essa assumerebbe questo valore. In tutti gli
altri sistemi di riferimento, la velocità della luce differirebbe
da c per la velocità di trascinamento. Inoltre, essendo
previsto dalla teoria prima di Huygens e poi di Maxwell, che
la luce si propaga come un’onda, è stata postulata
l’esistenza di un mezzo, l’etere, in cui tale onda si dovrebbe
propagare. Il sistema di riferimento privilegiato è il sistema
di riferimento dell’etere.
ε0 (permittività del vuoto) = 8,85 10-12 C2/Nm2
µ0 (permeabilità del vuoto) = 4π 10-7 Tm/A = 1,26 10-6 Tm/A
Albert Abraham Michelson (1852 – 1931; Nobel 1907)
Si suppose quindi che l’etere riempisse tutto lo
spazio e fosse il mezzo rispetto al quale la luce
avesse velocità c. Ne seguiva quindi che un
osservatore in movimento attraverso l’etere con
velocità v doveva misurare una velocità c’ per un
raggio di luce, dove c’ = c ± v. Era questo risultato
che l’esperimento di Michelson nel 1881 e con
Morley nel 1887 e poi con tanti altri doveva
sottoporre a verifica. L’esperimento non diede mai i
risultati attesi.
Interferometro
Specchio 2
d2
Specchio 1
Specchio semiargentato
d1
v
Velocità dell’interferometro rispetto all’etere
Schermo
Analisi quantitativa1
Facendo riferimento all’interferometro
precedente, osserviamo che in assenza
del vento d’etere il tempo t0 impiegato
dalla luce per coprire la distanza d1 e
per tornare è t0=2d1/c.
Se invece supponiamo che la velocità
del vento d’etere si componga con la
velocità della luce, il tempo t1 è:
d1
d1
2d1c 2d1
t1 =
+
= 2 2=
c −v c +v c −v
c
d1
1
2
v
1−  
c
Da notare che è stata usata la
composizione classica delle velocità.
velocità dell’interferometro rispetto all’etere
Analisi quantitativa2
Calcoliamo ora il tempo t2
impiegato dal raggio luminoso
per coprire la distanza d2 e
ritorno. Questa volta, essendo
la distanza perpendicolare al
vento d’etere, la luce percorre
uno spazio diverso
 vt2 
2
2 d2 +  
 2 
d2
percorso effettivo della luce
velocità dell’inerferometrorispetto all’etere
2
d2
2
 vt2 
2
2 d2 +  
2d
 2
t2 =
= 2
c
c
Vt2/2
Specchio 2
1
2
v
1−  
c
Analisi quantitativa3
La differenza dei tempi impiegati dai due raggi per percorrere le
distanze fra i due specchi è:
∆ t =
t
2
−
t1
=
2
c







d
2
 v 


 c 
1 −
2
d
−
1
 v 


 c 
1 −
2







Ma il risultato di questa formula è fortemente condizionato dalle
distanze d1 e d2, quindi M.&M. procedettero alla rotazione
dell’interferometro di 90° facendo diventare d1 il cammino
percorso dalla luce perpendicolarmente a v e d2 quello percorso
nella direzione di v; indicando con ∆t’ la differenza dei tempi


ottenendo


∆ t ' =
2 
d 2

c 
 v 
1 − 


c



2
−
d
1
 v 
1 − 

c


2





Analisi quantitativa4
Si ha pertanto fra i due intervalli una differenza


d1 + d 2
2  d1 + d 2
∆ ( ∆t ) = ∆t '− ∆t = 
−
2
2
c
v
v
1−  
1−  

c
 
c




=



 = 0 per (v = 0 )

 ≠ 0 per (v ≠ 0 )
Ipotizzando c = 300.000 km/s; v = 30 km/s; d1=d2= 1m
otteniamo ∆(∆t) = 6,67 10-14s che moltiplicato per c dà
∆x = 20µm valore piccolo ma l’interferometro era in
grado di mettere in evidenza differenze molto più
piccole.
Analisi
1.
2.
3.
Il risultato più volte ottenuto fu ∆(∆t)=0 in disaccordo con le
aspettative.
Per giustificare il mancato risultato furono proposte diverse
teorie ad hoc:
la teoria secondo cui la Terra ha velocità nulla rispetto
all’etere, perché il sistema di riferimento dell’etere coincide
con quello terrestre (in contrasto con il fenomeno
dell’aberrazione della luce).
ipotesi della contrazione dei regoli nella direzione del moto
rispetto all’etere e sulla dilatazione dei tempi in misura tale
da poter ottenere gli stessi dati sperimentali (H.A.Lorentz +
George Francis Fitzgerald (Irlanda 1851 – 1901))
non esiste alcun riferimento privilegiato, cioè la luce ha la
stessa velocità c in tutti i sistemi di riferimento inerziali (A.
Einstein).
Hendrik Antoon Lorentz (1853 – 1928; Nobel 1902)
Hendrik Antoon Lorentz
Le trasformazioni delle coordinate di Lorentz per due sistemi
di riferimento inerziali S e S’, con S’ che si muove con
velocità costante v rispetto a S sono state postulate da
Lorentz e da Fitzgerald per spiegare il risultato
dell’interferometro di Michelson
S
S’
y
y’
v
O
z
x
O’
z’
x’
Trasformate L1
Basandoci sull’ipotesi che lo spazio ed il tempo
siano omogenei (tutti i punti nello spazio e nel
tempo siano equivalenti) ci aspettiamo che le
equazioni di trasformazione cercate siano lineari,
cioè equazioni di primo grado
 x' = a11 x + a12 y + a13 z + a14t
 y ' = a 21 x + a 22 y + a 23 z + a 24t


