I parte 02.07.13 - Dipartimento di Matematica
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I parte 02.07.13 - Dipartimento di Matematica
Prova di Matematica e Statistica - Prima Parte c.l. in Biotecnologie - 2 luglio 2013 Cognome e Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Es.5 (1) Sia f : Z → Z l’applicazione definita ponendo, per ogni x ∈ Z, x − 6 se x è multiplo di 3 f (x) = 3 2x + 1 altrimenti Es.6 Tot . a) Si discuta se l’applicazione f è iniettiva. b) Si discuta se l’applicazione f è suriettiva. c) Si dica se esiste, e in caso affermativo si determini esplicitamente, una funzione g : Z → Z tale che l’applicazione composta g ◦ f sia l’identità di Z. 1 (2) Si consideri la funzione reale di variabile reale y = f (x) = x − 2 −x e . x−3 Se ne studino: dominio, segno, limiti significativi, continuità, eventuali asintoti, derivabilità, crescenza, eventuali massimi e minimi, grafico. 2 (3) Dopo aver calcolato il polinomio di Taylor di grado 5 di f (x) = ex − e−x nel punto x0 = 0, si discuta al variare del parametro reale λ > 0 la convergenza dell’integrale generalizzato Z 1 tg2λ x dx. x −x 0 2x − e + e 3 (4) Si calcolino i seguenti integrali: Z a) 0 1 1 dx, ex + e−x Z b) 1 dx, sin x cos x 4 Z c) 1 e ln x dx. x3 (5) Sia f : R → R un’applicazione continua, e sia 1/x Z g(x) = f (t) dt. 0 a) Si spieghi per quale motivo la funzione g(x) è infinitesima per x → +∞. b) Si dimostri che lim x g(x) = f (0). x→+∞ c) È vero che la funzione x g 0 (x) è infinitesima per x → +∞? Perchè? 5 (6) Un serbatoio cilindrico con sezione di base avente area pari a 1 dm2 contiene dell’acqua piovana che raccoglie dalla sua sommità aperta. Dal fondo poroso esso perde una quantità d’acqua la cui portata oraria è direttamente proporzionale al livello raggiunto al suo interno secondo una costante di proporzionalità pari a 1/10. Sapendo che immediatamente prima dell’ultima pioggia esso conteneva 1 dm3 d’acqua, e che dopo 10 ore di pioggia il suo contenuto è divenuto pari a 2 dm3 d’acqua, stabilire la portata media dell’acqua piovana entrata nel serbatoio durante le 10 ore di pioggia. (Suggerimento: se y = y(t) esprime il volume d’acqua - espresso in dm3 - presente nel serbatoio al tempo t - espresso in ore - e se p esprime la portata media dell’acqua piovana entrata nel serbatoio, allora y 0 (t) = p − y(t)/10 - si spieghi perchè; risolvendo l’equazione differenziale e tenendo conto dei dati iniziali e finali...) 6