Cap.3.3 Flussi Comprimibili: Condotti ad Area Variabile

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Fluidodinamica – A.A. 2015-2016
Lucidi del corso di
Fluidodinamica
Capitolo III-3: Condotti ad Area Variabile
Prof. S. Salvadori, Prof. F. Martelli
Flusso Isentropico di un gas ideale: ugelli
• Consideriamo le ipotesi di moto 1D stazionario, comprimibile,
in assenza di lavoro o di scambio di calore.
Effetto della variazione dell’area della sezione di passaggio.
• Equazione di continuità:
m = ρAU
(N.B.: per un flusso comprimibile la densità può variare in dipendenza dal valore del numero di Mach).
• Ricordando che la portata in massa non varia all’interno el
condotto, si può dire che dm = 0 e l’EdC in forma differenziale
può essere scritta come segue:
dρ
ρ
+
dA
dU
+
=0
A
U
Pagina 2
• Definizione di entalpia totale:
dU 2
dh = −
= −UdU
2
• Equazione della Termodinamica:
Tds = dh −
dp
ρ
dh =
dp
ρ
• Utilizzando queste tre equazioni si ottiene:
UdU = −
dp
ρ
=−
 ∂p  dρ
dp dρ

= −
dρ ρ
 ∂ρ  s ρ
Pagina 3
• Da essa (utilizzando l’EdC in forma differenziale) si arriva alla
prima Equazione di Hugoniot:




dA
dU  U 2
− 1
=

A
U   ∂p 



 ∂ρ 


s


[
] [1]
dA dU
=
Ma 2 − 1
A
U
• Si può perciò concludere che:
– per un flusso subsonico (Ma < 1) la velocità e la sezione del condotto
variano inversamente.
– in regime di moto supersonico (Ma > 1) a variazioni positive dell’area
di passaggio restano associati incrementi di velocità.
Pagina 4
• Un condotto convergente accelera un flusso subsonico
• Un condotto divergente accelera un flusso supersonico
V = U = Velocità
Pagina 5
• Analogamente all’equazione [1] si possono ricavare anche al
seconda e la terza che legano le altre grandezze di interesse:
[
] [1]
dA dU
=
Ma 2 − 1
A
U
dA
dρ  Ma 2 − 1
=−

 [2]
2
A
ρ  Ma 
dρ
dA
dU
+
+
=0
ρ
A
U
[
] [3]
dA
dp
2
=−
Ma
−1
2
A
ρU
Pagina 6
• Riscrivendo la I equazione di Hugoniot nella forma sottostante
si vede che la sezione associata al valore di mach unitario è un
punto di minimo per l’area della sezione del condotto.
[
dA
A
1 − Ma 2
=−
dV
U
]
• Per un flusso stazionario isoentropico di un gas ideale si
conclude che le condizioni soniche (Ma = 1) si possono
realizzare in un condotto convergente-divergente solamente
nella sezione di area minima, detta sezione di gola.
• Il calcolo della portata può essere fatto in qualunque sezione
dalla espressione stessa della portata m = (rUA)locale.
Pagina 7
Flusso in condotti convergenti puri
[
] [1]
dA dU
=
Ma 2 − 1
A
U
• Come si evince dalle precedenti considerazioni, un flusso in
un condotto convergente puro può raggiungere la velocità del
suono in gola o operando da espansore (quindi subsonico) o
da diffusore (supersonico).
• Un discorso analogo si può fare per i condotti puramente
divergenti: in questo caso se si ha la velocità del suono in gola
(quindi Ma =1) o opera da diffusore (quindi subsonico) o da
espansore (supersonico), fermo restando che in quest’ultimo
caso è possibile avere uno scarico subsonico tramite urti.
Pagina 8
• Se parte da condizioni subsoniche il numero di Mach e la
velocità del flusso aumentano, la pressione diminuisce e se la
pressione a valle della gola è uguale o inferiore a quella critica
si raggiungono le condizioni soniche in gola.
• Se parte da condizioni supersoniche si comporta da diffusore,
ovvero velocità e Mach diminuiscono e la pressione aumenta,
e se la pressione a valle (sezione di gola) è uguale a quella
critica si raggiungono le condizioni soniche in gola.
– Se la pressione di valle è inferiore a quella critica allora il flusso è solo
supersonico. Se invece la pressione di valle è superiore si avrà un urto
nel condotto la cui posizione dipende da quanto la pressione allo
scarico è superiore a quella critica.
Pagina 9
• In sintesi, in condizioni di ingresso subsoniche:
– Il flusso subsonico accelera fino al massimo di Ma = 1 in gola;
– La portata ed il relativo Mach in gola dipendono dalla pressione di
valle:
• Pvalle > Pcrit flusso non choked, Mach < 1 ovunque, portata < portatamax
• Pvalle = Pcrit flusso choked, Mach = 1 in gola, Portata = Portatamax
• Pvalle < Pcrit flusso choked, Mach = 1 in gola, Portata = Portatamax post
espansione a valle
• La portata si può calcolare nella sezione di gola:
γ p0
m = ρ ⋅U ⋅ A =
⋅
⋅ F ( Ma) ⋅ A
R T0
Pagina 10
γ p0
m =
⋅
⋅ F ( Ma) ⋅ A
R T0