z
'
=
a
31 x + a 32 y + a 33 z + a 34 t

t ' = a 41 x + a 42 y + a 43 z + a 44t
Trasformate L2
Con l’ausilio dei due postulati della relatività e
diverse condizioni al contorno siamo in grado di
determinare i sedici coefficienti amn.
Le equazioni di trasformazione di Lorentz:


 x ' =



 y ' =


 z ' =



 t ' =



−
x



−
1
vt
2



v
c
y
z
t
1
vx
c
−
−



2
v
c



2


=
 x



=
 y


 z =



 t =



x '+



−
1
'
vt
2



v
c
y '
z '
t '+
1
−
vx
c



'
2
v
c



2
Trasformate L3
definendo
v
β = ≤1
c
γ=
1
1− β
2
≥1
 x ' = γ ( x − vt )
 y' = y

 z' = z

v




t ' = γ t −  2  x 

 c  
 x = γ ( x ' + vt ' )
 y = y'

 z = z'

v




 t = γ  t ' +  2  x '

 c  
Albert Einstein (14/3/1879 ore 11 e 30’ – 18/4/1955 ore 1 e 15’; Nobel 1921)
18 marzo 1905 (da Annalen der Physik)
Über einen die Erzeugung und Verwandlung des
Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt.
(Un punto di vista euristico relativo alla generazione
e trasformazione della luce)
Contiene la scoperta dei quanti di luce (fotoni) e
come minore applicazione la spiegazione dell'effetto
fotoelettrico. Per questo lavoro nel 1921 otterrà il
premio Nobel.
euristico: relativo a ipotesi posta a base di una ricerca scientifica
30 aprile 1905
tesi di dottorato
Uber eine neue Bestimmung der
Molekuldimensionen
Su una nuova determinazione delle dimensioni
molecolari
11 maggio 1905 (da Annalen der Physik)
prima memoria sul moto browniano
Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme
geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten
suspendierten Teilchen.
(Sul moto di particelle in sospensione in un fluido in quiete,
come previsto dalla teoria cinetico-molecolare del calore);
contiene la teoria del moto browniano (fenomeno che deve il
proprio nome al botanico scozzese Robert Brown che nel
1827 aveva scoperto che granelli di polline sospesi in
soluzione erano soggetti a un moto continuo e irregolare
visibile al microscopio), mostra una volta di più la reale
esistenza degli atomi e determina in un nuovo modo il
numero di Avogadro.
30 giugno 1905 (da Annalen der Physik)
prima memoria sulla relatività ristretta
Zur Elektrodynamik bewegter Körper.
(Elettrodinamica dei corpi in movimento)
Contiene la teoria della relatività ristretta.
27 settembre 1905
seconda memoria sulla teoria della relatività ristretta
Ist die Tragheit eines Korpers von seinem
Energieinhalt abhangig?
L’inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di
energia?
E=
2
mc
19 dicembre 1905
seconda memoria sul moto browniano
Zur Theorie der Brownschen Bewegug
Sulla teoria del moto browniano
I postulati della relatività ristretta
Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali.
Non esiste un sistema inerziale privilegiato.
La velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore c in tutti i
sistemi di riferimento inerziali in modo indipendente dal moto
del sistema stesso o della sorgente da cui la luce è stata
emessa.
Composizione delle velocità
Nella fisica classica di Galileo e di Newton, come abbiamo già
visto, se abbiamo un treno che si muove con velocità v rispetto
alla Terra e un passeggero sul treno si muove con velocità u’
rispetto al treno, la velocità u del passeggero rispetto alla Terra
è semplicemente la somma vettoriale delle due velocità
u = u’ ± v
Affrontiamo ora lo stesso problema utilizzando le trasformazioni
di Lorentz.
Poiché la velocità è il rapporto tra uno spazio e un tempo, e lo
spazio e il tempo acquistano valori diversi per i due osservatori
nei due sistemi di riferimento, dobbiamo calcolare la velocità
come rapporto tra lo spazio e il tempo misurati sempre dallo
stesso osservatore.
Composizione delle velocità2
Se quindi rispetto a O’ è x’
lo spazio percorso dopo il
tempo t’, si ha: x’ = u’t’
Passando dall’osservatore
O’ all’osservatore O, per le
trasformazioni di Lorentz si
ha:
x − vt
x '=
1 − β
v
t −
t '=
c 2
1 − β
= u 't '
x
2
t −
x − vt
1 − β
2
2
= u '
vx
c 2
1 − β
vx 

