Capitolo 3

Capitolo 3
Serie
3.1
Definizione
Sia {an } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile,
alla somma
a1 + a2 + ... + an + ...
di tutti i termini della successione. Questa operazione formale è detta serie (infinita) di termine
generale an , e viene anche indicata con la scrittura
+∞
P
an
n=1
Nel seguito farà comodo avere la possibilità di cambiare l’indice della sommatoria, in modo da
iniziare a sommare da valori diversi da 1. Se risulta più utile avere a che fare con sommatorie che
iniziano da 4, è sufficiente cambiare n in m = n + 3, per ottenere la scrittura
+∞
X
an =
n=1
+∞
X
am−3 .
m=4
Inoltre, capiterà di avere a che fare con successioni {an } definite per ogni n ≥ 0, ed in quei casi
tratteremo con
+∞
X
an = a0 + a1 + a2 + ...
n=0
Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente
procedimento:
i) Per ogni n ≥ 1 fissato, calcoliamo la somma dei primi n termini della serie
sn =
n
X
ak = a1 + a2 + ... + ak .
k=1
ii) Abbiamo in questo modo ottenuto la successione {sn } , i cui termini sono
37
38
CAPITOLO 3. SERIE
s1 =
s2 =
1
P
ak = a1
k=1
2
P
ak = a1 + a2
k=1
.....
n
P
ak = a1 + a2 + ... + an
sn =
k=1
e questa successione viene detta successione delle somme parziali della serie
+∞
P
an .
n=1
È utile osservare che la costruzione della {sn } a partire dalla {an } avviene in modo iterativo,
perchè sn = sn−1 + an per ogni n ≥ 2. Questo permette di affermare che ogni successione {Sn } è
+∞
P
An ; basta infatti utilizzare A1 = S1 , e
la successione delle somme parziali di una ben precisa
n=1
An = Sn − Sn−1 per n ≥ 2.
Definizione 3.1 Una serie
+∞
P
an è detta convergente, divergente o irregolare , a seconda
n=1
che lo sia la sua successione delle somme parziali.
Determinare il carattere di una serie significa stabilire a quale delle tre precedenti categorie
appartenga.
Le serie convergenti o divergenti sono dette regolari.
Definizione 3.2 Per le serie convergenti, il
lim sn = s ∈ R
n→+∞
è detto somma della serie, ed in questo caso si scrive
s=
+∞
P
an .
n=1
Esempio 1 La serie di termine generale costante an = c ∈ R per ogni n ha ovviamente successione delle somme parziali sn = nc, e quindi è convergente con somma 0 nel caso c = 0,
divergente a +∞ se c > 0, e divergente a −∞ se c < 0.
N
Esempio 2 È immediato calcolare {sn } nel caso della serie di termine generale an = (−1)n .
Infatti s1 = −1, s2 = −1 + 1 = 0, s3 = −1 + 1 − 1 = −1, ....Poichè la somma di due termini
consecutivi dà risultato nullo, la successione {sn } assume i valori −1 e 0, a seconda che n sia
dispari o pari. La serie è perciò irregolare.
N
Esempio 3 La serie di termine generale an = n è divergente a +∞, perchè ha somme parziali
n(n + 1)
.
N
sn =
2
In questi esempi ci è stato possibile ricavare la successione {sn } in modo esplicito, ma questo può
essere, in generale, un compito molto arduo, se non impossibile.
3.2. PROPRIETÀ GENERALI
3.2
39
Proprietà generali
Nell’affrontare lo studio di una serie ci troviamo a cercare una risposta per:
Problema A Determinare il carattere della serie.
Problema B Se la serie è convergente, calcolarne la somma.
Dare una risposta al secondo problema può essere estremamente difficile, come si può notare dalla
Proposizione 3.3 Se i termini delle serie
+∞
P
+∞
P
an e
n=1
di indici, le serie hanno lo stesso carattere.
bn differiscono solo per un numero finito
n=1
Dim. I termini an e bn coincidono per ogni n ≥ N, per cui le rispettive somme parziali di posto
N + m soddisfano
sN+m − tN+m =
=
=
NX
+m
k=1
ak −
ÃN−1
X
k=1
N
−1
X
k=1
N+m
X
ak +
ak −
bk =
k=1
N+m
X
k=N
N−1
X
ak
!
