part 1 - Dipartimento di Economia

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Corso di Politica Economica
Lezione 10: Introduzione alla Teoria dei Giochi
David Bartolini
Università Politecnica delle Marche
(Sede di S.Benedetto del Tronto)
[email protected] (email)
http://utenti.dea.univpm.it/politica
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Introduction
nell’analisi dell’economia di puro scambio, abbiamo utilizzato il
concetto di equilibrio Walrasiano, in cui gli agenti non tengono in
considerazione l’azione degli altri agenti
a parte i casi estremi di concorrenza perfetta e monopolio, gli agenti
sono influenzati nelle loro scelte dalle azioni degli altri agenti (es.:
voto strategico)
per cui dobbiamo considerare il comportamento strategico degli
agenti:
1
2
agenti massimizzano il loro “payoff” (comportamento razionale)
agenti si devo formare delle aspettative su come giocheranno gli altri
(beliefs)
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Possiamo avere diverse situazioni a seconda della risposta che diamo alle
seguenti domande:
gli agenti scelgono le loro strategie in maniera simultanea o
sequenziale?
di quale informazione gli agenti dispongono (su loro stessi e sugli
altri)?
l’interazione si ripete nel tempo?
etc.
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Game Theory
La Teoria dei Giochi ci permette di analizzare queste situazioni fornendo:
1
uno schema teorico per interpretare (descrivere) l’interazione fra gli
agenti economici
2
dei concetti di equilibrio: che ci permettono di dire come si
comportano gli agenti economici a seguito di queste interazioni
La situazione nella quale avviene l’interazione è chiamata GIOCO
le “norme” che regolano questa interazione sono le REGOLE del gioco
per cui gli agenti che pongono in essere delle azioni all’interno del
gioco sono chiamati GIOCATORI
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John F Nash Jr
Professore nel dipartimento di
Matematica a Princeton University
premio Nobel 1994
buona parte della moderna teoria
economica si basa sul suo concetto di
equilibrio
tesi di dottorato 28 pagine !!
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Cenni storici
Ci sono due filoni della teoria dei giochi che si sono sviluppati
parallelamente:
giochi cooperativi: vi è la possibilità di raggiungere accordi vincolanti
(binding agreements)
giochi non-cooperativi: gli agenti scelgono le strategie in maniera
unilaterale
Noi ci focalizzeremo sui giochi non-cooperativi, quindi ora vediamo come
si è sviluppata questa letteratura:
von Neumann - Morgenstern (1944) primo libro sulla teoria dei
giochi, concetto di maxmin, solo per giochi a somma zero e concetto
di strategie miste (mixed strategies)
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Nash(1951) fornisce un concetto di equilibrio ad una vasta gamma di
giochi strategici (non solo a quelli a somma zero, ma comunque
limitato a giochi simultanei)
Reinard Selten(1965) raffina il NE considerando la possibilità che gli
agenti scelgano un’azione in maniera sequenziale (perfezione nei
sottogiochi)
Thomas Schelling (1960) The strategy of conflict
Harvard University Press
John Harsanyi(1967) raffina il NE introducento informazione
incompleta tramite la regola di Bayes
Nash-Harsanyi-Selten received Nobel prize in 1994
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Teoria dei giochi non-cooperativa
gli agenti scelgono unilateralmente le strategie che massimizzano il loro
payoff individuale
Distinguiamo 4 tipi fondamentali di giochi:
1 informazione completa
statici
dinamici
2
informazione incompleta
statici (strategic games)
dinamici
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Concetti di equilibrio
Games
static
dynamic
complete information
incomplete information
Nash Equilibrium (NE)
Bayesian Equilibrium (BE)
Subgame Perfect Eq. (SPE)
Perfect Bayesian Eq. (PBE)
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Giochi statici (strategici) con informazione completa
Per prima cosa bisogna definire il gioco: le regole del gioco
Definizione di gioco strategico
1
un insieme di giocatori i = 1, . . . , n
2
per ogni giocatore, un insieme di azioni possibili ai
3
per ogni giocatore, un insieme di preferenze sugli effetti delle azioni,
ui , u−i
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Strictly competitive Games
In questa categoria ricadono tutte le situazioni in cui un azione che
beneficia un individuo deve necessariamente danneggiare un altro
Esempio: Giochi a somma zero
partita di calcio
partita a scacchi
“matching penny”:
1
2
3
2 giocatori;
2 monete, ciascun giocatore decide che lato della moneta giocare;
il Giocatore 1 vince (la moneta=penny) se le due monete combaciano,
altrimenti vince il Giocatore 2
Giocatore 1
Testa
Croce
Giocatore 2
Testa Croce
1, −1
−1, 1
−1, 1
1, −1
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Giocatore 1
Testa
Croce
Giocatore 2
Testa Croce
1, −1
−1, 1
−1, 1
1, −1
quale allocazione è Pareto Efficiente?
come giochereste se voi foste il Giocatore 1?
dipende da cosa pensate il Giocatore 2 faccia: belief
come si formano i “beliefs”?
maxmin concetto utilizzabile in tutti i giochi a somma fissa
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Giochi non strettamente competitivi
Tipica situazione in cui la collaborazione può portare ad un vantaggio.
