Appendice 6.2 - Gabriele Falciasecca

APPENDICE 6.2
RAPPRESENTAZIONE NELLO SPAZIO DEI SEGNALI
6.2.1. SPAZIO
DEI SEGNALI
Si torni a considerare la rappresentazione in serie temporale, in generale imperfetta, già
introdotta :
N
x (t) ≅ ∑ α k ψ k (t) ,
[6.2.1] ~
k=1
ottenuta come combinazione lineare di N funzioni ortonormali ψk(t) appartenenti allo spazio
funzionale L2(T) , con i coefficienti:
[6.2.2]
α k = (x , ψ k )
.
In base a tale ultima espressione risulta che in virtù della loro ortonormalità alle funzioni ψ
k(t) con k = 1 , 2,.., N corrispondono ordinatamente le particolari ennuple di valori αk :
(1,0,..,0) , (0,1,..,0) ,...., (0,0,..,1)
.
Mediante l'associazione biunivoca alle N funzioni ψk(t) di altrettanti versori ψk , tutti tra loro
ortogonali, si può allora definire uno spazio euclideo a N dimensioni, denominato spazio dei
segnali.
6.2.2. VETTORI
RAPPRESENTATIVI NELLO SPAZIO DEI SEGNALI
Ammesso che le N funzioni ψk(t) siano reali, la relazione [6.2.2] stabilisce una
corrispondenza tra un segnale reale x(t) e una ennupla di valori reali ( α1 , α 2 ,.., α N ) , a cui si può
associare un vettore ~
x , che risulta la proiezione del segnale nello spazio a N dimensioni appena
sopra definito. Ogni coefficiente αk è dunque la k-esima componente del vettore
k , ossia si ha:
[6.2.3]
αk = ~
x .ψ k
~
x
secondo ψ
,
che ancora più giustifica la denominazione di prodotto scalare adottata per la operazione
α k = (x , ψ k ) nel dominio del tempo.
Come già evidenziato in precedenza, in generale occorre un numero infinito di funzioni
ortonormali per rappresentare in modo soddisfacente qualsiasi segnale appartenente a L2(T) , nel
suo intervallo di definizione. Assunto uno spazio dei segnali a dimensione finita, se x(t) è un
generico segnale reale di energia, il segnale differenza x(t) - ~
x (t) eventualmente non nullo risulta
~
comunque ortogonale a x (t) , in modo che ad esso corrisponde un vettore residuo x0 finito
ortogonale alla proiezione ~
x di x(t) nello spazio considerato; se poi x(t) è un segnale di potenza,
si può ancora avere una sua proiezione ~
x , ma con vettore residuo ortogonale infinito.
La desiderata accuratezza della rappresentazione ~
x (t) può essere raggiunta, per particolari
categorie di segnali, anche per N finito. In tale caso diviene biunivoca la corrispondenza tra un
segnale x(t) , per cui valgono pienamente nel dominio del tempo le espressioni (vedi [6.1.14] ):
N
[6.2.4] x(t) = ∑ X k ψ k (t)
,
con
Xk = αk = (x ,ψk) ,
k =1
e la sua rappresentazione vettoriale x nella base euclidea {ψ
ψk} (vedi figura 6.2.1), per cui si pone:
[6.2.5]
x≅
N
∑ Xk ψ k
,
Xk = x.ψk .
con
k =1
X3
ψ3
ψ1
x
0
ψ2
X2
X1
Fig. 6.2.1. Rappresentazione di un segnale reale x(t)
mediante un vettore x nello spazio dei segnali.
Rammentando la proprietà [6.1.17] , si ricava il seguente legame tra il modulo | x | del
vettore rappresentativo nello spazio dei segnali e la energia del segnale x(t) :
N
[6.2.6] | x |2 = x.x = ∑ X 2k = Exx .
k =1
Si consideri una coppia di segnali, x(t) e y(t) , che siano entrambi soddisfacentemente
rappresentabili tramite una base {ψk(t)} a N dimensioni con le ennuple di valori Xk e Yk
( k = 1 , 2,.., N ); effettuando il prodotto scalare dei due corrispondenti vettori nello spazio dei segnali,
x e y , si ottiene:
N
[6.2.7]
x.y = ∑ X k Yk
.
k =1
Introducendo nella definizione di prodotto scalare nel dominio del tempo i segnali rappresentati
come combinazioni lineari delle funzioni di base ψk(t) , si perviene al medesimo risultato, ossia si
ha:
[6.2.8]
x.y = (x, y)
.
Infatti per la ortonormalità delle funzioni reali di base si ottiene:
[6.2.9]
N
N
k =1
h =1
N
(x, y) = ∫ x(t ) y * (t ) dt = ∫ ∑ X k ψ k (t)∑ Yh ψ h (t) dt =
N
=
N
∑ ∑ X k Yh ∫ψ k (t)ψ h (t) dt
k =1 h =1
=
∑ X k Yk
.
k =1
Si noti che nel caso in cui risulti (x, y) = 0 i due vettori rappresentativi x e y sono
effettivamente ortogonali nello spazio dei segnali.
6.2.3. ORTOGONALIZZAZIONE
DI
GRAM-SCHMIDT
Vale la pena di richiamare un importante caso di categoria di segnali rappresentabili in
modo soddisfacente tramite una base ortonormale, ossia in uno spazio a dimensione finita: si tratta
del generico insieme discreto {xi(t)} , costituito da un numero finito M di segnali di energia, per
cui il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt garantisce la piena validità della
rappresentazione facendo ricorso a precisabili funzioni ortonormali in numero finito N ≤ M . Come
illustrato nel seguito, il metodo consiste nell'effettuare delle operazioni su ogni segnale xi(t) per
ricavare una funzione di base ψi(t) ortonormale a tutte le funzioni precedentemente determinate.
Nel primo passo a partire da x1(t) si pone:
x (t)
[6.2.10] ψ1(t) = 1
.
x1 (t) 2
Nel secondo passo a partire da x2(t) si determina il segnale w2(t) , ortogonale a x1(t) :
[6.2.11]
w2(t) = x2(t) - (x 2 , ψ 1 ) ψ1(t) ,
ricavando quindi la seconda funzione di base:
w 2 (t)
[6.2.12] ψ 2 (t) =
.
w 2 (t) 2
Al k-esimo passo si ha il segnale ortogonale a tutti i precedenti:
k-1
[6.2.13]
wk(t) = xk(t) -
∑ (x k , ψ i ) ψ i (t)
,
i=1
e la corrispondente funzione di base:
w k (t)
[6.2.14] ψ k (t) =
.
w k (t) 2
Per come sono state ricavate le ψ(t) sono combinazioni lineari degli M segnali xi(t) ; se
questi sono linearmente indipendenti esistono allora altrettante funzioni ortonormali ψ(t) ;
altrimenti solo N ≤ M di esse risultano non identicamente nulle.