lucidi-1 - Dipartimento di Matematica

a.a. 2011/12
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
L’insieme dei numeri reali
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
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Definizione assiomatica di R
Definizione
L’insieme dei numeri reali R è un campo ordinato che soddisfa la
proprietà dell’estremo superiore.
Campo ordinato ???
Estremo superiore ???
Questi concetti sono stati introdotti nel corso di Matematica Discreta.
Data l’importanza che rivestono in questo corso, li rivediamo
brevemente.
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Operazioni in R
Dire che R è un campo significa dire che in R sono definite le
operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·) con le seguenti
proprietà:
a + b somma
Proprietà commutativa:
a, b addendi
a + b = b + a,
a·b =b·a
a · b prodotto
a, b fattori
Proprietà associativa:
(a + b) + c = a + (b + c),
(a · b) · c = a · (b · c)
Proprietà distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
Esistenza degli elementi neutri:
esistono in R due numeri distinti 0 e 1 tali che
a + 0 = a,
a·1=a
(segue)
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Esistenza degli inversi:
per ogni numero reale a esiste un unico numero reale, che si denota
con −a e si chiama opposto di a , tale che
a + (−a) = 0;
per ogni numero reale a 6= 0 esiste un unico numero reale, che si
denota con a−1 e si chiama reciproco di a , tale che
a · a−1 = 1.
Tramite gli inversi si definiscono le operazioni inverse:
la sottrazione si definisce per ogni a, b , ponendo
a − b := a + (−b);
↓
perché?
la divisione si definisce per ogni a e per ogni b 6= 0, ponendo
a
:= a · b −1 .
b
1
(In particolare, = b −1 .)
b
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Ordinamento in R
Dire che R è un campo ordinato significa dire che in R è definita una
relazione d’ordine totale ≤, detta relazione di minore o uguale, con le
seguenti proprietà:
Compatibilità rispetto all’addizione:
per ogni a, b, c : a ≤ b =⇒
a+c ≤b+c
Compatibilità rispetto alla moltiplicazione:
per ogni a, b, c : a ≤ b, 0 ≤ c =⇒
a·c ≤b·c
Ricordiamo che una relazione binaria R si dice relazione d’ordine se
soddisfa le proprietà
• riflessiva: a R a ;
• transitiva:
a R b, b R c
• antisimmetrica:
=⇒
a R b, b R a
a R c;
=⇒
a = b.
Una relazione d’ordine R è totale se per ogni a, b si ha a R b oppure
b R a . Esempio di relazione d’ordine non totale?
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A partire da ≤ si definisce la relazione d’ordine ≥ (maggiore o
uguale), ponendo
def
a ≥ b ⇐⇒ b ≤ a
Si definiscono anche < (minore) e > (maggiore):
def
a < b ⇐⇒ a ≤ b ∧ a 6= b
def
Sono relazioni d’ordine?
a > b ⇐⇒ a ≥ b ∧ a 6= b
Terminologia
Se a ≥ 0, diciamo che a è positivo;
se a > 0, diciamo che a è strettamente positivo;
se a ≤ 0, diciamo che a è negativo;
se a < 0, diciamo che a è strettamente negativo.
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Conseguenze delle proprietà relative alle operazioni e all’ordinamento
A partire dalle proprietà richiamate si possono dedurre in modo
rigoroso le usuali regole di calcolo. Alcuni esempi:
Regole di semplificazione:
a + b = a + c =⇒ b = c
a · b = a · c ∧ a 6= 0 =⇒ b = c
Regola di annullamento del prodotto:
a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 oppure b = 0
Regole dei segni:
−(−a) = a, (−a) · b = −(a · b),
Attenzione!!!