= u ' t −

c 2 

u ' vx
+ vt
x = u 't −
c 2
u ' vx
x +
= u ' t + vt
c 2
u 'v 

x  1 +
 = (u ' + v
2
c


(u ' + v ) ⋅ t
x =
u 'v 

 1 +

c 2 

2
x − vt
)⋅
t
Composizione delle velocità3
Se indichiamo con u la velocità del passeggero relativa
alla Terra, la sua posizione rispetto alla Terra è data, in
funzione del tempo, da x = ut, confrontandola con la
precedente otteniamo il Teorema relativistico di
addizione delle velocità o di Einstein/Poincaré (1905):
u '+ v
u =
u'v
1+
2
c
Composizione delle velocità4
u '+ v
u ' v
1 +
c 2
c otteniamo u = c + v = c + v c = c
cv
1+ 2 c + v
c
−c+v v−c
c−v
-c
=
u=
c = −
c = − c
cv c − v
c−v
1− 2
c
c + c 2c
v=c
=
=c
u=
cc 2
1+ 2
c
c − c 2 (c − c ) 2
c−c
=
=
u
c =
c =c
c; v = - c
2
2
cc
c(c − c )
1− 2 c − c
c
u
ex: per u’ =
ex: per u’ =
ex: per u’ =
ex: per u’ =
=
Che cos’è il tempo?
… che cos’è il tempo? Se nessuno me lo chiede, lo so; se
voglio, però, spiegarlo a chi me lo chiede, allora non lo so più.
Comunque, posso dire con sicurezza di sapere che, se non
passasse nulla, non esisterebbe un tempo passato; se nulla
dovesse venire, non esisterebbe un tempo futuro; se non
esistesse nulla, non esisterebbe un tempo presente…
(da “Le Confessioni” di Sant’Agostino 354-430)
…il tempo assoluto, per sua stessa natura, scorre
uniformemente senza alcuna relazione ad alcunché esterno…
(da “Principia” di Isaac Newton)
In base al presupposto di un tempo universale, il concetto di
simultaneità sembrava così chiaro ed evidente che nessuno
prima di Einstein aveva cercato di discuterlo.
Simultaneità (gedanken experimenten di Einstein)
…non vi è infatti dubbio che, se si potesse trasmettere
istantaneamente in tutti i punti dello spazio l'informazione
dell'avvenuta esplosione di due stelle lontanissime l'una
dall'altra, sarebbe chiaro a tutti i possibili sperimentatori,
qualunque sia lo stato di moto del loro sistema di riferimento,
che cosa si intende con la frase "le due stelle sono esplose nello
stesso istante"; avrebbe cioè un eguale senso per tutti il
concetto di simultaneità di due eventi che accadono in punti
lontani dello spazio. Ma, se esistesse la simultaneità assoluta,
sarebbe possibile sincronizzare tutti gli orologi dell'universo, per
quanto in moto relativo e lontani uno dall'altro, e quindi
esisterebbe un tempo assoluto che "scorrerebbe" uguale per
tutti gli osservatori, sia fermi che in moto. Poiché la possibilità di
trasmettere segnali con velocità infinita non esiste,
capovolgendo il ragionamento, si rende plausibile il fatto che il
tempo non "scorre" ugualmente in sistemi di riferimento in moto
l'uno rispetto all'altro.
Concetto di simultaneità
L’assioma della costanza della velocità della luce
permette di stabilire in modo operativo e non
ambiguo quando due eventi sono simultanei o no.
Diciamo che due fenomeni F1 e F2 (che avvengono
nei punti P1 e P2) sono simultanei se la luce che essi
emettono giunge nello stesso istante in un punto P
equidistante da P1 e da P2.
Eventi che sono simultanei in un particolare sistema
di riferimento inerziale possono cessare di esserlo se
la misura avviene rispetto a un diverso riferimento
inerziale.
Simultaneità (esempio)
Un osservatore si trova al buio al centro di un lungo
vagone di un treno in moto con velocità costante. A un
certo istante, utilizzando un’apposita sorgente, l’uomo
invia due pennelli luminosi diretti verso le due
estremità del vagone, sulle cui pareti si trovano dei
dispositivi in grado di segnalare l’arrivo della radiazione
luminosa. Poiché la velocità della luce è costante,
l’onda raggiungerà i due dispositivi segnalatori nello
stesso intervallo di tempo. Per l’osservatore posto
nell’interno del vagone i due eventi, “luce che
raggiunge la testa” e “luce che raggiunge la coda”
avvengono simultaneamente.
Simultaneità (segue esempio)
Consideriamo ora il punto di vista dell’osservatore
posto a terra con il proprio orologio mentre passa il
treno. Anche per lui la luce si muove in entrambe le
direzioni con velocità costante; però, nel valutare la
stessa sequenza degli eventi, nota che, mentre la
parete posteriore del vagone si avvicina verso la luce,
quella anteriore se ne allontana. Per il secondo
osservatore, quindi, i due eventi, “luce che raggiunge
la testa” e “luce che raggiunge la coda”, non sono
simultanei.
Simultaneità
Sequenza
degli
eventi
visti
dall’osservatore posto sul treno.
Poiché le radiazioni luminose
viaggiano con la stessa velocità
finita in entrambe le direzioni, i due
eventi, corrispondenti, all’arrivo del
segnale sulle pareti laterali del
vagone, sono simultanei.
Sequenza degli eventi visti
dall’osservatore posto a terra.
Poiché le radiazioni luminose
viaggiano con la stessa velocità
finita in entrambe le direzioni, i due
eventi non sono simultanei, in
quanto la luce arriva prima sulla
parete posteriore che le viene
incontro.
Simultaneità (esempio numerico)
Consideriamo l’esempio del treno e calcoliamo l’anticipo con cui
l’osservatore posto a terra vede il segnale luminoso emesso dalla sorgente
colpire la parete che si muove verso la luce, nell’ipotesi che la distanza fra le
due pareti sia ∆x’ = x’2-x’1= 30 m e che la velocità del treno sia v=20m/s.
vx 2 '
vx '
v ( x2 '− x1 ' )
t2 '+
t1 ' + 21
2
2
t2 ' − t1 '
c
c
c
t
=
t1 =
t2 − t1 =
+
2
2
2
2
2
v
v
v
v




