Appunti di Controlli Automatici 1

A p p u n ti di Co n tr o l l i A u to m a ti c i 1
C a p it o lo 7 – p a r t e I I
M a rg in i d i sta b il ità
Introduzione................................................................................................................... 1
Margine di ampiezza....................................................................................................... 2
Margine di fase .............................................................................................................. 5
Osservazione .............................................................................................................. 6
Margini di stabilità e diagrammi di Bode ......................................................................... 6
Introduzione
Consideriamo un sistema del quale si stia studiando la stabilità ad anello chiuso
mediante l’applicazione del criterio di stabilit à di Nyquist. Abbiamo visto, nei
paragrafi precedenti, che l’applicazione di questo criterio presuppone la conoscenza
del diagramma polare della funzione G(jω) di risposta armonica del sistema stesso
in anello aperto: quando tale diagramma polare presenta alcune particolari
caratteristiche che tra un attimo saranno enunciate, è possibile dedurre da esso
informazioni non solo sulla stabilità in anello chiuso, ma anche sulla sua maggiore
o minore tendenza all’instabilit à.
I ragionamenti che ci accingiamo a fare valgono rigorosamente per sistemi detti a
stabilit à regolare. Un sistema si dice a stabilità regolare se presenta due
caratteristiche fondamentali:
• in primo luogo, è un sistema stabile in anello aperto ed a fase minima, ossia
tale che la funzione di trasferimento in anello aperto G(s) non abbia né poli
né zeri a parte reale positiva;
• in secondo luogo, il diagramma di Bode delle ampiezze della funzione G(s),
nell’intorno della frequenza di crossover (ossia di quella frequenza ωB in
corrispondenza della quale il diagramma interseca l’asse delle ascisse),
presenta una fascia di circa 10÷20 dB in cui l’ampiezza decresce con
continuità.
Per sistemi che godano di queste proprietà è possibile definire a pieno titolo i
concetti di margine di ampiezza e di margine di fase che saranno esposti nei
prossimi paragrafi.
Appunti di “Controlli Automatici 1” – Capitolo 7 parte II
Margine di ampiezza
Per comprendere il concetto di margine di ampiezza, conviene rifarci subito ad un
esempio concreto. Consideriamo, perciò, un sistema avente la seguente funzione di
trasferimento in anello aperto:
G (s ) =
k
s (1 + T1s)(1 + T2 s )
k,T 1 ,T 2 >0
Questa funzione di trasferimento è, ad esempio, quella tipica di un servomotore
comandato in posizione. La corrispondente funzione di risposta armonica si ottiene
ponendo s=jω:
G ( jω) =
k
jω(1 + jT1 ω)(1 + jT2 ω)
Il sistema è a fase minima (nessuno zero a parte reale positiva) ed è
asintoticamente stabile in anello aperto (tutti i poli sono a parte reale negativa,
tranne un polo semplice nell’origine), per cui è candidato ad essere un sistema a
stabilità regolare: se andassimo a tracciare il suo diagramma di Bode delle
ampiezze, troveremmo che esso verifica anche la seconda condizione per la stabilità
regolare, per cui deduciamo che per questo sistema ha senso definire un margine di
ampiezza nel modo che vedremo adesso.
La prima cosa che vogliamo fare è studiare la stabilità ad anello chiuso di questo
sistema mediante l’applicazione del criterio di Nyquist. Lo abbiamo già fatto in uno
dei precedenti esempi ed abbiamo trovato che la stabilità ad anello chiuso dipende
dalla posizione del diagramma polare rispetto al punto critico s=-1:
-
Im{G}
A
+∞
−∞
0
raggio
vettore
-1
Re{G}
0+
Se il punto critico s=-1 si trova, come in figura, a sinistra del punto del
diagramma indicato con A, il sistema è stabile ad anello chiuso. Se, invece, il punto
critico si trova a destra del punto A, il sistema è instabile ad anello chiuso.
Supponiamo, allora, che il sistema sia stabile ad anello chiuso, per cui la
situazione è proprio quella indicata nella figura. Ci chiediamo, così come abbiamo
già fatto in precedenza, cosa succede aumentando il valore del guadagno k.
