Introduzione ai Convertitori A/D Delta

Convertitori ∆Σ
I convertitori analogico-digitale delta-sigma (detti anche sigma-delta) sono i
più diffusi convertitori ad elevata risoluzione (fino a 20 bit) disponibili sul
mercato.
Il meccanismo attraverso il quale si aumenta la risoluzione del convertitore
rispetto ai convertitori classici è quello di complicare notevolmente la parte
digitale (che può essere complessa eppure occupare molto poco spazio con
le tecnologie moderne) e ridurre invece al massimo la complessità dei
p
analogici.
g
componenti
Introduzione ai Convertitori A/D
Delta-Sigma
Lucidi delle lezioni di Microelettronica
Parte 9
I concetti fondamentali per comprendere il principio di funzionamento dei
g
sono due: oversampling
p g e noise-shaping.
p g Attraverso q
questi due
delta-sigma
concetti combinati è possibile aumentare notevolmente lo SNR di un
convertitore a bassa risoluzione (al limite ad un solo bit) fino ad ottenerne
uno equivalente con molti più bit di risoluzione.
Università di Cagliari
Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica
Laboratorio di Elettronica (EOLAB)
22/05/2007
∆Σ: Quantizer
UE - AD Delta-Sigma
Massimo Barbaro
Massimo Barbaro
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∆Σ: Oversampling
In un modello lineare un quantizzatore a N bit (un convertitore analogico/digitale seguito
da un convertitore digitale/analogico) può essere considerato come un sistema lineare
che introduce il rumore (additivo) di quantizzazione.
quantizzazione Tale modello è corretto se si
riconosce che il rumore può dipendere dall’ingresso. Il modello è invece approssimato se
si considerano il segnale ed il rumore come segnali indipendenti. Questa è una
approssimazione perché non è detto che che il rumore di quantizzazione possa essere
considerato scorrelato dall’ingresso; questa ipotesi è valida solo se il segnale in ingresso
è sufficientemente “attivo”.
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Se l’ingresso è abbastanza attivo si può considerare il rumore di quantizzazione come una
variabile aleatoria con densità di potenza uniforme (rumore bianco).
Abbiamo già calcolato la potenza dell’errore di quantizzazione pari a V2LSB / 12.
Tale potenza è distribuita uniformemente su una banda pari fS (frequenza di
)
campionamento).
L’integrale del quadrato della densità di potenza è sempre pari a V2LSB / 12
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∆Σ: Oversampling
Oversampling: Effetti sul SNR
Il segnale in ingresso al quantizzatore deve avere banda limitata (f0). In un convertitore
classico (Nyquist rate) la frequenza di campionamento fS=2 f0. Nel caso di un convertitore
delta-sigma la frequenza è molto maggiore (più di 20 volte) della banda del segnale.
Se il segnale viene sovracampionato (oversampling) con frequenza fS in modo che:
In questo modo, poiché l’area totale della densità spettrale di potenza del rumore di
quantizzazione deve essere costante e dipendere solo dalla risoluzione del quantizzatore si
può fare in modo che solo una parte del rumore vada a sovrapporsi alla banda del segnale.
Dato che per ricostruire il segnale bisogna filtrare l’uscita del quantizzatore nella banda utile si
può eliminare una buona quantità di rumore.
Poiché per ricostruire il segnale bisogna fitrare nella banda del segnale (f0) la potenza di
rumore superstite,
superstite dopo il filtraggio risulta:
fS/2f0 = OSR (OverSampling Ratio)
N= (2f0 (V2LSB / 12 )) / fS = (V2LSB / 12 ) / OSR
Se l’ingresso è un’onda sinusoidale full-range la sua potenza è:
S= V2REF / 8 = 22NV2LSB / 8
Da cui:
SNR = 10 log(S/N) = 10log(3/2 22N)+10log(OSR)=
=6.02N+1.76+10log(OSR)
Da cui si evince che nel caso di un quantizzatore con sovracampionamento si ha un
aumento del SNR rispetto ad un convertitore normale pari a 3dB per ogni raddoppio della
frequenza di campionamento (3dB/ottava). Questo vuole dire anche che un convertitore a
N bit con OSR=4 è equivalente (in termini di SNR) ad un convertitore a N+1 bit.
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L’oversampling da solo non è sufficiente per alcuni motivi.
