Circuito RLC

Circuito RLC
L’equivalente elettrico dell’ oscillatore armonico smorzato è il circuito RLC :
Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha:
q
di
 L  Ri
C
dt
con
i
quindi
d 2 q R dq q


0
2
dt
L dt LC
dq
dt
La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi:
d 2 q R dq q


0
2
dt
L dt LC
Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :
R

2L
1
0 
LC
l’ equazione differenziale del circuito RLC diventa:
d 2q
dq
2

2



q0
0
2
dt
dt
È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi:
d x  dx k

 x0
2
dt
m dt m
d 2 q R dq q


0
2
dt
L dt LC

m
R
L
k
m
1
LC
2
Anche in questo caso, il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri
fisici del circuito. Ci sono tre casi possibili :
• Smorzamento debole
qt   De t sen t   
con
   02   2
Parametro relativo alla
dissipazione della carica
reale, cioè :
 20   2
Parametro relativo alla
conservazione della carica
1 R2

C 4L
La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo
poiché è modulata da un esponenziale decrescente :
qt   De t sen t   
• Smorzamento critico
q t   e  t A  Bt 
con
   02   2
Parametro relativo alla
dissipazione della carica
nullo, cioè :
 20   2
Parametro relativo alla
conservazione della carica
1 R2

C 4L
• Smorzamento forte
La soluzione globale è del tipo:
t

q t   e  Ae

 t
con
   02   2
 2  02
 Be
 t  2  02
Parametro relativo alla
dissipazione della carica
immaginario, cioè :
 20   2
Parametro relativo alla
conservazione della carica


1 R2

C 4L
Nelle condizioni di smorzamento forte o critico non c’ è mai oscillazione:
Circuito RLC con generatore di f.e.m.
Consideriamo ora un oscillatore armonico forzato:
app c a o cioè
applichiamo
c oè all’
a oscillatore
osc ato e
una forza esterna ad esempio
sinusoidale
F  F0 sen( 't )
in cui  ' rappresenta
pp
la ppulsazione
della forza esterna
F  F0 sen( 't )
Applicando la seconda legge di Netwon F = ma :
 kx  v  F0 sen  't  ma
F0
d 2 x  dx k
'


x

sen

t
2
dt
m dt m
m
La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere:
F0
d 2 x  dx k
'


x

sen

t
2
dt
m dt m
m
Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :


2m
k
0 
m
'
l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico forzato diventa:
F0
d 2x
dx
2
'

2



x

sen

t
0
2
dt
m
dt
La soluzione generale di questo sistema è :
x (t )  A0 e t sen t     A' sen  ' t   '
S
Soluzione
particolare
Soluzione della omogenea
associata
dove :
F0
A' 
m

1
2
0
  '2   4 2 '2
2
tg '  
2 '
02   '2
La soluzione particolare rappresenta quindi la soluzione a regime:
x(t ) regime  A' sen  ' t   '
infatti la soluzione della omogenea associata è destinata a diventare nulla
dopo un tempo ragionevole avendo :
x (t ) Omogenea  A0 e t sen t   
Lo spostamento sarà caratterizzato a regime dalla stessa pulsazione della forza
esterna anche se sfasato in ritardo rispetto ad essa avendo:
esterna,
x (t ) regime  A' sen  ' t   '
F  F0 sen( 't )

2 ' 
 '  arctg  2
2



'
 0

Analizziamo lo studio della risposta in funzione di
relazione alla  0 del sistema:
' e
in particolare in
 '  0
F0
A' 
m

1
2
0
 '
F0
A 
k
'
F
x(t )  0 sen  't
k

2 2
 4 2 '2
 2 ' 
 '  arctg  2
2



'

 0
 0
• Spostamento in fase con la forza esterna
• Parametro dominante “ k ” costante elastica
 '  0
F0
A' 
m

1
2
0
  '2   4 2 '2
2
F0
A 
m ' 2
'
F0
x (t )  
sen t
'2
m

2 ' 
 '  arctg  2
2



'
 0

  
• Spostamento in opposizione di fase con la
forza esterna
• Parametro dominante “ m ” massa
 '  0
F0
A' 
m

1
2
0
  '2   4 2 '2
2
F0
A 
2m0
'
F0
x (t ) 
cos  't
2m0

2 ' 
 '  arctg  2
2



'

 0
 

2
• Spostamento in quadratura di fase con la
forza esterna
• Parametro dominante “  ” coefficiente di
smorzamento
Grafichiamo
A' 
F0
m
A' in funzione di  ' :

1
2
0
 '