Succede che il diagramma polare, pur conservando immutata la propria forma, si
espande linearmente all’aumentare di k, il che significa che il punto A si avvicina
progressivamente al punto -1. Si arriva, allora, ad un valore critico k C del guadagno
in corrispondenza del quale il punto A viene a coincidere con il punto critico –1.
Autore: Sandro Petrizzelli
2
Margini di stabilit à
Con riferimento al luogo delle radici di questo sistema, sappiamo che, in
corrispondenza di k=k C , i due poli del sistema risultano essere immaginari puri:
A partire da questo valore del guadagno, poi, i due poli passano nel semipiano
destro di Gauss ed il sistema diventa instabile ad anello chiuso. Con riferimento al
diagramma polare, la situazione diventa quella per cui il punto A viene adesso a
trovarsi a sinistra del punto critico -1, per cui un qualsiasi raggio vettore mandato
dal punto -1 ha un numero non nullo di intersezioni con il diagramma.
La situazione critica è dunque quella che si ha per k=k C . Allora, il problema che
ci poniamo è il seguente: il modello matematico (cioè la funzione di trasferimento)
che abbiamo utilizzato per descrivere il nostro sistema è inevitabilmente frutto di
una schematizzazione del sistema stesso, per cui sicuramente non rispecchia
perfettamente la realtà fisica del sistema; per esempio, è possibile che il sistema
reale (ad anello aperto) sia stato modellato con 1 polo nell’origine e 2 poli a parte
reale negativa in virtù dell’ipotesi che questi ultimi due poli siano dominanti su
altri poli fisicamente presenti; in altre parole, pur sapendo che il sistema reale è di
ordine maggiore di 3, si è ritenuto, osservando un comportamento dinamico simile
a quello di un sistema del 3° ordine, che i termini del transitorio corrispondenti agli
altri poli, più lontani dall’asse immaginario, fossero trascurabili (perché di minore
ampiezza e più rapidamente smorzati rispetto agli altri). E’ stata dunque compiuta
una approssimazione, per cui non possiamo essere certi che il sistema rispetti
perfettamente le conclusioni teoriche cui siamo pervenuti con il criterio di Nyquist;
non solo, ma, anche ammesso che il sistema si comporti esattamente come è stato
previsto teoricamente, non è detto che questo comportamento si mantenga costante
nel tempo, in quanto il sistema reale è sempre soggetto ad invecchiamento e
degradazione, i quali possono contribuire a variarne anche pesantemente il
comportamento. In base a queste considerazioni, diventa quindi importante definire
dei margini di stabilità.
Per la definizione del margine di ampiezza, facciamo riferimento al diagramma
polare prima tracciato per il sistema in esame e calcoliamo le coordinate del punto
A: tale punto non è altro che l’intersezione del diagramma polare con l’asse delle
ascisse, per cui ci basta calcolare il valore ωA della pulsazione in corrispondenza
della quale la funzione G(jω) risulta essere reale e poi calcolare quanto vale la
quantità G(jωA ).
Cominciamo allora ad esprimere G(jω) in termini di parte reale e parte
immaginaria:
3
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Controlli Automatici 1” – Capitolo 7 parte II
G ( jω) =
k
k
=
2
jω(1 + jT1 ω)(1 + jT2 ω) − (T1 + T2 )ω + jω 1 − T1T2 ω 2
(
)
In base a questa espressione, l’equazione Im{G ( jω)} = 0 corrisponde all’equazione
(
)
ω 1 − T1T2 ω 2 = 0 , la cui soluzione è ω1 =
1
. In corrispondenza di questo valore
T1 T2
della pulsazione, la funzione di risposta armonica vale
G ( jω1 ) =
− kT1 T2
T1 + T2
 − kT T

1 2
per cui deduciamo che il punto A ha coordinate 
,0  .
 T1 + T2 
Come era ovvio che fosse, la posizione del punto A dipende dal valore del
guadagno k, oltre che da quello delle due costanti di tempo, che però si ritengono
assegnate.