1−  
1−  
1−  
1−  
c


c
c
c
Nel sistema di riferimento O’ abbiamo t2’ = t1’ e x2’ – x1’ = 30 m
20
I due eventi non sono simultanei per
l’osservatore a terra.
t 2 − t1 =
(3 . 10 )
8 2
30
400
1−
9 . 10 16
≅ 10
− 14
s
Contrazione delle lunghezze
La lunghezza di un corpo è più grande
quando esso è in riposo relativamente
all’osservatore (lunghezza propria).
Quando il corpo si muove con una velocità v
rispetto all’osservatore la sua lunghezza
misurata si contrae nella direzione del moto
del fattore √(1-v2/c2), mentre le sue dimensioni
perpendicolari alla direzione del moto non
vengono alterate.
Dimostrazione1
Immaginiamo un’asta in riposo lungo l’asse x’ del sistema di
riferimento S’. Le posizioni misurate dei suoi estremi sono x’2 e
x’1 così la sua lunghezza a riposo è ∆x’ = x’2-x’1. Qual è la
lunghezza dell’asta misurata dagli osservatori nel riferimento S
per il quale l’asta si muove con velocità relativa v?
x2 ' =
x2 − vt2
1− β
2
x1 ' =
x1 − vt1
1− β
2
(
x2 − x1 ) − v(t2 − t1 )
x '− x ' =
2
1
1− β 2
Nel sistema di riferimento S abbiamo t2=t1→∆t=0, otteniamo
quindi
∆x
'
∆x =
→ ∆x = 1 − β 2 ∆x'
1− β 2
Contrazione delle lunghezze ∆x
< ∆x’
Dimostrazione2
Altrimenti si può svolgere il seguente calcolo, più lungo ma non
più difficile:
x1 = γ ( x1 ' + vt1 ' ) → x 2 = γ ( x 2 ' + vt 2 ' ) → ∆ x = x 2 − x1 = γ [( x 2 ' − x1 ' ) + v (t 2 ' − t1 ' )] →

vx 2  
vx 1   

 v ( x 2 − x1 )
∆x = γ ∆ x '+ vγ t −
− t −
→ ∆ x = γ ∆ x ' + v γ 2 (t − t ) − v γ 2




2

c2 


1
 
c 2   

vv
2

2  v∆x 
2
c
∆ x + v γ  2  = γ ∆ x ' + v γ ∆ t → ∆ x 1 +
2
v
 c 
 1−
c2


v2 v2
1− 2 + 2
c
c
∆x 
2
v

 1− 2
c

2
1



2
 = γ ∆ x ' + v γ ∆ t → (∆ t = 0 ) →




 = γ∆ x ' → γ 2 ∆ x = γ∆ x ' → ∆ x = ∆ x ' → ∆ x = 1 − β 2 ∆ x '
γ



∆ x < ∆ x ' contrazione delle lunghezze
c2

Dilatazione dei tempi1
Un orologio va al ritmo più veloce (impiega meno tempo a
compiere un giro, ex. 1 giro in 60 secondi) quando è in
riposo rispetto all’osservatore. Quando si muove con
velocità v rispetto all’osservatore, il suo ritmo visto
dall’osservatore, subisce un rallentamento (impiega più
tempo a compiere un giro, cioè quando l’orologio
dell’osservatore segna 60 vede l’altro segnare di meno) di
un fattore
2
 v 
1 − 

c


Si definisce tempo proprio l’intervallo di tempo misurato nel
sistema di riferimento in cui l’orologio è in quiete.
Intervallo di tempo1
Immaginiamo un passeggero che si y y’
B
A
muove con velocità uniforme v rispetto
alla terra. L’esperimento consiste
nell’inviare un fascio di luce su uno
v
d
specchio posto sul soffitto e misurare il
tempo che occorre alla luce per
andare e tornare al suo punto di
partenza. Il passeggero, che ha un
A≡C
C
orologio da polso, vede il raggio di
o’
x’
luce seguire un percorso verticale da A
a B a C e registrerà l’evento con il suo o
x
orologio. Questo è un intervallo di
Evento visto da o’
tempo proprio, misurato con un solo
orologio posto in una sola posizione, in
2 AB
quanto la partenza e l’arrivo del
'
∆t =
= ∆ t0
segnale luminoso avvengono nello
c
stesso posto.
(
)
Intervallo di tempo2
Un altro osservatore nel
riferimento O, vede il treno e
l’orologio muoversi verso destra
durante questo intervallo. Egli
misurerà questo intervallo dalle
letture di due orologi stazionari,
uno nella posizione in cui è
cominciato
l’esperimento
e
l’altro nella posizione in cui è
terminato l’esperimento. Così
l’osservatore sulla terra trova
che la luce percorre uno spazio
maggiore di quella misurata dal
passeggero.
B
d
A
H
Visto da O
A
C
C
Intervallo di tempo3
(calcolo)
Visto da O:
B
AB+ BC
2(BH)
; ∆t' =
c
c
(BH)2 = ( AB)2 −( AH)2 = (BC)2 −(HC)2
∆t =
d
2(BH)
2
2
∆t'
2(BH) 2 ( AB) −( AH)
c
=
=
=
∆t AB+ BC AB+ BC
2( AB)
c
∆t'
=
∆t
( AB)2 − ( AH)2 =
( AB)2 ( AB)2
2
∆t'
v
= 1−  →∆t =
∆t
c
∆t > ∆t' →∆t > ∆t0
2
A
H
Visto da O
2
 AH
 v ∆t' / 2 
1−  = 1−