 (γ − 1)
F ( M ) = Ma1 +
Ma 2 
2


 γ +1
F ( Ma) Ma =1 = 

 2 
m max
γ p0  2 


=A
R T0  γ + 1 
γ +1
2 (γ −1)
−
−
γ +1
2 (γ −1)
γ +1
2 (γ −1)
[4]
Pagina 11
Esempio (1)
• Una galleria del vento supersonica è sostanzialmente
composta da due convergenti divergenti in cui il primo
accelera il flusso da condizioni subsoniche a valori supersonici
ed il secondo riporta il flusso supersonico a valori subsonici.
Pagina 12
Esempio (2)
• Un ugello convergente fornisce aria in condizioni standard
(101kPa e 293K) ed in regime permanente ad un condotto
ricevitore. La sezione di gola del convergente è di 1*10-4m2. Si
determini la portata in massa attraverso il condotto nei due
casi in cui la pressione del ricevitore sia 80kPa e 40kPa.
Pagina 13
Esempio (2)
• Se la pressione del ricevitore è maggiore o uguale a p* allora
la pressione nella sezione di gola sarà uguale a quella del
ricevitore. Se invece pb < pgola allora nella sezione di gola
avremo la pressione critica ed il flusso è choccato.
 p∗ 


= 0.528 ⇒
 p0 γ =1.4
p ∗ = 0.528 ⋅ p0
p0 = 0.528 ⋅ patm ⇒
p ∗ = 53.3kPa
Pagina 14
Esempio (2)
• Caso (a) pb= 80 kPa > p*
p0 
γ −1
2
Mg 
= 1 +
pg 
2

ρ0  γ − 1
2
Mg 
= 1 +
ρg 
2

T0
γ −1
2
Tg
= 1+
2
γ
1
γ −1
γ −1
Mg
U g = Ma g γRTg = 193m / s
• Caso (b) pb= 40 kPa < p*
T∗

T
 0


= 0.833

 k =1.4
U ∗ = 1 ⋅ γRT ∗ = 310m / s
pg= pb
Ma g = 0.587
ρ g = 0.587 kg / m 3
Tg = 269°K
m = ρ g AgU g = 0.0201kg / s
pg= pb
Ma g = 1
T ∗ = 0.833 ⋅ 288 = 240 K
m = ρ g AgU g = ρ ∗ A∗U ∗ = 0.0242kg / s
Pagina 15
Esempio (3)
• Con un tubo di Pitot si misura un rapporto fra pressione
statica e totale pari a 0.82. Posta una temperatura totale di
303.15K si determini la velocità del fluido sia aria oppure elio.
• Caso (a): Aria
γ = 1.4, R = 287 J/(kg*K)
p0 
γ −1