−
ÃN −1
X
k=1
bk +
N+m
X
k=N
bk
!
bk = C .
k=1
Così, la differenza sn − tn è definitivamente costante, e le successioni {sn } e {tn } sono entrambe
convergenti, o divergenti, o irregolari.
Dalla dimostrazione di questa Proposizione si nota che, mentre la modifica di un numero finito di
termini di una serie convergente non ne cambia il carattere, questa operazione può rendere molto
arduo il compito di calcolarne la somma. Per questo motivo ci dedichiamo, nel seguito, a cercare
criteri che permettano di rispondere al Problema A.
Uno di questi criteri è:
Teorema 3.4 Se la serie
+∞
P
an converge, si ha
n=1
lim an = 0 .
n→+∞
Dim. Per ipotesi la successione delle somme parziali {sn } converge al limite finito s. Poichè
an = sn − sn−1 , per n → +∞ abbiamo an → s − s = 0.
Il teorema fornisce una condizione necessaria affinchè una serie converga, e ci dà la possibilità di
individuare facilmente alcune serie che non convergono.
Esempio 4 Le serie di termine generale an = 1, bn = (−1)n , cn = n viste negli esempi precedenti
+∞
P −1/n
2
non converge, in quanto 2−1/n → 1 6= 0.
N
non convergono. Così pure
n=1
La condizione
lim an = 0 non è però sufficiente per garantire la convergenza di una serie, e
n→+∞
quindi il teorema ha un’applicazione limitata. Può infatti accadere che il termine generale an
tenda a zero senza che la serie converga.
40
CAPITOLO 3. SERIE
Esempio 5
+∞
P
1
√
√ .
n
+
1+ n
n=1
√
√
Ovviamente
an → 0; inoltre, moltiplicando e dividendo per ( n + 1 − n) troviamo subito che
√
√
an = n + 1 − n. Così
sn = an + an−1 + ... + a2 + a1
√
√
√
√
√
√
√
= ( n + 1 − n) + ( n − n − 1) + ... + ( 3 − 2) + ( 2 − 1)
√
n + 1 − 1 → +∞
=
N
e quindi la serie diverge a +∞.
Un risultato più completo del precedente fornisce una condizione sia necessaria che sufficiente per
la convergenza di una serie.
Teorema 3.5 (Criterio di Cauchy) La serie
+∞
P
an converge se e solo se è soddisfatta la con-
n=1
dizione di Cauchy per le serie
¯
¯
¯
¯ n+p
¯
¯ P
∀ε > 0 ∃ n = n(ε) : ∀n ≥ n, ∀p ≥ 1 =⇒ ¯
ak ¯ < ε .
¯k=n+1 ¯
Dim. Poichè la convergenza della serie equivale alla convergenza della successione delle somme
parziali {sn }, possiamo utilizzare il Teorema 2.11 per concludere che la serie converge se e solo
se la {sn } soddisfa la condizione di Cauchy
∀ε > 0 ∃ n = n(ε) : ∀n, m ≥ n =⇒ |sm − sn | < ε ,
e chiaramente possiamo pensare che sia n < m = n + p. Così
¯n+p
¯ ¯ n+p
¯
n
¯X
¯ ¯ X
¯
X
¯
¯ ¯
¯
ε > |sm − sn | = ¯
ak −
ak ¯ = ¯
ak ¯
¯
¯ ¯
¯
k=1
k=1
k=n+1
cioè la tesi.
Quest’ultimo teorema è di scarso utilizzo pratico. Per questo motivo decidiamo di cercare condizioni che siano magari solo sufficienti, ma più maneggevoli da applicare.
3.3
Convergenza assoluta
Spesso si fa riferimento alla convergenza di una serie come alla convergenza semplice, per
marcare la distinzione con la seguente proprietà.
+∞
+∞
P
P
Definizione 3.6 La serie
an è assolutamente convergente se è convergente la serie
|an |
n=1
n=1
.