AB
c
∆
t
'
/
2
 


∆t'
2
v
1− 
c
C
= γ∆t'
A
C
Dilatazione del tempo4
Il tempo misurato da un osservatore in moto è
maggiore del tempo misurato da un osservatore in
quiete rispetto all’orologio.
Gli orologi in moto rispetto al sistema di riferimento
dell’osservatore risultano più lenti degli orologi in
quiete.
Tempo proprio: è il tempo misurato dall’osservatore
nel proprio sistema di riferimento, in cui l’orologio è in
quiete, cioè l’osservatore vede accadere gli eventi
nella stessa posizione.
La relatività afferma che gli oggetti che si muovono
velocemente “invecchiano” più lentamente di quelli in
stato di quiete.
Muoni1
I muoni (o mesoni µ) si formano continuamente nell’alta
atmosfera come conseguenza degli urti tra i nuclei delle
molecole dell’aria con i raggi cosmici e piovono verso la
superficie terrestre con velocità di 0,998 c. I muoni sono instabili
e decadono in un tempo proprio ≈ 2,2.10-6s (determinato da
Franco Rasétti (1901-2001) nel 1941). In questo intervallo di tempo
percorrono uno spazio che è circa S = v0t = (0,998c)(2,2 10-6) =
659 m. Poiché i muoni si muovono a quote di circa 10 Km
nessuno di essi dovrebbe raggiungere la superficie terrestre, ed
invece la raggiungono. Questo è dovuto al fatto che per un
osservatore sulla terra il tempo di vita del muone è t = γ t0
s = vt = γ v t0
1
−6
S=
 0,998 c 
1− 

c


2
⋅ 0,998 c ⋅ 2,2 ⋅10
≅ 10,4 Km
Muoni2
Lo stesso fenomeno può essere spiegato attraverso la
contrazione delle distanze: per l’immaginario osservatore a
cavallo del muone l’orologio del muone misura l’intervallo di
tempo proprio (t0 = 2,2 10-6 s), ma lo spazio percorso dal muone
è più breve in conseguenza del fenomeno della contrazione
delle lunghezze. Con γ = 15,8 (v = 0,998 c) un tratto lungo 10
Km nel sistema di riferimento terrestre se misurato
dall’osservatore sul muone risulta: L = L0/γ = 10/15,8=0,633 Km
= 633 m. Il muone percorre questa distanza in un intervallo di
tempo t=L/v=633/(0,998 3 108) = 2,11 10-6 s che è
approssimativamente la vita media del muone nel suo sistema
di riferimento.
Quindi può raggiungere la superficie terrestre.
x
x
x
G.P.S. (global position sistem)
ex: ogni satellite del G.P.S. viaggia a circa 14.000 Km/h il che
significa che l’orologio atomico che ha a bordo rallenta il suo
passo rispetto agli orologi sulla Terra di un fattore γ = √1-(v/c)2
che è di circa 7 µs al giorno.
v = 14 . 000 km / s = 3 , 8 km / s 
 ⇒ 1 −
c = 300 . 000 km / s

 v 
1 −  
 c 
2
≅ 8 , 5 . 10
− 11
s
quindi l’orologio sul satellite rallenta di 8,5 10-11s per ogni
secondo di quello terrestre che diventano
∆t = 8,5 10-11 60 60 24 = 7,3 µs/d
con un potenziale errore sulla posizione di
∆x = c ∆t = 3 108 7,3 10-6 = 2.190 m
Le cose si complicano con la Relatività Generale
x
x
x
x
x
x
x
x
Paradosso dei gemelli1 (gedanken experimenten)
Nel 1911 Einstein in un suo scritto aveva osservato che: “se un
organismo vivente, dopo un volo arbitrariamente lungo ad una
velocità approssimativamente uguale a quella della luce,
potesse ritornare nel suo luogo di origine, egli sarebbe solo
minimamente alterato, mentre i corrispondenti organismi rimasti,
avrebbero già da tempo dato luogo a nuove generazioni”.
Se l’organismo stazionario è un uomo e quello viaggiante è un
suo gemello, quando il viaggiatore ritorna a casa ritrova il
fratello molto più invecchiato rispetto a lui.
Il paradosso consiste nel fatto che, per la relatività, ciascuno dei
gemelli potrebbe considerare l’altro come viaggiatore, e quindi
ciascuno dovrebbe trovare l’altro più giovane, il che è una
contraddizione logica.
Paradosso dei gemelli2
Cerchiamo ora di spiegare questa apparente contraddizione
logica. Si supponga che, ad un certo istante, una persona che si
chiama Pietro, parta dalla Terra per raggiungere una data stella
ad una velocità prossima a quella della luce, lasciando sulla
Terra il fratello gemello Simone ad aspettarlo. Per quanto visto
prima, ciascuno vedrà l’orologio dell’altro andare più lentamente
del proprio e quindi vedrà l’altro invecchiare più lentamente di se
stesso. Nel momento in cui Pietro farà ritorno sulla Terra,
ciascuno dei due gemelli troverà l’altro, invecchiato meno di se
stesso: una evidente contraddizione. Tutto questo discorso è
valido per sistemi di riferimento inerziali, ma questa premessa
non è rigorosamente vera. In realtà, Pietro per partire dalla Terra
ha bisogno di una accelerazione, di una seconda accelerazione
ha bisogno quando deve invertire la rotta per tornare indietro, e
di una terza al ritorno per potersi fermare. Quindi il suo sistema
di riferimento non si muove sempre di moto rettilineo ed
uniforme rispetto a quello terrestre.
Paradosso dei gemelli3
Esempio numerico:
Pietro viaggia alla velocità v = 0,8c rispetto alla Terra
ed ipotizzando che nel suo sistema di riferimento il
viaggio dura sei anni, troviamo che nel sistema di
riferimento terrestre dura invece dieci anni .
∆t = γ∆t ' =
6
 0,8c 
1− 

 c 
2
= 10 anni
Il fatto sorprendente è che anche a livello biologico
Pietro è invecchiato solo di sei anni mentre Simone di
dieci.
Paradosso dei gemelli4
ex.: Con quale velocità ci si deve spostare per andare e tornare da una stella
distante 100 anni luce in soli 10 anni (tempo dell’astronauta)?
100 anni luce è la distanza misurata nel sistema di riferimento Terra (S).
10 anni è il tempo misurato nel sistema di riferimento astronauta (S’).
Dal punto di vista del viaggiatore (contrazione delle distanze):
distanza
∆t'=
velocità
∆x' ∆x
=
=
v
v
v