= 1 +
Ma 2 
2
p 

γ
γ −1
Ma = 0.54
U = Ma γRT = 0.54 ⋅ 1.4 ⋅ 287 ⋅ 286 = 183m / s
T0
γ −1
= 1+
Ma 2
T
2
• Caso (b): Elio
Ma = 0.499
T = 286 K
γ = 1.66, R = 2078 J/(kg*K)
U = 0.499 ⋅ 1.66 ⋅ 2078 ⋅ 280 = 490m / s
T = 280 K
Pagina 16
Flusso in condotti convergenti-divergenti
• Supposto noto lo stato di ristagno
all’imbocco (p01, T01), la pressione
di scarico ps è ridotta con
continuità partendo dal valore p01.
• Fino a che la pressione nella
sezione di gola risulta maggiore a
quella critica pg > p*, la velocità del
fluido è ovunque minore di quella
del suono e il condotto si
comporta come un tubo di Venturi
(curve a e b).
Pagina 17
• Una volta che il valore della
pressione ps raggiunge il valore
relativo alla curva c, il flusso
diventa sonico nella sezione di
gola dove quindi la pressione vale
p*.
• Ogni ulteriore diminuzione del
valore di ps non può portare a
variazioni di portata e in generale
del campo di moto nel tratto
convergente.
Pagina 18
• Funzionamento sottoespanso:
Imponendo valori di pressione di
scarico ps tali che r1 < ps/p01< r3
non può essere soddisfatta la
condizione di iso-entropicità. Nel
tratto divergente si ha la
comparsa di un’onda d’urto retto
(si veda prossimo paragrafo) e la
velocità passa da valori
supersonici a valori subsonici con
aumento di pressione, densità e
temperatura (curve d ed e).
Pagina 19
• Funzionamento sottoespanso:
Riducendo il valore della pressione
ps da c ad e la posizione dell’urto
si sposta verso la sezione di uscita
e si ferma in essa per un valore
caratteristico della pressione di
scarico (curva e) in figura. Valori di
ps fra e e g determinano la
formazione di onde d’urto oblique
a valle della sezione di uscita: in
tal caso la velocità del flusso può
restare supersonica.
Pagina 20
• Funzionamento di design: se la
trasformazione è ad entropia
costante, i valori della velocità e
dei parametri termodinamici del
fluido sono mutuamente correlati
e fissati dalle condizioni di monte.
Nella sezione di uscita ci sarà
quindi un valore di pressione r3
che permette l’espansione
isoentropica nell’ugello fino a
velocità di sbocco supersonica per
la portata mmax.
Pagina 21
• Funzionamento sovraespanso:
Diminuendo ulteriormente la
pressione ps rispetto al caso
precedente non si ha un
cambiamento del tipo di flusso
nell’ugello ma solo un
adeguamento dalla pressione
sbocco alla pressione di scarico
attraverso un’espansione libera.
Questa si verifica attraverso un
fenomeno chiamato ventagli
d’espansione (curva h).
Pagina 22
• Si può concludere che per
fissati valori di ristagno per
un gas ideale un ugello
convergente-divergente
prevede un numero infinito
di efflussi subsonicosubsonico e supersonicosupersonico non chokati.
• Viceversa gli efflussi subsonico-subsonico
choccato, supersonico-supersonico chokato,
subsonico-supersonico isentropico e
supersonico-subsonico isoentropico sono unici.
Pagina 23
Riassumendo
Urto retto nel canale divergente
Urto retto sulla sezione di uscita
Urti obliqui a valle del divergente
con urto retto nella zona centrale
Urti obliqui a valle del divergente
Condizione di progetto
Ventagli di espansione
Pagina 24
• La portata può essere ora esplicitata nei vari casi in funzione
del Mach nella sezione di valle , ovvero del Rapporto Ps/P01.
−
γ +1
2 (γ −1)
γ p0
γ p0
 (γ − 1)
2
m = A⋅
Ma1 +
Ma 
= A⋅
⋅
⋅ F (M )
R T0
R T0
2


• Si può esprimere la portata anche in funzione del rapporto di
pressioni ricordando che:
γ
β=
p0  (γ − 1)
 (γ −1)
Ma 2 
= 1 +
p 
2

1−γ

m
p
⋅
2
γ
0 
  =
(1 − β γ
A 
R(γ − 1) T0 
 

• La portata massima per Mach = 1
si può calcolare in gola dove avremo
anche la pressione critica.
β* =
 −1
) ⋅ β γ


p0  (γ + 1) 
=

*
p  2 
γ
(γ −1)
Pagina 25
• Nel caso non-isentropico, ovvero con presenza di urto, la
pressione a valle consente il choking in gola ma il flusso è
subsonico in uscita (casi da c a e), per cui si può calcolare la
portata utilizzando i valori in gola visto che è vincolata ad
avere il valore massimo ammissibile.
β* =
m

A
 g
p0  (γ + 1) 
=

*
p  2 
γ
(γ −1)