Vale solo se il numero
a secondo membro è 0
(−a) · (−b) = a · b
a ≤ b ⇐⇒ −a ≥ −b
Per queste e altre regole vedere Regole di calcolo
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Alcuni sottoinsiemi speciali di R
Insieme dei numeri naturali
N := {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
N∗ := N \ {0}
Insieme dei numeri interi (relativi)
Z := {0, ±1, ±2, ±3, ±4, . . .}
Z∗ := Z \ {0}
Insieme dei numeri razionali (classi di equivalenza. . . )
nm o
Q :=
m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
n
Q∗ := Q \ {0}
Insieme dei numeri irrazionali R \ Q
Osservazioni
N⊂Z⊂Q
N e Z non sono campi ordinati
Q è un campo ordinato (come R)
Come si distinguono gli elementi
di Q da quelli di R \ Q?
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Parentesi: rappresentazione decimale
Un allineamento decimale è un’espressione della forma
±c0 . c1 c2 c3 . . .
(∗)
dove c0 è un numero naturale e c1 , c2 , . . . ∈ {0, 1, 2, . . . , 8, 9}.
Un allineamento decimale si dice finito se nella sua rappresentazione
decimale le cifre c1 , c2 , . . . diverse da 0 sono in numero finito.
In questo caso, (∗) si interpreta come somma finita:
c1
ck ± c0 +
+ · · · + k , per un k ∈ N opportuno.
10
10
In caso contrario, l’allineamento decimale si dice infinito.
Per interpretare correttamente (∗) è necessaria la nozione di serie
numerica convergente, che si basa sulla nozione di limite.
(Ne parleremo in seguito.)
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Se esiste un blocco di cifre che si ripete, l’allineamento decimale si
dice periodico.
Un allineamento decimale infinito con periodo 9 si identifica con un
allineamento decimale finito. Per esempio: 4.9̄ = 5, 4.359̄ = 4.36.
Osservazioni
• Possiamo ottenere la rappresentazione decimale di un numero
razionale eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore.
• L’allineamento decimale corrispondente a un numero razionale
è necessariamente finito oppure infinito periodico.
Perché?
• Vale anche il viceversa: a ogni allineamento decimale finito
oppure infinito periodico corrisponde un numero razionale.
(Decimale finito: immediato; infinito periodico: lo vedremo in seguito)
• I numeri irrazionali sono in corrispondenza biunivoca con gli
allineamenti decimali infiniti non periodici.
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Esempi di numeri irrazionali:
1. 234 567 891 011 121 314 151 617 181 920 . . .
0. 101 001 000 100 001 000 001 000 000 1000 . . .
π = 3. 141 592 653 589 791 . . .
√
2 = 1. 414 213 562 . . .
si “intuisce”
dall’allineamento
si dimostra
Osservazione
È impossibile scrivere l’allineamento decimale completo di un numero
irrazionale; nella pratica si ricorre perciò all’approssimazione con
allineamenti decimali finiti, cioè con numeri razionali.
Ciò va tenuto ben presente; per esempio, non è corretto scrivere
π = 3.14; la scrittura corretta è π ' 3.14.
(fine della parentesi)
Abbiamo già detto che Q è un campo ordinato, come R; a differenza
di R, Q non soddisfa la proprietà dell’estremo superiore. Che cos’è?
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La proprietà dell’estremo superiore
Sia X un qualunque insieme totalmente ordinato.
Sia E un sottoinsieme non vuoto di X .
Diciamo che E è limitato superiormente in X se esiste un
maggiorante di E in X , cioè un β ∈ X tale che
x ≤ β per ogni x ∈ E .
Sia E limitato superiormente in X . Supponiamo che esista λ ∈ X ,
maggiorante di E , soddisfacente la seguente proprietà:
se γ ∈ X e γ < λ, allora γ non è un maggiorante di E .
Allora λ si chiama l’estremo superiore di E in X e si denota con
il simbolo sup E . Articolo determinativo?
Diciamo che X soddisfa la proprietà dell’estremo superiore se ogni
sottoinsieme di X non vuoto e limitato superiormente ha estremo
superiore in X . Esplicitare . . .
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Abbiamo cosı̀ dato significato a tutti i termini che compaiono nella
definizione di R data all’inizio, e che ricordiamo:
R è un campo ordinato che soddisfa la proprietà dell’estremo
superiore.