2 2
 4 2 '2
Nel caso in cui lo smorzamento è eccessivo ,
l’ andamento è monotono decrescente.
Con smorzamento molto piccolo la funzione
assume un massimo in condizioni di risonanza :
 '  0
Si nota che se lo smorzamento aumenta la condizione di massimo si sposta
verso la parte sinistra del grafico e si riduce in ampiezza, quindi la
condizione di risonanza si ottiene prima ma con un’ ampiezza inferiore.
In modo equivalente grafichiamo la fase  in funzione di
'
 2 ' 
 '  arctg  2
2



'
 0

Questo grafico riassume i tre casi possibili :
 '  0
  0
'
 '  0
 0
 

2
  
'
0
:
L’equivalente elettrico dell’ oscillatore armonico forzato è il circuito RLC
con generatore di f.e.m.:
Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha:
di q
 0 cos  t  L   Ri
dt C
'
quindi
con
d 2 q R dq q  o
'



cos

t
2
dt
L dt LC L
i
dq
dt
La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi:
d 2 q R dq q  o
'



cos

t
2
dt
L dt LC L
Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :
R

2L
1
0 
LC
l’ equazione differenziale del circuito RLC con f.e.m. diventa:
0
d 2q
dq
2
'

2



q

cos

t
0
2
dt
L
dt
'
È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi:
F0
d 2 x  dx k
'


x

sen

t
2
dt
m dt m
m

k
m
m
F0
m
d 2 q R dq q  o
'



cos

t
2
dt
L dt LC L
1
R
LC
L
0
L
Anche in questo caso la soluzione particolare rappresenta la soluzione a regime:
Q (t ) regime  Q0 sen  ' t   '
infatti la soluzione della omogenea associata è destinata a diventare nulla
dopo un tempo ragionevole avendo :
Q (t ) Omogenea  Q
Qe t sen t   
La carica sarà caratterizzata a regime dalla stessa pulsazione della f.e.m esterna
anche se sfasata in ritardo rispetto ad essa avendo:
Q (t ) regime  Q0 sen  ' t   '
   0 cos( 't )
La soluzione in corrente risulta essere la derivata della carica quindi :
i (t ) regime  i0 cos ' t   '
Affinché questa risulta essere soluzione
soluzione, inseriamo la suddetta espressione
nell’ equazione del circuito in corrente:
o '
d 2i R di
i
'





sen

t
2
dt
L dt LC
L
L uguaglianza deve essere valida in qualsiasi istante e quindi devo essere uguali
L’uguaglianza
'
i corrispondenti coefficienti di sen  t e cos  't al primo e al secondo
membro.
Imponendo le due identità si ottengo le seguenti relazioni:
i0 
0
1 

2
'
R   L  ' 
C

1
 L '
C
tg '  
R
'
2
La condizione più interessante è ancora quella di risonanza
i0 
0
1 

2
'
R   L  ' 
C

i0 
i (t ) 
0
R
0
2
 '  0
:
 'L  1 
'


'

C
  arctg 

R




 0
R
cos  't
In condizioni di risonanza quindi il circuito si
comporta come puramente resistivo poiché la
corrente e la f.e.m. sono in fase
Riportiamo in seguito l’andamento della
diversi valori di resistenza:
Quindi la
i0 e della  ' in funzione della  ' per
i0 assume il valore massimo per  '  0 
1
LC
Si definisce larghezza della risonanza la differenza tra i valori  2 e 1 in
corrispondenza dei quali la corrente massima assume il valore  0 ,
R 2
ridotto
id
di un fattore
f
i
all valore
l
di risonanza.
i
2 rispetto
Cioè imponendo
C
p
:
0
R 2

0
1 

R   L 

C 

2
2
da cui si ricava
R
R2
R
R2
2
2
2 









0
1
0
2
2L
4L
2L
4 L2
La larghezza della risonanza risulta essere uguale a :
R 0
2  1  
L Q
dove la quantità :
Q
0
2  1

0 L
R
,
si chiama fattore di merito della risonanza.
Esso è tanto maggiore quanto più stretta è la risonanza, cioè quanto più
piccola è la resistenza rispetto a ω0 L, condizione a cui si tende nel caso
in cui si voglia realizzare un circuito altamente selettivo .
Risonanza :
Utile
per mettere in evidenza segnali deboli per cui è utilizzato nei
sintonizzatori di onde elettromagnetiche.
Svantaggiosa quando le ampie oscillazioni generate provocano rotture nel
sistema: per esempio l’ azione del vento o di onde sismiche
su edifici, il passaggio di veicoli su ponti; in tali casi le
pulsazioni di risonanza devono essere molto diverse dalle
pulsazioni che l’ambiente circostante ppuò imprimere
p
p
al sistema.