Ovviamente, la nozione di convergenza (semplice) e quella di convergenza assoluta coincidono nel
caso i termini della serie siano tutti (o almeno definitivamente) dello stesso segno. Queste due
nozioni sono legate dal
3.4. SERIE A TERMINI DI SEGNO COSTANTE (I)
41
Teorema 3.7 La convergenza assoluta implica la convergenza.
Dim. Se
+∞
P
|an | è convergente, necessariamente soddisfa la condizione di Cauchy. Mostriamo
n=1
+∞
P
che anche la
an soddisfa la stessa condizione; ciò sarà sufficiente per garantirne la convergenza.
¯
¯
¯ n+p
¯
¯ P
¯
Per ε > 0 fissato, esiste un indice n che garantisce che se n ≥ n e se p ≥ 1, allora ¯
|ak |¯ < ε.
¯k=n+1
¯
n=1
Così, per gli stessi n e p abbiamo
¯ n+p
¯ ¯ n+p
¯
¯ X
¯ ¯ X
¯
¯
¯ ¯
¯
ak ¯ ≤ ¯
|ak |¯ < ε
¯
¯
¯ ¯
¯
k=n+1
cioè la condizione di Cauchy per la serie
k=n+1
+∞
P
an .
n=1
L’enunciato del Teorema 3.7 non è invertibile, nel senso che esistono serie numeriche semplicemente convergenti, ma non assolutamente convergenti. Perciò, la convergenza assoluta rappresenta una condizione sufficiente, ma non necessaria, per la convergenza (semplice) di una serie.
Esempio 6 Non siamo ancora in grado di dimostrarlo, ma più avanti (Proposizione 3.13 ed
Esempio 14) vedremo che la serie
+∞
X
(−1)n+1
n=1
n
=1−
1 1 1
+ − + ...
2 3 4
N
converge semplicemente, ma non assolutamente.
Esempio 7 Più avanti (Esempio 10) saremo anche in grado di dimostrare che la
+∞
P
n=1
cos n
,
n2
i cui termini hanno un segno difficile da determinare, è assolutamente convergente, e quindi
convergente.
N
Nel prossimo paragrafo scopriremo che se il termine an ha (almeno definitivamente) segno costante,
+∞
P
an ; la stessa cosa non è in generale possibile per
è possibile ricavare alcune informazioni su
n=1
serie il cui termine generale ha segno arbitrario. Per queste ultime, il Teorema 3.7 costituisce la
più semplice condizione (seppur solo sufficiente) di convergenza.
3.4
Serie a termini di segno costante (I)
Consideriamo ora serie
+∞
P
an , il cui termine generale an ha segno costante. Per comodità,
n=1
pensiamo di avere an ≥ 0.
Teorema 3.8 Se an ≥ 0 per ogni n, la serie
converge oppure diverge a +∞.
+∞
P
n=1
an è regolare. Più precisamente: la serie è
42
CAPITOLO 3. SERIE
Dim. Abbiamo
sn+1 = sn + an+1 ≥ sn
∀n
e quindi la successione {sn } è monotòna non-decrescente, quindi convergente (se limitata) oppure
divergente a +∞ (vd. par.2.4).
Con un comprensibile abuso di notazione, per queste serie scriviamo
+∞
X
an = +∞
+∞
X
oppure
n=1
an < +∞
n=1
nel caso siano, rispettivamente, divergenti o convergenti.
Teorema 3.9 (Criterio del confronto) Date le serie
+∞
P
an e
n=1
ogni n, si ha:
se
+∞
P
an = +∞
allora
n=1
se
+∞
P
+∞
P
+∞
P
n=1
bn , con 0 ≤ an ≤ bn per
bn = +∞;
n=1
bn < +∞
allora
n=1
Dim. Le successioni delle somme parziali sn =
+∞
P
an < +∞.
n=1
n
P
k=1
ak e tn =
n
P
k=1
bk soddisfano sn ≤ tn .
Corollario 3.10 Se esistono due costanti C, c > 0 per la quali
can ≤ bn ≤ Can
le serie
+∞
P
an e
n=1
+∞
P
definitivamente
bn sono entrambe convergenti, o entrambe divergenti.
n=1
In particolare, questo vale se an ∼ bn .
Osservazione Per quanto detto nella Proposizione 3.3, le tesi del Teorema 3.9 e del Corollario
3.10 rimangono valide anche se le ipotesi non sono verificate per ogni n, ma lo sono definitivamente.