2
1−
'
∆
t


c

 = 
 v
 ∆x 


v
1−  
c
2
∆t' 1
→
=
v
∆x
v
1−  
c
2
→
2

2

c2 − v2
2 2 ∆t' 
 =
→
c
v
+ v2 = c2


2 2
c v

 ∆x 


  ∆t' 2

v2c2
+ 1 = c 2 → v =

  ∆x 



c
 c∆ t ' 
1+ 

 ∆x 
2
=
c
 ∆t' 

1 + 
 ∆x c 
2
=
c
 10 
1+ 

 200 
2
= 0 , 99875 c
Per la popolazione terrestre il viaggio è durato
∆t =
∆x
200 c
=
= 200 , 25 = 200 anni , 90 giorni , 2 ore , 0 secondi
v
0 , 99875 c
, 20 centesimi
Paradosso dei gemelli5
Lo stesso problema visto dalla Terra (dilatazione dei
tempi):
∆ t = γ∆ t ' =
∆t '
v
1−  
c
2
=
10
 0,99875c 
1− 

c


2
= 200,06
Insuperabilità della velocità della luce
Nel sistema S’ un segnale viene
lanciato da O’ all’istante t’=0 nel verso
negativo dell’asse x’, con velocità w>c.
Dopo un tempo t’1 il segnale ha
raggiunto una posizione di ascissa
x’1=-wt’1 dove viene raccolto da un
osservatore P di S. Questo ricevimento
che per gli osservatori di S’ ha
coordinate
(x’1,0,0,t’1)
per
gli
osservatori di S ha coordinate
(x1,0,0,t1) che si ricavano dalle
trasformazioni di Lorentz;
S
y
y’
S’
v
P w
O
x
O’
w
x’
x1
x1’
Insuperabilità
Il segnale che gli osservatori di S hanno visto emettere
in O all’istante t=0 (dato da
)
 v 
t = γ t'+ 2 x' ) cont' = 0 e x' = 0
 c

viene percepito in x1 in un istante precedente.
x1 =
x '1 + vt '1
v
1−  
c
2
=
− wt '1 + vt '1
v
1−  
c
2
=−
(w − v ) ⋅ t '1
v
1−  
c
2
< 0;
vw 

v
v
 1 − 2  ⋅ t '1
t '1 − 2 wt '1
t '1 + 2 x '1
2
c
c

c
c
t1 =
=
= 
< 0 per w >
2
2
2
v
v
v
v
1−  
1−  
1−  
c
c
c
Insuperabilità2
Supponiamo ora che l’osservatore di S ricevuto il
segnale in x1 all’istante t1, ne restituisca
immediatamente un altro viaggiante verso O con la
velocità w, rispetto a S. Questo secondo segnale che
viaggia con la legge oraria x = x1 + w(t-t1) giunge in O
all’istante
 vw 
1 − 2 t '1
(w − v )t '1 = 1 − vw −  w − v  t '1 = 1 − cw − 1 + v  t '1 =
x1 
c 
t2 = t1 + =
−


 c 2  w 
2
2
2
2
w
c2
w




v
v
v
v
1−  
w 1−  
1−  
1−  
c
c
c
c
1 w
 − 2
w c 
c 2 − w2
vt '1
=
< 0 per w > c
2
2
2
wc
v
v
1−  
1−  
c
c
vt '1
Quindi il segnale emesso all’istante t’=0 ritorna (per
w>c) in O prima di essere stato emesso.
L’effetto precede la causa!!! MAI
Albert Einstein
…la Relatività Ristretta poteva formularla chiunque
altro…
ma chi!!!
Henri Poincaré (1854-1912)
forse Albert Einstein pensava
a Henri Poincaré
La passeggiata è finita
...ma c’è ancora tanto lavoro da fare:
il 25/11/1915 scriverà
R µν
1
− g µν R = kT µν
2
equazione di campo
GRAZIE
Herman Minkowski (1864 – 1909)
Geometria a quattro dimensioni
Le trasformazioni delle coordinate spazio temporali possono
essere messe in una forma matematica elegante dovuta a
Minkowski. Egli introduce uno spazio a quattro dimensioni, tre
spaziali e uno temporale. La particolarità di questo spazio è che
la distanza “s” tra due punti non è data dal Teorema di Pitagora,
che nello spazio ordinario è s2=x2+y2+z2, ma da una forma un
po’ diversa: s2=x2+y2+z2-c2t2. In questa metrica spaziotemporale le trasformazioni di Lorentz sono invarianti:
x2+y2+z2-c2t2= x’2+y’2+z’2-c2t’2;
altro punto a favore di questa metrica è che sono invarianti
anche le equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico.
Herman Minkowski (dimostrazione)
2
vx 

2
x ' 2 + y ' 2 + z ' 2 − c 2 t ' 2 = γ 2 ( x − vt ) + y 2 + z 2 − c 2γ 2  t − 2  =
c 