Esempio
Due persone sospettate di una rapina sono portate in commissariato ed
interrogate separatamente. Gli investigatori hanno prove per condannarli
solo per reati minori. Se nessuno confessa, vengono condannati a 1 anno
di prigione; se entrambi confessano sono condannati a 3 anni di prigione;
se solo uno confessa, testimoniando contro l’altro, viene scarcerato,
mentre l’altro finisce in carcere per 4 anni.
preferenze dei soggetti i = 1, 2
ui (C , NC ) > ui (NC , NC ) > ui (C , C ) > ui (NC , C )
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Dilemma del prigioniero
Sospetto 1
non conf .
confessa
Sospetto 2
non conf . confessa
2, 2
0, 3
3, 0
1, 1
che cosa fareste se voi foste il sospetto 1?
eliminiamo le strategie dominate
la strategia di equilibrio è Pareto efficiente?
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Battaglia dei sessi
due innamorati
azioni: andare al cinema o assistere a una partita di calcio
preferenze: entrambi preferiscono andare insieme all’altra persona, ma
uno preferisce il cinema mentre l’altro la partita di calcio
Lei
Cinema
Partita
Lui
Cinema Partita
2, 1
0, 0
0, 0
1, 2
che cosa fareste se voi foste il giocatore 1?
esite una strategia dominata?
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Equilibrio di Nash (NE) in strategie pure
Definizione di NE
∗ } costituiscono un NE del gioco
le strategie (azioni) a∗ = {a1∗ , . . . , aN
Γ(N, A), se nessun giocatore i può fare meglio scegliendo un’azione
∗
differente, ai , dato che gli altri scelgono a−i
∗
)
ui (a∗ ) ≥ ui (ai , a−i
∀ ai
e
∀i
In altre parole:
il vettore di azioni a∗ è un equilibrio di Nash se nessun giocatore ha un
incentivo a deviare in maniera unilaterale
NB.: l’equilibrio è dato dalle strategie (azioni), non dal risultato!!!
sono le scelte dei giocatori che possono costituire o meno un equilibrio
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Dilemma del prigioniero:
l’azione confessa per entrambi i giocatori è il NE di questo gioco
questo equilibrio però non è pareto efficiente
ad entrambi i giocatori converrebbe non confessare
Questo evidenzia il problema di inefficienza allocativa dovuto alla
interazione strategica.
I giocatori si troverebbero meglio se collaborassero, ma l’incentivo a
deviare fa sı̀ che non vi sia cooperazione
Molte situazioni strategiche presentano questa caratteristica
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Esempio 1: qualità del prodotto (one sided prisoner’s dilemma)
Consumatore
Compro
Noncompro
Impresa
QH
QL
2, 2
−1, 3
0, 0
0, 1
Esempio 2: Fare la tesina per il corso di Politica Economica
Studente 1
impegno
riposo
Studente 2
impegno
riposo
2, 2
0, 3
3, 0
1, 1
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Esempio 3: Corsa al riarmo nucleare
USA
NoArmi
Armi
URSS
NoArmi
Armi
2, 2
0, 3
3, 0
1, 1
Ricordate comunque, che la situazione in realtà è DINAMICA, per cui
l’interazione deve essere vista nel tempo.
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Battaglia dei sessi
Lei
Cinema
Partita
Lui
Cinema Partita
2, 1
0, 0
0, 0
1, 2
ci sono 2 NE:
entrambi i giocatori scelgono Cinema
entrambi i giocatori scelgono Partita
Quale dei due prevale? Non è possibile saperlo
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Matching pennies
Giocatore 1
Testa
Croce
Giocatore 2
Testa Croce
1, −1
−1, 1
−1, 1
1, −1
Non esiste alcun NE !!!
In realtà esiste un NE in mixed strategies
Prime conclusioni:
Questo esempio e quello della Battaglia dei Sessi dimostrano che:
1
l’equilibrio di Nash potrebbe non esistere
2
se esiste potrebbe non essere unico
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Best Response Function
Finora abbiamo visto situazioni in cui le possibili azioni dei giocatori
appartengono ad un insieme discreto
Che facciamo con un insieme continuo delle possibili azioni?
utilizziamo il concetto di: risposta ottima alle possibili azioni degli altri
giocatori
nel corso di Economia Politica I, quando avete studiato il duopolio di
Cournot, avete utilizzato delle Best Response Functions !!!
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