Il Criterio del confronto, ed il suo corollario, sono strumenti estremamente utili per stabilire il
comportamento di una serie a termini non-negativi, perchè permettono di ricondurre il problema
+∞
P
bn , in cui bn è “difficile” da trattare, a quello della convergenza
della convergenza di una serie
di una serie
+∞
P
n=1
an in cui an ha un comportamento confrontabile con quello di bn , ma un aspetto
n=1
più semplice.
Chiaramente, l’utilizzabilità di questi criteri è tanto più ampia quanto più è ricco l’elenco di “serie
campione” di cui è noto il comportamento; il prossimo paragrafo contiene lo studio di alcune serie
particolari.
Concludiamo questa prima sezione di risultati teorici per serie a termini non-negativi con un
risultato che lega serie ed integrali impropri.
3.5. ALCUNE “SERIE CAMPIONE”
43
Teorema 3.11 (Criterio integrale) Sia f : [1, +∞) → R una funzione non-negativa e monotòna non-crescente. Allora
Z
+∞
X
+∞
f (x)dx
e
1
f (n)
n=1
sono contemporaneamente convergenti oppure divergenti.
Dim. Per ogni k intero l’integrale di f esteso all’intervallo [k, k + 1] soddisfa
Z k+1
f (k + 1) ≤
f (x)dx ≤ f (k)
k
perchè f è monotòna e non-negativa. Sommando
sn − f (1) =
n
X
f (k) =
k=2
k=1
Da qui segue la tesi, perchè
3.5
n−1
X
Rn
1
f (k + 1) ≤
f (x)dx →
R +∞
1
Z
1
n
f (x)dx ≤
n−1
X
k=1
f (k) = sn−1 ≤ sn .
f (x)dx in quanto f ha segno costante.
Alcune “serie campione”
Riportiamo alcune Proposizioni che descrivono il comportamento di alcune serie. Le dimostrazioni
di questi risultati possono essere ottenute anche in modo diverso da quello proposto, utilizzando
i criteri fin qui incontrati.
Proposizione 3.12 (Serie geometrica) La serie
+∞
X
n=0
q n = 1 + q + q 2 + q 3 + ... , q ∈ R
è detta serie geometrica di ragione q. Questa serie converge alla somma
diverge a +∞ se q ≥ 1, ed è irregolare se q ≤ −1.
1
nel caso |q| < 1,
1−q
Dim. La serie ha termini non-negativi solo nel caso q ≥ 0. Nel caso q = 1 abbiamo chiaramente
sn = n + 1 → +∞; inoltre, anche nel caso q 6= 1 siamo in grado di calcolare esplicitamente la
successione delle somme parziali
sn = sn (q) = 1 + q + ... + qn =
1 − q n+1
(1 + q + ... + q n )(1 − q)
=
.
1−q
1−q
Se ne ricava che
lim sn (q) =
n→+∞

 +∞

1
1−q
@
se q ≥ 1
se − 1 < q < 1
se q ≤ −1
44
CAPITOLO 3. SERIE
da cui segue la tesi.
qN
.
1−q
n=N
Osservazione Una parte delle risposte fornite da questa Proposizione può anche essere ottenuta
in altro modo. Infatti, dalla divergenza della serie per q = 1 si ottiene, per il Criterio del confronto,
che la serie diverge a +∞ per ogni q ≥ 1. Per q ≤ −1 non ci può essere convergenza, perchè il
termine generale non tende a zero (vd. Teorema 3.4).
Osservazione In modo simile si ottiene che, per |q| < 1,
+∞
P
qn =
Esempio 8 La Proposizione 3.12 può essere utilizzata per scrivere sotto forma di frazione un
numero periodico. Ad esempio
37
37
37
37
+
+ ... = 2 + 4 + ...
100 10000
10
10
+∞
¢
37 ¡
37 X ¡ −2 ¢n
10
1 + 10−2 + 10−4 + ... =
100
100 n=0
0, 37 = 0, 3737... =
=
=
1
37
37
= .
−2
100 1 − 10
99
N
.
Esempio 9 In modo simile, abbiamo:
8
8
8
3
+
+
+
+ ...