 2 v 2 x 2 2 tvx 
γ (x + v t − 2 vxt ) + y + z − c γ  t + 4 − 2  =
c
c 

γ 2v 2 x 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
γ x + γ v t − γ 2 vxt + y + z − c γ t −
γ
2 tvx =
+
2
c
c2  2
v2x2 
2 2
2 2
2
2


x
v
t
c
t
y
z
+
−
−
+
+
=
2
2 
2 
c −v 
c 
2
2
2 2
2
2
2
2
c2x2
c 2v 2t 2
c 4t 2
v2x2
2
2
y
z
+
−
−
+
+
=
c2 − v2 c2 − v2 c2 − v2 c2 − v2
c 2 x 2 − v 2 x 2 c 2v 2t 2 − c 4t 2
2
2
y
z
+
+
+
=
2
2
2
2
c −v
c −v
(c 2 − v 2 )x 2 + y 2 + z 2 −  c 2 − v 2  c 2 t 2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 ....... c.v .d .
 c2 − v2 
(c 2 − v 2 )


Herman Minkowski (nel 1908)
Rappresentazione geometrica dello spazio-tempo
Riprendiamo e modifichiamo le trasformazioni di
Lorentz definendo la velocità w=ct e β=v/c

v
−
x
 ct

x − vt
 c  = x − βw
=
 x' =
2
2
1− β 2

v
v
1−  
1−  

c


c


v
vx

ct
−
c
 2 x
−
t
2

 c  = w − βx
c
=
=>
=
=
t
'
ct
'
w
'

2
2
2
1
−
β
v
v





1−  
1−  

c
c

v
x
'
+
 ct'

x'+vt'
 c  = x'+ βw'
=
x =
2
2
1− β 2

v
v
1−  
1−  

c
 
c


v
vx'

ct
c
'
+
 2  x'
t '+ 2

 c  = w'+ βx'
c
t
=
=>
ct
=
w
=

2
2
2
−
1
β
v
v





1−  
1−  

c
c
H.M.
Notare la bellezza e la simmetria delle equazioni:
x − βw

x
'
=

2
1− β


w' = w − βx
2

1− β

x '+ β w '

x
=

2
1− β


 w = w '+ β x '
2

1− β

H.M.
Introduciamo un nuovo sistema di riferimento con gli assi x e w ortogonali tra loro:
w = ct
dx
v
dx
dx
dx
dt
tg ϕ 1 =
=
=
=
= ≤ 1 → ϕ 1 ≤ 45 °
c
c
dw d (ct ) cdt
dw d (ct )
dt
c
c
tg ϕ 2 =
=
=c
=
= ≥ 1 → ϕ 2 ≥ 45 °
dx
dx
dx dx v
dt
linea di universo della luce
S
linea di universo di una particella
ϕ1 =45°
ϕ2 =45°
O
x
H.M.
Consideriamo ora il riferimento accentato S’ che si
muove rispetto a S con velocità v lungo l’asse comune
x-x’. L’asse delle ordinate w’ è dato da x’ = 0:
w'=
w − βx
1− β
2
v
v2
= 0 ⇒ w = β x = vt =
t
c
c
 v2
d 
c
dw

tg ϕ =
=
dx
d (vt
2

v
t 
dt
v
 = c
=
< 1 ⇒ ϕ < 45 °
)
vdt
c
quindi l’angolo ϕ tra w e w’ è compreso tra 0° e 45°.
H.M.
L’asse delle ascisse x’ è dato da w’ = 0:
w'=
w − βx
1− β
2
v
v2
= 0 ⇒ w = βx =
vt =
t
c
c
2
 v2 
v
d 
t 
dt
c
dw
v


c
tg ϕ =
=
=
=
< 1 ⇒ ϕ < 45 °
dx
d (vt )
vdt
c
Quindi le trasformazioni di Lorentz determinano una
trasformazione da un sistema ortogonale ad una non
ortogonale.
H.M.
(x=0)
w
(x’=0)
w’
x’
(w’=0)
ϕ
ϕ
0=0’
x (w=0)
H.M.
w2-x2=1
w=ct
w’ (x’=0 => x=βw)
x2-w2=1
x’ (w’=0 => w=βx)
P2
x2-w2=1
P1
w2-x2=1
H.M.
Il punto spazio-temporale P1 è l’intersezione del ramo
destro dell’iperbole x2–w2 =1 con l’asse x’ rappresentato
dall’equazione w= βx.
2
2

x
w
−
=1 
2
2
2
x − w = 1 


β
w

2
2
2 2
2
P1 
⇒
⇒   − w = 1 ⇒ w − w β = β ⇒ w = ±
w
2
x
=
β
β
1
−



w = βx


β

 x2 − w2 = 1  2
1
2
P1 
⇒ x − (βx ) = 1 ⇒ x = ±
1− β 2

w = βx
x1 =
1
1− β
2
; w1 =
β
1− β 2
Sostituite nelle 66 danno l’unità di lunghezza (x’=1).
H.M.
Analogamente il punto spazio-temporale P2 è
l’intersezione del ramo superiore dell’iperbole w2-x2=1
con l’asse w’ rappresentato da x=βw. Quindi P2 giace su
entrambe queste curve e le sue coordinate sono:
2
2