Possiamo anche calcolare il valore k A (valore critico) del guadagno
necessario affinché il punto A venga esattamente a coincidere con il
− k A T1 T2
punto -1: deve risultare G( jω A ) =
= −1 , da cui ricaviamo che
T1 + T2
kA =
T1 + T2
.
T1 T2
Definiamo allora margine di ampiezza (simbolo: mg) il reciproco della lunghezza
del segmento OA :
mg =
T + T2
1
1
=
= 1
a G ( jω A )
kT1 T2
Più in generale, si definisce margine di ampiezza il reciproco del modulo
della funzione G(jω) calcolata per la pulsazione ω A corrispondente al
punto del diagramma polare avente fase -π (cioè il punto in cui il
suddetto diagramma interseca l’asse orizzontale).
A questo punto, l’esempio che stiamo considerando mostra in modo evidente la
principale proprietà del margine di ampiezza: si osserva, infatti, che il sistema
sarà stabile in anello chiuso se e solo se il margine di
ampiezza risulta maggiore di 1 : infatti, la condizione mg>1 equivale alla
condizione G ( jω A ) < 1 , ossia alla condizione per cui il punto A si trova a destra del
punto critico s=-1.
Normalmente, il margine di ampiezza viene fornito in dB: in questo caso, affinché
il sistema sia stabile ad anello chiuso, il margine di ampiezza deve risultare
maggiore di 0 dB.
Autore: Sandro Petrizzelli
4
Margini di stabilit à
Margine di fase
Mentre nel paragrafo precedente abbiamo definito il margine di ampiezza,
definiamo adesso il cosiddetto margine di fase. Per farlo, facciamo riferimento allo
stesso esempio considerato nel paragrafo precedente, per cui consideriamo
nuovamente il diagramma polare del sistema in esame:
Im{G}
Re{G}
A
-1
circonferenza
di raggio =1
B
Su tale diagramma, abbiamo già tracciato una circonferenza centrata nell’origine
e di raggio pari ad 1: questa circonferenza è tale che ogni suo punto corrisponda ad
un numero complesso di modulo unitario. Allora, ogni eventuale punto di
intersezione del diagramma polare con questa circonferenza rappresenta un punto
in cui la G(jω) ha modulo unitario:
Im{G}
-1
G ( jω) = 1
mf
Re{G}
Φ
B
Con riferimento alla figura appena riportata, il punto B è dunque un punto in cui
la G(jω) ha modulo unitario. Indichiamo allora con ω B la pulsazione corrispondente
a quel valore della G(jω), (ossia la pulsazione di crossover con riferimento ai
diagrammi di Bode delle ampiezze). Indicata inoltre con Φ la fase di G(jω) in quel
punto, possiamo scrivere che
5
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Controlli Automatici 1” – Capitolo 7 parte II
 G ( jω B ) = 1
ω = ωB 
→
Φ = arg G ( jω B )
Si definisce allora margine di fase (simbolo: mf) l’angolo che occorre
sottrarre alla fase Φ (in genere negativa) per ottenere una fase pari
a -π: con riferimento alla figura appena riportata, il margine di fase deve cioè
essere tale che Φ − mf = − π , da cui deduciamo che esso vale
mf = Φ + π = arg G ( jω B ) + π
Detto in termini più concreti, il margine di fase si ottiene nel modo seguente: per
prima cosa, si individua (o sul diagramma polare o, con maggiore comodità, sul
diagramma di Bode delle fasi) la pulsazione ωB in corrispondenza della quale il
modulo di G(jω) ha valore unitario; successivamente, si calcola la fase Φ di G(jω)
per ω=ωB ; infine, si calcola mf = Φ + π .
E’ evidente, con riferimento sempre all’esempio che stiamo considerando, che il
sistema sarà stabile in anello chiuso se e solo se il margine di fase
risulta maggiore di 0°, in quanto questa condizione equivale alla condizione
per cui il punto A si trova a destra del punto critico s=-1.