10 100 1000 10000
+∞
¢
3
8 ¡
8 X ¡ −1 ¢n
3
+
+
10
1 + 10−1 + 10−2 + ... =
10 100
10 100 n=0
0, 38 = 0, 3888... =
=
=
8
1
3
35
+
= .
10 100 1 − 10−1
90
N
.
Proposizione 3.13 (Serie armonica) La serie
+∞
X
1 1
1
= 1 + + + ...
n
2 3
n=1
diverge a +∞.
R +∞
1
, x ≥ 1, è positiva e decrescente, e 1 (1/x) dx non converge. Per
x
il Criterio integrale (Teorema 3.11) abbiamo la tesi.
Dim. La funzione f (x) =
Osservazione La serie armonica fornisce un altro esempio di serie in cui la condizione lim an =
n→+∞
0 non è sufficiente per garantire la convergenza della serie (vd. Teorema 3.4 ed Esempio 5).
3.5. ALCUNE “SERIE CAMPIONE”
45
Proposizione 3.14 (Serie armonica generalizzata) La serie
+∞
X
1
1
1
= 1 + p + p + ...
p
n
2
3
n=1
(p ∈ R)
converge se e solo se p > 1. Per p ≤ 1 diverge a +∞.
Dim. È una serie a termini positivi, quindi convergente oppure divergente a +∞ (Teor.3.8).
Se p ≤ 0 il termine generale non tende a 0, e quindi la serie diverge (Teor. 3.4). Se p > 0,
1
applichiamo il Criterio integrale (Teor. 3.11) alla funzione positiva e decrescente f (x) = p ,
x
x ≥ 1.
Esempio 10 La serie
.
+∞
P
cos n
incontrata nell’Es.7 è assolutamente convergente, perchè
2
n=1 n
¯ cos n ¯
1
¯
¯
¯ 2 ¯ ≤ 2.
n
n
Esempio 11 Il termine generale della serie di Mengoli
N
+∞
P
1
soddisfa la relazione
n(n
+ 1)
n=1
1
1
∼ 2 , e quindi, per il Corollario 3.10 e la Proposizione 3.14 la serie converge. In
n(n + 1)
n
realtà, di questa serie siamo anche in grado di calcolare la somma. Infatti il suo termine generale
può essere scritto come
1
1
1
= −
an =
n(n + 1)
n n+1
per cui
sn
¶ µ
¶ µ
¶
µ
¶
µ
1 1
1 1
1
1
1
+
−
+
−
+ ... +
−
=
1−
2
2 3
3 4
n n+1
1
1
1
1 1 1 1 1
=1−
= 1 − + − + − + ... + −
2 2 3 3 4
n n+1
n+1
per via delle cancellazioni. Così, sn → 1, e la serie di Mengoli ha somma 1.
(Somme finite di questo tipo, in cui tutti i termini tranne il primo e l’ultimo si cancellano, sono
anche dette somme telescopiche.)
A titolo di curiosità: è possibile dimostrare (ma non con le tecniche di cui disponiamo ora) che
+∞
P 1
π2
.
N
=
2
6
n=1 n
Sempre utilizzando il Criterio integrale (Teor. 3.11) è possibile ottenere il seguente risultato, che
estende quanto detto per la serie armonica generalizzata.
Proposizione 3.15 La serie
+∞
X
1
p (log n)q
n
n=2
p, q ∈ R
converge solo nei casi:
p > 1, q qualsiasi
oppure
p = 1, q > 1 .
46
3.6
CAPITOLO 3. SERIE
Serie a termini di segno costante (II)
Il Criterio integrale non è l’unico strumento che ci permette di stabilire se una serie a termini
non-negativi converge. Tra le varie altre condizioni, segnaliamo le più note.