La catena di elaborazione è mostrata in figura: filtro anti-aliasing,
anti aliasing S&H (che può essere
omesso se il blocco successivo è impementato con switched capacitors), modulatore
delta-sigma (che implementa il noise-shaping ed il quantizzatore) ed infine la parte digitale
(chiamata filtro decimatore) che effettua il filtraggio passa-basso (digitale) di ricostruzione
e il downsampling per tornare alla frequenza di Nyquist.
Per ovviare a questo problema si può pensare di partire da un quantizzatore a 1 solo bit
che è inerentemente lineare (infatti per due punti passa una ed una sola retta). Il
problema è che per trasformare un convertitore a 1 bit in uno a 16 con il solo
oversampling bisognerebbe aumentare la frequenza di campionamento di 415 volte (ogni
volta che moltiplico per 4 aumento di un bit e me ne servono altri 15). La cosa è
evidentemente improponibile ed è per questo che oltre l’oversampling si ricorre a un altro
stratagemma noto come noise-shaping.
noise shaping
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Il noise-shaping si basa sull’idea di filtrare in modo diverso il segnale ed il rumore di
quantizzazione in modo che, mentre il segnale subisce un filtraggio passa-basso il rumore
subisca un filtraggio passa-alto
passa alto che sposti la maggior parte del rumore di quantizzazione
alle frequenze fuori dalla banda del segnale che verranno quindi filtrate via in sede di
ricostuzione del segnale.
p
l’equivalenza
q
fra q
quantizzatore a N bit e q
quantizzatore a N+M bit è valida
Principalmente
solo in termini di SNR. Questo vuole dire che potrei pensare di ottenere un convertitore
equivalente a 16 bit partendo da uno a 12 bit (ogni bit in più lo si ottiene quadruplicando la
frequenza di campionamento) ma solo in termini di SNR, l’altro parametro importante (la
linearità) non verrebbe alterato dall
dall’oversampling
oversampling ed allora per avere veramente un
convertitori a 16 bit dovrei partire da un convertitore a 12 bit che ha già una linearità di 16
bit (in cui cioè INL<LSB/24, dove l’LSB è quello del convertitore a 12 bit, nel caso generale
avrei bisogno di un convertitore a N bit con INL<LSB/2M).
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∆Σ: Noise Shaping
Oversampling: Limiti
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∆Σ: Modulatore
∆Σ: Modulatore (2)
Il modulatore delta-sigma ha lo schema a blocchi in figura.
Si vede come le funzioni di trasferimento del segnale e del rumore siano differenti
(parliamo di sistemi a tempo
(p
p discreto q
quindi le funzioni di trasferimento sono in z):
)
STF(z) = Y(z)/U(z) = H(z)/(1+H(z))
NTF(z) = Y(z)/E(z) = 1/(1+H(z))
In particolare la funzione di trasferimento del rumore ha gli zeri dove H(z) ha i poli
(quando H(z) va all’infinito NTF(z) va a zero). Se allora la funzione di trasferimento H(z)
è passa basso (con i poli in continua) quella del rumore è passa-alto e correttamente si
è realizzato
reali ato il noise-shaping
noise shaping ossia si è spostato il rumore
r more fuori
f ori dalla banda del segnale.
segnale
La scelta più semplice è quella di usare un integratore, ad esempio del primo ordine,
per realizzare H(z).
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∆Σ: Conclusioni
Implementazione a Switched-Cap
I convertitori sigma-delta sfruttano due effetti combinati (oversampling e
noise-shaping) per ottenere convertitori ad elevata risoluzione (N=20bit)
partendo da un convertitore ad un solo bit. La complessità è spostata dalla
parte analogica (che viene spesso implementata a capacità commutate con
filtri del primo o secondo ordine) alla parte digitale (il decimatore).
Un modulatore delta-sigma
primo ordine p
può
del p
essere ottenuto usando un
integratore come funzione
di trasferimento H(z).
In tale caso il circuito che
implementa il modulatore
può interamente essere
realizzato con capacità
commutate
sia
per
implementare l’integratore
che per effettuare la
conversione D/A all’uscita
del quantizzatore e la
conseguente differenza col
segnale di ingresso.
ingresso
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L’ordine di un modulatore delta-sigma è dato dall’ordine del filtro H(z) che
precede il quantizzatore.
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