Nota: questa definizione è ben posta in quanto due campi ordinati
soddisfacenti la proprietà dell’estremo superiore sono identificabili.
Osservazione
Abbiamo già affermato che Q non soddisfa la proprietà dell’estremo
superiore. Ciò equivale a dire che esistono sottoinsiemi di Q, non
vuoti e limitati superiormente, che non hanno estremo superiore in Q.
Esempio: E = q ∈ Q | q > 0, q 2 < 2
q 2 := q · q
Verifica: vedi Complementi
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Alcune conseguenze della proprietà dell’estremo superiore
1
Proprietà archimedea di R
Per ogni x, y ∈ R, con x, y > 0, esiste n ∈ N∗ tale che n x > y .
Dimostrazione . . .
2
Proprietà di densità di Q in R
Per ogni x, y ∈ R, con x < y , esiste q ∈ Q tale che x < q < y .
Dimostrazione . . .
Osservazione
Dalla proprietà archimedea, con x = 1, segue che l’insieme N non è
limitato superiormente.
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Estremo superiore e massimo
Sia E ⊂ R un insieme non vuoto limitato superiormente.
La proprietà dell’estremo superiore garantisce l’esistenza del numero
reale sup E che, per definizione, è il più piccolo dei maggioranti di E .
Se sup E appartiene a E , diciamo che sup E è il massimo di E e lo
denotiamo con max E .
Osservazioni
• sup E esiste sempre, mentre non è detto che max E esista;
• se esiste, max E coincide con sup E ;
• se esiste, max E è l’unico maggiorante di E che appartiene a E .
Esempi: determinare l’estremo superiore degli insiemi
n − 1 1 E :=
n ∈ N , F :=
n ∈ N ,
2n
n+1
stabilendo se è anche massimo.
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Estremo inferiore e minimo
Sia ora E ⊂ R un insieme non vuoto limitato inferiormente, cioè tale
che esista un minorante di E , cioè un α ∈ R tale che
x ≥ α per ogni x ∈ E .
Esiste allora il più grande dei minoranti di E , che si chiama estremo
inferiore di E e si denota con inf E . Giustificare . . .
Se inf E appartiene a E , diciamo che inf E è il minimo di E e lo
denotiamo con min E .
Osservazioni
• inf E esiste sempre, mentre non è detto che min E esista;
• se esiste, min E coincide con inf E ;
• se esiste, min E è l’unico minorante di E che appartiene a E .
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Insiemi limitati e insiemi illimitati
Sia E ⊆ R un insieme non vuoto.
Se è limitato sia superiormente che inferiormente diciamo che
E è limitato.
Se E non è limitato superiormente, diciamo che è illimitato
superiormente e scriviamo sup E = +∞.
Si legge: più infinito
Se E non è limitato inferiormente, diciamo che è illimitato
inferiormente e scriviamo inf E = −∞.
Si legge: meno infinito
Esplicitare . . .
Osservazioni
• +∞ e −∞ sono due simboli e non due numeri reali.
• Poniamo R := R ∪ {−∞, +∞}.
Ogni insieme non vuoto ha in R estremo superiore [inferiore],
finito o infinito a seconda che l’insieme sia limitato o illimitato
superiormente [inferiormente].
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Rappresentazione geometrica di R
Sia data una retta r .
Fissiamo su r due punti distinti O (origine) e U (punto unità);
essi individuano:
• un verso di percorrenza positivo sulla retta, quello che porta
da O a U ;
• una unità di misura, cioè il segmento OU .
La retta r prende il nome di retta orientata.
A ogni numero reale associamo un unico punto sulla retta orientata.
Procedimento. . .
Osservazione
La relazione d’ordine in R si interpreta graficamente.
Per esempio, se la retta orientata è disposta orizzontalmente e il verso
di percorrenza positivo è quello che va da sinistra verso destra, si ha:
x < y se e solo se il punto corrispondente a x è a sinistra del punto
corrispondente a y . Come si interpreta la proprietà di densità?
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La corrispondenza ottenuta secondo il procedimento descritto è
biunivoca.