Teorema 3.16 (Criterio del Rapporto) Sia
+∞
P
an una serie a termini positivi.
n=1
·) Se lim sup
n→+∞
·) Se
+∞
P
an+1
< 1, la serie
an converge.
an
n=1
+∞
P
an+1
≥ 1 definitivamente, la serie
an diverge.
an
n=1
an+1
an+1
Dim. Se lim sup
< 1, esiste δ ∈ (0, 1) per cui lim sup
< δ < 1 e, per il Teor. 2.15,
a
n→+∞
n→+∞ an
n
an+1
abbiamo
< δ se n ≥ n = n(δ). Perciò
an
an < δan−1 < δ 2 an−2 < ... < δ n−n an
∀n > n
Così an è definitivamente maggiorabile con il termine generale di una serie geometrica convergente,
+∞
P
e quindi
an converge.
n=1
Se invece an+1 ≥ an per ogni n ≥ n, la successione{an } non può tendere a zero.
Corollario 3.17 Sia
+∞
P
an una serie a termini positivi, per la quale esiste
n=1
[0, +∞]. Allora:
·) se ` < 1, la serie
·) se ` > 1, la serie
Osservazione Quando lim sup
n→+∞
+∞
P
lim
n→+∞
an+1
=`∈
an
an converge;
n=1
+∞
P
an diverge.
n=1
an+1
= 1 questo criterio è inconcludente. Ad esempio, tutte le
an
+∞
P
1
, p ∈ R, soddisfano questa condizione.
p
n
n=1
Esempio 12 La serie
+∞ n
X
x
n=0
n!
=1+x+
x2 x3
+
+ ..., x ∈ R
2!
3!
è detta serie esponenziale. Possiamo mostrare che converge assolutamente per ogni x ∈ R. Se
x = 0 è ovvio, mentre per x 6= 0 poniamo an = |xn | /n! ed abbiamo
an+1
|x|n+1 n!
|x|
→ 0 < 1.
=
n =
an
(n + 1)! |x|
n+1
3.6. SERIE A TERMINI DI SEGNO COSTANTE (II)
47
Questa serie deve il nome al fatto che si può dimostrare
+∞ n
X
x
n=0
n!
= ex
dove e è il numero di Nepero. Perciò
¶
µ
+∞
X
1
1 t
.
lim 1 +
=e=
t→+∞
t
n!
n=0
N
.
Teorema 3.18 (Criterio della Radice) Sia
√
λ = lim sup n an . Allora:
n→+∞
+∞
P
an una serie a termini non-negativi, e sia
n=1
+∞
P
·) se λ < 1, la serie
·) se λ > 1, la serie
+∞
P
an diverge.
n=1
Dim. Se λ < 1, esiste µ ∈ (0, 1) per cui lim sup
n→+∞
√
n a < µ se n ≥ n = n(δ). Perciò
n
an < µn
an converge;
n=1
√
n a
n < µ < 1 e, per il Teor. 2.15, abbiamo
∀n > n.
Così an è definitivamente maggiorabile con il termine generale di una serie geometrica convergente,
+∞
P
e quindi
an converge.
n=1
©√ ª
Se invece λ > 1, dalla Definizione 2.12 segue che esiste una sottosuccessione di n an che
converge a λ, e quindi {an } non può tendere a 0.
Corollario 3.19 Sia
+∞
P
an a termini non-negativi, e supponiamo esista
n=1
[0, +∞]. Allora:
·) se λ < 1, la serie
·) se λ > 1, la serie
+∞
P
lim
n→+∞
an converge;
n=1
+∞
P
an diverge.
n=1
Osservazione Anche in questo caso, se λ = 1 il criterio è inconcludente. Tutte le
soddisfano questa condizione.
√
n a
n = λ ∈
+∞
P
1
, p ∈ R,
p
n
n=1
48
CAPITOLO 3. SERIE
Esempio 13 La serie
+∞
P
n=1
Invece la serie
µ
n
2n + 1
¶n
converge, in quanto
√
n
an =
1
n
→ .
2n + 1
2
(n + 1)n
n+1
√
diverge, perchè n an =
→ +∞.
3n
e
e3
n=1
+∞
P
N
Osservazione Il Criterio della Radice è spesso più difficile da utilizzare rispetto al Criterio del
Rapporto, ma ha uno spettro di applicabilità maggiore. Questo significa che se il Teorema 3.16
fornisce una risposta, la (stessa) risposta si ottiene con il Teorema 3.18; se invece il Criterio della
Radice non dà risposta, lo stesso accade con il Criterio del Rapporto. La dimostrazione di questo
fatto esula dai limiti che ci poniamo per questi appunti.
