5) Le Frazioni

LE FRAZIONI
Una frazione viene indicata da due numeri separati da una “linea di frazione”:
Linea di frazione
3
––
4
numeratore
denominatore
Il numero scritto in basso si chiama denominatore, quello scritto in alto prende il nome di
numeratore.
Questa frazione si legge “tre quarti”.
Altri esempi di frazioni:
2
–
si legge “due quinti”;
5
1
––
12
si legge “un dodicesimo”;
9
–
8
si legge “nove ottavi”;
7
–
2
si legge “sette mezzi”…
Per capire il significato dei termini della frazione, pensiamo al significato di una frase come:
“prendi un quarto di questa torta”…
1
1
–
–
di questa torta:
4
4
È evidente che la torta è stata divisa prima in 4 parti uguali. Poi si è presa una di queste parti (quella
colorata).
Dire frazione di qualcosa è quindi come dire una parte di qualcosa…
3
Se invece avessi detto: prendi i – di questa tavoletta di cioccolata:
8
avrei prima dovuto suddividere la tavoletta in 8 parti uguali:
1/8
1
Ciascuna di queste parti misura – della tavoletta.
8
3
Poi avrei preso 3 di queste parti: appunto – del pezzo di cioccolata:
8
3
–
8
Pertanto:
Denominatore:
Numeratore:
indica in quante parti uguali e stato diviso un intero
indica quante di queste parti sono considerate.
Si chiama intero ciò di cui si vuol calcolare la frazione (come la torta o la tavoletta di cioccolata
degli esempi precedenti).
13
1
Frazioni come –;
3
1
–;
6
1
–– vengono dette unità frazionarie (numeratore uguale a 1).
24
Risolviamo semplici problemi con le frazioni:
Problema1.
Ho in tasca 20 € e ne spendo i 3/4. Quanti euro ho speso?
€ (20 : 4) = € 5
€ (5 • 3) = € 15
(1/4 di 20 €)
(3/4 di 20 €)
Risposta: Ho speso 15 €.
Problema2
Ho comprato 40 caramelle: se ho mangiato i 3/5 delle caramelle, quante caramelle mi restano?
c (40 : 5) = c 8
c (8 • 3) = c 24
c (40 – 24) = c 16
(1/5 di 40 caramelle)
(3/5 di 40 caramelle)
(caramelle che mi restano)
Risposta: Mi restano 16 caramelle
Esercizi:
1) Per comprare un libro spendo i 2/3 di 60 €. Quanto costa il libro?
[40 €]
2) Un astuccio costa 35 €. Quanto spendo per comprarlo se il cartolaio mi fa uno sconto di 1/7 del
prezzo di copertina?
[30 €]
3) In una scuola di 520 alunni i 3/5 di essi frequentano la prima classe, 1/4 la seconda e i rimanenti
la terza. Qual è il numero degli alunni di prima, di seconda, di terza?
[312; 130; 78]
4) Esco di casa con 120 €. Spendo i 5/8 della somma per acquistare un vestito e i 2/5 di ciò che mi
resta per comprare un libro. Quanto costa il libro?
[30 €]
5) Un signore mette in ordine gli 84 libri della sua biblioteca. Il primo giorno ne ordina i 5/7, il
secondo giorno 5/8 dei rimanenti. Quanti libri dovrà ancora mettere in ordine?
[9]
Il problema inverso.
In tutti gli esempi che abbiamo finora esaminato era necessario calcolare una frazione di un certo
intero, conosciuto come “dato” del problema.
Esaminiamo ora il caso in cui sappiamo quanto vale una frazione di un certo intero e ci venga
richiesto di calcolare proprio questo intero.
Esempio1
I 3/5 di un segmento misurano 24 cm. Quanto è lungo l’intero segmento?
1/5
1/5
1/5
Facciamo un disegno per capire meglio…
Se dividiamo il segmento i 5 parti uguali e ne
indichiamo la parte di 24 cm (i suoi 3/5),
24 cm
possiamo calcolare subito quanto vale 1/5 del segmento.
Se infatti tre parti uguali misurano in tutto 24 cm una parte sola misurerà: cm (24 : 3) = cm 8
Cioè: 1/5 del segmento = 8 cm
(ho trovato il valore dell’unità frazionaria)
Poiché tutto il segmento è fatto di 5 parti (5/5), basterà moltiplicare per 5 per avere la lunghezza del
segmento:
cm (8 • 5) = cm 40.
Risposta: l’intero segmento misura 40 cm.