(Questa affermazione, che prende il nome di assioma di completezza,
è equivalente all’assioma dell’estremo superiore.)
Possiamo pertanto identificare ogni numero reale x con il punto Px
che corrisponde a x sulla retta orientata r .
Sottointendendo questa identificazione, l’insieme R sarà chiamato
retta reale e l’insieme R sarà chiamato retta reale ampliata.
Come possiamo visualizzare −∞ e +∞?
Alcune corrispondenze tra concetti “numerici” e concetti “geometrici”:
concetto geometrico
concetto numerico
segmento
intervallo limitato
99K
semiretta
intervallo illimitato
99K
distanza
valore assoluto
99K
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Intervalli limitati
Siano a, b ∈ R, con a ≤ b :
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
intervallo chiuso
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b}
intervallo aperto
[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b}
int. chiuso a sinistra, aperto a destra
(a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}
int. aperto a sinistra, chiuso a destra
Alcuni scrivono ]a, b[ invece di (a, b) , e analogamente negli altri casi.
Intervalli illimitati
Sia a ∈ R:
[a, +∞) := {x ∈ R | x ≥ a}
interv. chiuso illimitato superiormente
(a, +∞) := {x ∈ R | x > a}
interv. aperto illimitato superiormente
(−∞, a] := {x ∈ R | x ≤ a}
interv. chiuso illimitato inferiormente
(−∞, a) := {x ∈ R | x < a}
interv. aperto illimitato inferiormente
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Casi particolari:
[a, a] = {a};
(a, a) = [a, a) = (a, a] = ∅
R+ := [0, +∞), R− := (−∞, 0]
R∗+ := (0, +∞), R∗− := (−∞, 0)
Altre scritture utili
R =: (−∞, +∞), R∗ := R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
↑ Notazione in [BPS] . . .
Esempi
Rappresentare gli intervalli [−1, 2) e (1, +∞) e determinare
[−1, 2) ∪ (1, +∞),
[−1, 2) ∩ (1, +∞),
[−1, 2) \ (1, +∞)
Determinare l’estremo superiore e inferiore di ciascuno dei seguenti
intervalli, specificando se si tratta di massimo e minimo:
[1, 3)
[0, 2]
(0, π]
(−∞, 2)
[3, +∞)
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Osservazione
Ciascuno degli insiemi che abbiamo chiamato intervallo ha la proprietà
che comunque si scelgano x e y in esso, tutti i numeri compresi tra
x e y vi appartengono.
Questa è una proprietà caratteristica degli intervalli.
Non tutti i sottoinsiemi di R sono intervalli. Per esempio:
• l’insieme dei numeri naturali N non è un intervallo;
• l’insieme R∗ non è un intervallo.
Esempio
Stabilire se ciascuno dei seguenti insiemi è un intervallo:
A = {x ∈ R | 3 ≤ x ≤ 7},
A∪B,
A∩B,
B \ A,
B = {x ∈ R | x ≥ 5}
R\A
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Per ogni numero reale x si chiama valore assoluto (o modulo) di x
il numero reale, denotato con |x|, definito ponendo
x se x ≥ 0
|x| :=
−x se x < 0.
Osservazioni
• |x| coincide con la distanza dall’origine del punto che corrisponde
al numero x sulla retta orientata. Giustificare . . .
• |x − y | coincide con la distanza tra i punti corrispondenti ai
numeri x e y sulla retta orientata. Giustificare . . .
Proprietà immediate del valore assoluto
• |x| ≥ 0 per ogni x ∈ R
• |x| = 0 ⇐⇒ x = 0;
|x| > 0 ⇐⇒ x 6= 0
• |−x| = |x| per ogni x ∈ R
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Ulteriori proprietà del valore assoluto
• r > 0, |x| = r
⇐⇒ x = −r oppure x = r
|x| < r ⇐⇒ −r < x < r
|x| > r ⇐⇒ x < −r oppure x > r
• r < 0, |x| = r mai
|x| < r mai
|x| > r per ogni x
• |x · y | = |x| · |y | per ogni x, y ∈ R
• |x/y | = |x|/|y | per ogni x, y ∈ R, y 6= 0
• −|x| ≤ x ≤ |x| per ogni x ∈ R
• |x + y | ≤ |x| + |y | per ogni x, y ∈ R
(disuguaglianza triangolare)
• |x| − |y | ≤ |x − y |
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Rappresentazione geometrica di R × R: il piano cartesiano
A partire dalla corrispondenza biunivoca tra R e la retta orientata,
possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra il prodotto
cartesiano R × R e il piano cartesiano.