 = mmax = γ p0  2 
∗
 γ +1

A
R
T

0 
 max
γ +1
2 (γ −1)
Pagina 26
• Nel caso isentropico, ovvero assenza di urti, la portata può
essere calcolata facilmente anche considerando il valore di
pressione sulla sezione di uscita visto che coincide con quello
allo scarico dell’ugello. Dalla precedente relazione applicata
alla sezione di valle si può quindi ottenere:
β=
p0
 (γ − 1) 2 
M 
= 1 +
pvalle 
2

γ
(γ −1)
1−γ

 m 
p0
2 ⋅γ
 (1 − β γ

 =
R(γ − 1) T0 
 Avalle 

 −1
) ⋅ β γ


Pagina 27
• L’andamento della portata rispetto a quella massima
ammissibile può essere riassunto secondo la curva qui sotto i
cui punto corrispondono ai punti di funzionamento già
evidenziati. Per pressioni inferiori a quella relativa al punto c
non si ha un aumento di portata ma solo una variazione della
fenomenologia nell’ugello convergente-divergente.
Pagina 28
• Rapporto delle aree: Per un flusso chokato attraverso un
ugello convergente-divergente si ha per la continuità:
ρAV = ρ A U
∗
∗
∗
 ρ ∗  U ∗
A

= 
∗
A
 ρ  U



• Facendo uso della definizione di numero di Mach e delle
definizioni degli stati di ristagno e di condizioni critiche si ha:
(γ +1)
2
[2 (γ −1)]
A
1 1 + [(γ − 1) / 2]Ma 
= F1 ( Ma ) =


∗
A
Ma  1 + [(γ − 1) / 2] 
• Quindi fissato il fluido di lavoro e fissato il numero di Mach si
ottengono i rapporti rispetto all’area di gola per l’area delle
sezioni del condotto dove si realizza quel numero di Mach.
Pagina 29
A
1 1 + [(γ − 1) / 2]Ma 
=
=
F
Ma
(
)


1
A∗
Ma  1 + [(γ − 1) / 2] 
2
(γ +1)
γ −1
A
1  2
2 
=
=
+
F
Ma
Ma
(
)
(
1
)

1
A∗
Ma  (γ + 1)
2

[2 (γ −1)]
(γ +1)
[2 (γ −1)]
A∗
Ma
=
(γ +1)
A
[2 (γ −1)]
 2
γ −1
2 
Ma ) 
(1 +

(
)
γ
2
1
+


Pagina 30
A∗
Ma
=
(γ +1)
A
[2 (γ −1)]
 2
γ −1
2 
Ma ) 
(1 +

)
(
γ
2
1
+


Il valore del p/p0 tende a 0 o a
1 quando A*/A tende a 0.
Questo significa che per un
dato rapporto di aree si hanno
due soluzioni fisicamente
accettabili che dipendono dal
valore di p/p0 e dal valore del
Mach in ingresso.
Pagina 31
Esempio (4)
• Un flusso di aria in condizioni standard (p0=101 kPa, T0=288 K)
entra in regime subsonico e attraversa isoentropicamente un
convergente-divergente in condizioni chokate. Le sezioni
dell’ugello sono circolari e la loro area varia rispetto alla
sezione di gola secondo la formula : A=0.1+x2 con x=0 nella
sezione di gola. Il condotto si estende da x=-0.5 a x=+0.5 .
Calcolare la condizione di efflusso isoentropica.
Pagina 32
Esempio (4)
A∗ = 0.1m 2
As = 0.1 + x 2 = 0.35m 2
• Utilizzando le tabelle o applicando le relazioni valide per gli
stati critici si ottiene:
T ∗ = 240 K
ρ ∗ = 0.78kg / m 3 U ∗ = 310m / s
m = ρ ∗ A∗U ∗ = 24.1kg / s
• Si calcolano le proprietà del flusso nella sezione di uscita
utilizzando le tabelle:
A
= 3.5
A∗
Ma = 2.80
p
= 0.036
p0
p = 3.7 kPa
T = 112 K
• Tali valori verificano la condizione di continuità.
Pagina 33
Turbine vane
Urto
A
A*
Pagina 34
Eiettore supersonico
Pagina 35
Shocks in supersonic wind-tunnels
Pagina 36

Cap.3.3 Flussi Comprimibili: Condotti ad Area Variabile

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