Le equazioni del sudoku
Transcript
Le equazioni del sudoku
Le equazioni del Sudoku Di Cristiano Armellini, [email protected] Risolvere un Sudoku significa disporre dei numeri da 1 a 9 in delle caselle in modo che ogni riga ogni colonna e ogni quadrato parziale contenga i numeri da 1 a 9. Se limitiamo la nostra attenzione al quadrato più grande, quello da 9 righe e 9 colonne (Sudoku quindi di 9 quadrati 3 x 3) abbiamo che devono essere rispettati i seguenti vincoli matematici: Vincolo 1) fissata una colonna j, questa dovrà contenere tutti i numeri da 1 a 9, quindi 1, … ,9 , , 1 , 2 3 4 5 6 7 8 9 45 Oppure 1, … ,9 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , , 9! Vincolo 2) fissata una riga i, questa dovrà contenere tutti i numeri da 1 a 9, quindi 1, … ,9 , , 1 , 2 3 4 5 6 7 8 9 45 Oppure 1, … ,9 , , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , Quindi dai primi vincoli deduciamo che ∑ , 9! 45 9 405 , Vincolo 3) ogni elemento del Sudoku deve contenere solo numeri interi da 1 a 9, ovvero , * +1, … ,9, , Vincolo 4) alcuni valori del Sudoku sono già noti, ovvero - ., , Vincolo 5) in ogni riga e in ogni colonna i numeri devono essere tutti diversi 1, … ,9, , / 1, … ,9, , / ,0 , 0, /. , /. Ovviamente queste condizioni devono valere non solo per il quadrato più grande(9x9) ma anche per quelli minori di ordine 3 (3 x 3 ). Nel nostro modello le equazioni non cambiano vanno solo aggiornati gli indici. Teoricamente si potrebbe impostare le equazioni per il quadrato più grande e con un calcolatore (risolutore di equazioni , o ricerca obiettivo di Excel, Libre Office , Open Office) trovare tra tutte le soluzioni quelle che soddisfano le condizioni anche per i quadrati più piccoli. Il problema quindi può essere ricondotto ad un problema di ricerca operativa a variabili intere positive oppure usare un semplice sistema di equazioni lineari. E’ da osservare che ogni quadrato 3 x 3 ha al massimo 9! possibilità (in realtà molte di meno perché molti casi si possono escludere), quindi al massimo le possibilità di un sudoku 9 x 9 non andranno oltre le 9* 9! possibilità ( ma il numero può essere ridotto)