w
x
−
=1
2
  x  2
w2 − x2 = 1

2
21− β
P2 
⇒
⇒    − w = 1 ⇒ x 
x
2
w
=
β
β
β
x
=
w







β


β
 = 1 ⇒ x = ±
1− β 2

 2
w2 − x2 = 1
1
2
P2 
⇒  w − (β w ) = 1 ⇒ w = ±
1− β 2

 x = βw
β
1
x2 =
; w2 =
1− β 2
1− β 2
Sostituite nelle 66 danno l’unità di tempo (w’=1).
Le iperboli vengono chiamate curve di calibrazione
H.M.
Osserviamo gli eventi da due riferimenti inerziali S ed S’
di cui conosciamo la velocità relativa che ci permette di
ricavare ϕ=arctg(v/c) ed attraverso le curve di
calibrazione ci permette di determinare gli intervalli di
tempo e di lunghezza unitari.
H.M.
w2-x2=1
w=ct
w’
x2-w2=1
x’
1
1
x2-w2=1
1
1
w2-x2=1
X
H.M. (simultaneità)
Misurati da S’ due eventi sono simultanei se hanno la
stessa coordinata temporale w’.
Gli eventi P1 e P2 sono simultanei in S’ e non in S,
mentre Q1 e Q2 sono simultanei in S e non in S’.
w
w’
w2 ........................................... P2
w1 ............................
P1
w’
x’
..................Q1...........Q2
ϕ
ϕ =arctg(v/c)
x
Contrazione delle lunghezze (S/S’)
Un’asta di un metro è in riposo in S, con il passare
del tempo, la linea di universo di ciascun estremo
descrive una retta verticale parallela all’asse w.
Per ottenere la lunghezza dell’asta in S’, in cui
l’asta si muove, dobbiamo ottenere la distanza in S’ fra
gli estremi misurati simultaneamente. Questa sarà la
distanza in S’ delle intersezioni delle linee di universo
con l’asse x’, poiché questi punti d’intersezione
rappresentano eventi simultanei in S’.
La lunghezza dell’asta in movimento in S’ è minore
di un metro.
H.M. (contrazione delle lunghezze S/S’)
Si noti dalla figura che è il disaccordo attorno alla
simultaneità degli eventi che conduce ai differenti valori
misurati delle lunghezze. Infatti i due osservatori non
misurano la medesima coppia di eventi.
w
w’
P4
........................P1................ P2
P3
x’
0,87
ϕ
ϕ
1
x
Contrazione delle lunghezze(S’/S)
La natura reciproca di questo risultato è
mostrato dalla prossima figura dove
abbiamo un’asta di un metro in riposo in S’
e le linee di universo dei suoi estremi sono
paralleli a w’. In S, dove l’asta si muove
verso destra, la lunghezza misurata è la
distanza in S fra le intersezioni di queste
linee di universo con l’asse x. La lunghezza
dell’asta
(in
movimento)
in
S
è
evidentemente minore.
H.M. (contrazione delle lunghezze S’/S)
w
w’
x’
1
0
0,87
x
Dilatazione del tempo (S/S’)
Un orologio si trovi in riposo nel
riferimento S. La linea verticale
è
la
linea
di
universo
corrispondente a tale orologio.
T1 e T2 sono gli eventi
corrispondenti ai segnali forniti
dall’orologio ipotizzando unitario
l’intervallo di tempo fra i due
segnali. In S’ questo orologio si
muove verso sinistra in modo
che esso si trova in luoghi
differenti ogni volta che emette
un segnale. Per misurare
l’intervallo di tempo fra gli eventi
T1 e T2 in S’ usiamo due orologi
differenti, uno in T1 e l’altro in T2.
T2
1
1,
T1
Dilatazione del tempo (S/S’)
La differenza fra le letture di
questi orologi in S’ è la
differenza in tempo fra T1 e T2
misurata in S’. Dal grafico
vediamo che questo intervallo è
più
grande
dell’unità.
Di
conseguenza, dal punto di vista
di S’, l’orologio di S in
movimento sembra rallentato.
Durante l’intervallo di tempo che
l’orologio S ha misurato come
unitario,
l’orologio
S’
ha
misurato un tempo più grande.
T2
1
1,
T1
Dilatazione del tempo (S’/S)
La natura reciproca del risultato
della dilatazione dei tempi è
messo in luce dal grafico.
T2
1,
T1
1
Separazione spazio-temporale degli eventi
Un evento è rappresentato da
un punto, un fenomeno è
rappresentato da una linea
(linea di universo del fenomeno
considerato). Una retta parallela
all’asse
delle
ordinate
rappresenta un punto in quiete
nel sistema di riferimento
considerato. Qualunque corpo
che si muove di moto uniforme
ha come linea di universo una
retta con pendenza maggiore di
45°.
ct
c
c
tg ϕ =
x
=
x
t
=
v
≥ 1 → ϕ ≥ 45 °
linea di universo di un segnale di luce
w
2
futuro
B
C
C
3
presente
3
presente
45°
45°
o
A
1 passato
x
Separazione spazio-temporale degli eventi
Qualunque evento situato nel
cono 1 o nel cono 2 possono
essere connessi ad O da un
segmento avente pendenza
maggiore di 45° e quindi
l’evento A può essere la causa
di O mentre l’evento B può
essere l’effetto di O. I punti C
non possono essere legati a O
da relazione di causa-effetto e
può essere considerato il
presente di O o l’altrove. Un
evento che si trovi nel presente
può accadere prima di O,
contemporaneamente o dopo
ma O non può esserne né la
causa né l’effetto.
linea di universo di un segnale di luce
w
2
futuro
B
C
C
3
presente
3
presente
45°
45°
o
A
1 passato
x
La passeggiata è finita
ma c’è ancora tanto lavoro da fare:
25/11/1915
R µν
1
− g µν R = kT µν
2
equazione di campo
GRAZIE