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Esempio 2
Un recipiente è riempito di vino per i suoi 4/7, cioè per 20 litri. Quanto vino manca per riempire il
recipiente?
Aiutiamoci ancora con un disegno:
20 litri = 4/7
1/7
Se i 20 litri occupano 4 parti uguali, ciascuna di esse conterrà: l. (20 : 4) = l. 5
Abbiamo così calcolato l’unità frazionaria, cioè ciascuna delle 7 parti in cui il recipiente è stato
diviso:
1/7 del recipiente = 5 litri.
Vediamo ora quale è la parte rimanente del recipiente:
7 4 3
–––= –
se 1/7 contiene 5 litri, i 3/7 conterranno: l. (5 • 3) = l. 15
7 7 7
Risposta: Per riempire il recipiente mancano 15 litri di vino.
Esercizi:
1) In una strada in costruzione 600 metri sono già stati asfaltati. Questi 600 m sono i 3/5 di tutta la
strada. Quanto è lunga tutta la strada?
[1000 m]
2) Ho speso 42 €, cioè i 7/8 di ciò che avevo. Quanti euro mi rimangono?
[6€]
3) Ho letto 25 pagine di un libro, che corrispondono ai 5/9 di tutto il libro. Di quante pagine è
formato il libro intero?
[45 p]
4) Spendo i 4/7 di una somma e mi restano 24 €. Quanti soldi avevo all’inizio?
[56 € ]
5) In una classe scolastica i 5/8 degli alunni sono femmine, mentre i maschi sono 12. Di quanti
alunni (maschi + femmine) è composta la classe?
[32 alunni]
Confronto di frazioni e frazioni equivalenti.
È meglio avere i 3/4 di 28 € o i 5/7 di 28 €?
Proviamo a fare due conti:
€ (28 : 4) = € 7
(1/4 di 28 €)
€ (28 : 7) = € 4
(1/4 di 28 €)
€ (7 • 3) = € 21
(3/4 di 28 €)
€ (4 • 5) = € 20
(5/7 di 28 €)
Risulta quindi che la frazione 3/4 è più grande della frazione 5/7 (entrambe applicate allo stesso
intero). Possiamo perciò scrivere:
3
5
– > –
4
7
15
Facciamo un altro esempio.
Pesano più i 2/5 di una tavoletta di cioccolato o i 4/10 della stessa tavoletta?
Questa volta aiutiamoci con un disegno:
Qui sono anneriti i 2/5 della tavoletta
Qui sono anneriti i 4/10 della tavoletta
È evidente che prendere i 2/5 della tavoletta o prenderne i 4/10 è la stessa cosa. Perciò scriveremo:
2
4
– = ––
5
10
2/5 e 4/10 sono due frazioni equivalenti.
Non è difficile verificare che se della stessa tavoletta avessimo preso i 6/15 oppure gli 8/20 ecc.,
avremmo ottenuto sempre la stessa parte della tavoletta:
2
4
6
8
– = –– = –– = ––
5
10
15
20
Tutte le frazioni scritte qui sopra sono quindi frazioni fra loro equivalenti…
Data una qualsiasi frazione, si possono scrivere infinite frazioni ad essa equivalenti: basta
moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero.
Prendiamo per esempio la frazione 5/6: se moltiplichiamo per 3 sia il numeratore che il
denominatore otterremo la frazione 15/18, che è ad essa equivalente:
5
15
– = ––
6
18
Si può però ottenere una frazione equivalente anche dividendo per uno stesso numero il numeratore
e il denominatore, ma questa operazione si può fare solo se numeratore e denominatore ammettono
un divisore comune.
Prendiamo per esempio la frazione 6/8: sia il 6 che l’8 sono divisibili per 2. eseguendo la divisione
ottengo una frazione equivalente:
6
3
– = –
8
4
In casi di questo tipo si è ottenuta una frazione scritta con termini più piccoli: si è cioè eseguita una
semplificazione.
Osserviamo ora i passaggi seguenti:
24
––
30
=
12
––
15
=
4
––
5
Siamo passati dalla prima frazione alla seconda dividendo numeratore e denominatore per 2. siamo
poi passati alla terza frazione dividendo numeratore e denominatore della seconda per 3.
Per la terza frazione non è più possibile trovare un divisore comune tra numeratore e denominatore.
Questa frazione non si può più semplificare: essa si dice ridotta ai minimi termini.
Esercizi:
1)
riduci ai minimi termini le seguenti frazioni:
72
60 64 42
252 96
120
–– ; ––; ––; –– ; –––; –––; –––
48
24 80 56
336 144
168
16