O
nee
Osssseerrvvaazziioon
A questo punto, è importante capire il motivo per cui, per definire
i margini di ampiezza e di fase, è necessario considerare
solo sistemi a stabilità regolare.
Il motivo è il seguente: abbiamo capito che il margine di ampiezza ed
il margine di fase forniscono informazioni circa la bontà del
comportamento dinamico del sistema ad anello chiuso quando il
diagramma polare del sistema ad anello aperto si avvicina al punto
critico -1; quanto maggiori sono tali margini, tanto maggiore è la
garanzia che il sistema reale rispetti le conclusioni teoriche dedotte
dalla applicazione del criterio di Nyquist; allora, non è detto che i due
margini forniscano informazioni congruenti tra di loro: è cioè possibile
che il margine di ampiezza sia elevato, mentre quello di fase sia basso
(o viceversa), il che non aiuta certo a capire quanto i risultati teorici
rispettano la realtà. Questo non accade, invece, per i sistemi a
stabilità regolare: per un sistema a stabilità regolare, il
margine di ampiezza ed il margine di fase sono tra loro
complementari, nel senso che sono o entrambi buoni o
entrambi cattivi, per cui è sufficiente conoscere uno solo
di tali margini per trarre conclusioni circa la stabilità
del sistema reale.
Margini di stabilità e diagrammi di Bode
Nel paragrafo precedente abbiamo introdotto i margini di stabilità mediante i
diagrammi polari, giustificando il loro significato sulla base del criterio di stabilità
di Nyquist. E’ possibile individuare tali margini anche facendo uso dei diagrammi di
Bode della funzione G(jω) in esame.
Autore: Sandro Petrizzelli
6
Margini di stabilit à
Per capire questo, facciamo un esempio pratico, considerando un sistema del 2°
ordine avente una funzione di risposta armonica del tipo seguente:
G ( jω) =
Indicate con ω B1 =
k
(1 + jT1ω)(1 + jT2 ω)
1
1
= p1 e ω B2 =
= p 2 le frequenze associate ai due poli del
T1
T2
sistema (supposti entrambi reali e negativi), è immediato tracciare i diagrammi di
Bode di questo sistema:
G ( jω ) dB
frequenza di
transizione ω B
ω B1
ω B2
log 10 ω
arg G ( j ω)
log 10 ω
-45°
-90°
-135°
Φ
mf
-180°
Cominciamo a capire come si fa a individuare il margine di fase:
§
intanto, per definizione, il margine di fase va calcolato con riferimento alla
frequenza ωB (detta frequenza di transizione o frequenza di crossover) alla
quale il modulo di G(jω) diventa unitario; allora, sul diagramma dei moduli
è immediato individuare questa pulsazione, in quanto è quella in
corrispondenza della quale il diagramma interseca l’asse reale;
§
nota ωB , serve conoscere la fase Φ di G(jω) in corrispondenza di tale
frequenza ed anche questa informazione si ricava immediatamente, usando
il diagramma delle fasi;
§
allora, il margine di fase corrisponde, sul diagramma delle fasi, alla
distanza tra il punto corrispondente al valore Φ e la retta orizzontale
corrispondente a -180°.
Per quanto riguarda, invece, l’individuazione del margine di ampiezza (detto
anche margine di guadagno), la costruzione da seguire è inversa alla precedente:
7
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Controlli Automatici 1” – Capitolo 7 parte II
G ( jω) dB
ω 180
ω B1
ω B2
log 10 ω
mg
arg G ( j ω)
log 10 ω
-45°
-90°
-135°
-180°
Si procede nel modo seguente:
§
in primo luogo, usando il diagramma delle fasi, si individua la pulsazione
ω180 in corrispondenza della quale la fase di G(jω) vale -180°;
§
passando allora sul diagramma dei moduli, si individua il valore di
G ( jω) dB in corrispondenza di tale pulsazione ω180 : cambiando di segno la
quantità G ( jω180 ) dB , si ottiene il margine di ampiezza espresso in dB.
Autore: Sandro Petrizzelli
e-mail: [email protected]
sito personale: http://users.iol.it/sandry
Autore: Sandro Petrizzelli
8