Concetti di base:
• sistema ortogonale / ortonormale
• assi coordinati
• come associare alla coppia (x, y ) un punto nel piano
• come associare al punto P nel piano una coppia di numeri
• ascissa (proiezione del punto sull’asse orizzontale)
• ordinata (proiezione del punto sull’asse verticale)
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Osservazione (Dalla geometria all’analisi e viceversa)
Grazie alla corrispondenza tra R2 e il piano cartesiano, possiamo
descrivere “cartesianamente” un oggetto geometrico, ossia “tradurlo”
in una o più relazioni (equazioni e/o disequazioni) tra le ascisse e le
ordinate dei punti che compongono l’oggetto in esame, e viceversa.
Procedimento:
1 chiedersi qual è la proprietà geometrica che caratterizza l’oggetto
2 esprimere tale proprietà mediante alcune condizioni tra le
coordinate dei punti che appartengono all’oggetto
(equazioni e/o disequazioni)
Esempi:
• assi coordinati
• semipiani
• quadranti
• bisettrici di primo e terzo quadrante (prima bisettrice) e di
secondo e quarto quadrante (seconda bisettrice)
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L’equazione della retta
Casi particolari, già visti:
• l’asse delle ascisse, di equazione y = 0
• l’asse delle ordinate, di equazione x = 0
• la prima bisettrice, di equazione y = x (in un sistema monometrico)
• la seconda bisettrice, di equazione y = −x (come sopra)
Retta parallela all’asse delle ordinate
• Caratterizzazione geometrica?
Tutti i punti della retta hanno la medesima ascissa.
• Equazione: x = x0 .
Strisce verticali . . .
Retta parallela all’asse delle ascisse
• Caratterizzazione geometrica?
Tutti i punti della retta hanno la medesima ordinata.
• Equazione: y = y0 .
Strisce orizzontali . . .
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Retta non parallela agli assi
• Caratterizzazione geometrica?
• Equazione (in forma esplicita): y = mx + q
• Coefficiente angolare e ordinata all’origine
Osservazione
Per m = 0 si ottiene l’equazione di una retta parallela all’asse delle
ascisse; per nessun valore di m si ottiene l’equazione di una retta
parallela all’asse delle ordinate.
Come disegnare una retta la cui equazione è data in forma esplicita?
• individuando le intersezioni con gli assi coordinati, oppure
• disegnando la retta di equazione y = mx e poi effettuando
una traslazione verticale
Osservazione
Due rette, di equazioni y = mx + q e y = m0 x + q 0 , sono
• parallele se e solo se m = m0
• perpendicolari se e solo se mm0 = −1 (secondo teorema di Euclide)
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Equazione generale della retta:
ax +by +c = 0
con a, b, c ∈ R, a e b non simultaneamente nulli.
• b = 0 =⇒ a 6= 0 =⇒ x = −
• b 6= 0 =⇒ y = −
a
c
x−
b
b
c
a
retta parallela
all’asse delle ordinate
retta non parallela
all’asse delle ordinate,
equazione in forma esplicita
Osservazione
Due rette, di equazioni a x + b y + c = 0 e a0 x + b 0 y + c 0 = 0, sono
• parallele se e solo se ab 0 = a0 b
• perpendicolari se e solo se aa0 + bb 0 = 0
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Equazione della circonferenza
Per determinarla, dobbiamo:
• esprimere la distanza tra due punti in termini delle loro
coordinate,
• esprimere la circonferenza come luogo geometrico,
• tradurre la condizione precedente in termini delle coordinate.
Esempi. . .
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