3.7
Serie a termini di segno alternato
Tornando ad esaminare serie i cui termini non hanno segno costante, c’è un caso (molto particolare) per il quale si riesce ad ottenere un criterio di convergenza diverso da quello che coinvolge
la convergenza assoluta (Teorema 3.7). Si tratta di serie del tipo
+∞
X
(−1)n−1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + ...
n=1
dove an > 0 per ogni n. Tutti i termini di indice dispari sono non-negativi, e quelli di indice pari
sono non-positivi; sono dette serie a termini di segno alternato.
+∞
P
Ovviamente la convergenza assoluta, cioè la convergenza di
an , implica la convergenza della
+∞
P
n=1
(−1)n−1 an ; per ottenere la convergenza semplice vi è però anche un altro criterio.
n=1
Teorema 3.20 (Criterio di Leibniz) Sia {an } una successione positiva, non-crescente e infinitesima, cioè:
·) 0 < an+1 ≤ an per ogni n;
·) lim an = 0.
n→+∞
Allora la serie
+∞
P
(−1)n−1 an converge.
n=1
Inoltre, la differenza (in valore assoluto) tra la somma s e la somma parziale n-sima sn non
supera il valore assoluto del primo termine trascurato, cioè:
|s − sn | ≤ an+1
∀n ≥ 1.
Dim. La successione {s2n+1 } delle somme parziali di indice dispari è non-crescente, perchè
s2n+1 = s2n−1 − (a2n − a2n+1 ) ≤ s2n−1 ;
allo stesso modo si dimostra che {s2n } è non-decrescente. Così
3.8. PROPRIETÀ COMMUTATIVA
49
s2 ≤ s4 ≤ ... ≤ s2n ≤ s2n+1 ≤ ... ≤ s3 ≤ s1
e questo mostra che le due successioni {s2n+1 } e {s2n } sono monotòne e limitate, quindi convergenti. Inoltre
s2n+1 − s2n = a2n+1 → 0
e quindi {s2n+1 } e {s2n } convergono, la prima per eccesso e la seconda per difetto, allo stesso
limite s.
Infine
0 ≤ s − s2n ≤ s2n+1 − s2n = a2n+1
e
0 ≤ s2n+1 − s ≤ s2n+1 − s2n+2 = a2n+2
da cui segue la tesi.
+∞
P
1
1
converge, perchè decresce monotonamente a 0. Abbiamo
n
n
n=1
perciò giustificato quanto affermato nell’Esempio 6.
N
Esempio 14 La serie
3.8
(−1)n−1
Proprietà commutativa
In questo paragrafo ci occupiamo dei riordinamenti di una serie.
+∞
+∞
P
P
an un suo riordinamento è la serie
bn che si ottiene ”rimescolando” l’ordine
Data la serie
n=1
n=1
dei termini an . Questo significa che tra i termini {an } ed i termini {bn } vi è una corrispondenza
biunivoca, ed è solo cambiato l’ordine in cui compaiono. In modo più formale, esiste una corrispondenza biunivoca φ : N → N tra gli indici, ed i termini delle serie sono legati dalla relazione
bn = aφ(n) .
Siamo interessati a rispondere alla domanda:
”Per quali serie convergenti
che ogni riordinamento
+∞
P
+∞
P
an possiamo garantire
n=1
bn è ancora convergente e
n=1
ha la stessa somma?”
Le serie per cui questo accade sono dette incondizionatamente convergenti.
Senza dimostrazioni, riportiamo il più significativo risultato in questa direzione.
Teorema 3.21 (Dirichlet) La serie
+∞
P
n=1
assolutamente convergente.
an è incondizionatamente convergente se e solo se è
50
CAPITOLO 3. SERIE
Segnaliamo che una della due implicazioni di questo teorema segue dall’elegante
Teorema 3.22 (Riemann) Sia
+∞
P
an una serie che converge semplicemente, ma non assolu-
n=1
tamente. Allora, comunque fissati −∞ ≤ α ≤ β ≤ +∞, la serie data ammette un riordinamento
+∞
P
bn la cui successione delle somme parziali {tn } ammette α come limite inferiore e β come
n=1
limite superiore.