29. Mezzi elastici

29. Mezzi elastici
I mezzi continui solidi sono caratterizzati da piccole deformazioni, che consentono di stabilire una relazione lineare tra sforzo e deformazione nota come legge di Hook. Linearizzando le equazioni del moto, che danno l’evoluzione di una deformazione iniziale del mezzo,
si ottengono le equazioni delle onde elastiche. Si hanno due tipi onde: trasversali, in cui lo
spostamento è normale alla direzione di propagazione, longitudinali, in cui lo spostamento
è parallelo alla direzione di propagazione. Questi due tipi di onde si distinguono anche per
avere velocità di propagazione diverse.
29.1. RELAZIONE SFORZO-DEFORMAZIONE
Se le deformazioni cui è soggetto il mezzo continuo elastico sono piccole è lecito sviluppare
la densità di energia U(F ) attorno allo stato indeformato, che corrisponde alla configurazione di equilibrio. Si fa quindi l’ipotesi che kF − Ik ≪ 1 che implica piccoli gradienti di
deformazione kEk ≪ 1 e si considera lo sviluppo di Taylor di U arrestato al secondo ordine
1
U(F) = U(I) + Bij (F − I)ij + Cijkℓ (F − I)ij (F − I)kℓ + O(kF − Ik2 )
2
(29.1.1)
dove B e C sono definiti da
∂U Bij =
,
∂Fij F=I
Cijkℓ
∂ 2 U =
∂Fij ∂Fkℓ F=I
(29.1.2)
Lo sforzo in assenza di deformazione è nullo, per l’ipotesi fatta che lo stato indeformato
sia uno stato di equilibrio, e si ha quindi Bij = 0. Da (28.5.14) e (29.1.1) si desume la
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relazione sforzo-deformazione al primo ordine in F − I.
τij =
1
(Cijkℓ + Cjikl )(F − I)kℓ
2
(29.1.3)
Se C è simmetrica nei primi due indici
Cijkℓ = Cjikℓ
(29.1.4)
tenendo conto che le derivate seconde miste di U sono uguali
Cijkℓ = Ckℓij
(29.1.5)
risulta simmetrica anche negli ultimi due indici
Cijkℓ = Cijℓk
(29.1.6)
Cosı̀ da una matrice a 4 indici e con 34 = 81 componenti si passa a ad una matrice con sole
21 componenti indipendenti. Infatti la simmetria nello scambio (ij) → (ji) impone che la
coppia assume solo 6 valori indipendenti. Associando alle coppie (ij) indipendenti un solo
indice questo varia tra 1 e 6. Data l’invarianza nello scambio (ij) e (kℓ) le componenti
indipendenti di C sono quelle di una matrice 6×6 simmetrica, vale a dire (62 −6)/2+6 = 21.
Se le deformazioni sono piccole F − I = E + Ω e ricordando che Ω è antisimmetrica si ottiene
la relazione sforzo-deformazione
τij = Cijkl Ekℓ
(29.1.7)
Corpi isotropi
Un corpo si dice isotropo se le sue proprietà sono invarianti per rotazione. Per rotazione
una matrice A si trasforma in A′ = RAR̃ ossia
A′ij = Rik Rjℓ Akℓ
(29.1.8)
ed è invariante se A′ = A. Una matrice a quattro indici (che rappresenta un tensore del
quarto ordine) si trasforma in
′
Cijkℓ
= Rim Rjn Rkp Rℓq Cmnpq
(29.1.9)
Una matrice a due indici è invariante per rotazione A′ = A se e solo se è un multiplo
dell’identità.
Aij = αδij
(29.1.10)
Una matrice a quattro indici è invariante C ′ = C, se e solo se
Cijkℓ = λδij δkℓ + µδik δjℓ + νδiℓ δjk
(29.1.11)
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29.2. Equazioni linearizzate
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La simmetria (29.1.4) impone che µ = ν e la relazione costitutiva per un mezzo elastico,
nota come legge di Hook, si scrive
τij = λδij Ekk + 2µEij
(29.1.12)
dove λ, µ sono noti come coefficienti di Lamé. Una forma equivalente è data da
1
τij = 2µ Eij − Ekk δij + B Ekk δij
(29.1.13)
3
dove B = λ + 23 µ è detto coefficiente di compressione. La relazione sforzo-deformazione
può essere facilmente invertita valutando la traccia della matrice degli sforzi τkk = 3BEkk .
Sostituendo in (29.1.12) si ottiene
1
1
1
τkk δij
(29.1.14)
τij − τkk δij +
Eij =
2µ
3
9B
Esaminiamo la relazione sforzo-deformazione nel caso in cui lo sforzo abbia una sola componente τzz non nulla, come accade per una barra verticale soggetta alla forza peso. Prendendo gli elementi diagonali in (29.1.14) si trova
Exx = −
σ
τzz ,
Y
Eyy = −
σ
τzz ,
Y
Ezz =
1
τzz ,
Y
(29.1.15)
dove Y, detto modulo di Young e σ, detto coefficiente di Poisson son definiti da
Y=
9µB
,
3B + µ
σ=
1 3B − 2µ
2 3B + µ
(29.1.16)
Si noti che un coefficiente di Poisson σ non nullo, consente di avere spostamenti orizzontali,
anche se lo sforzo è verticale e che Exx = −σEzz , Eyy = −σEzz .
29.2. EQUAZIONI LINEARIZZATE
Per i continui elastici si usa scrivere la forma lagrangiana delle equazioni del moto, ottenuta
da (28.5.2) ponendo ρ0 (X) = ρ(x) det F e riesprimendo le derivate rispetto a xi attraverso
le derivate rispetto a Xi
ρ0
∂ 2 ui
∂τij
+ ρ0 gi
= det F (F−1 )kj
2
∂t
∂Xk
(29.2.1)
dove ρ0 = ρ(X, 0) e ui = ui (X, t). Le forze esterne sono espresse da fi = ρ gi dove
gx = gy = 0, gz = −g nel caso della forza peso. Tenendo solo i termini del primo ordine
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nello spostamento ed usando la legge di Hook (29.1.7), la forma lagrangiana e quella
euleriana delle equazioni del moto coincidono. Le equazioni linearizzate, in assenza di
forze esterne, sono date da
∂
∂ 2 ui
(Cijkℓ Ekℓ )
(29.2.2)
ρ0 2 =
∂t
∂Xj
e per corpo isotropo, la cui legge di Hook è data da (29.1.12), diventano
ρ0
∂ 2 ui
∂
∂
=
(λEkk ) + 2
(µEij )
2
∂t
∂Xi
∂Xj
(29.2.3)
Forze esterne
Se ci sono forze esterne la configurazione di equilibrio è caratterizzata da un campo u∗ (X)
e le equazioni del moto si scrivono per gli spostamenti u′ rispetto all’equilibrio. Decomponendo lo spostamento u = u∗ +u′ ed il suo gradiente E = E ∗ +E ′ , dove u∗ è lo spostamento
all’equilibrio, si scrive
x = X + u∗ (X) + u′ (X, t)
(29.2.4)
Nell’ipotesi di piccoli gradienti di deformazione l’equazione per l’equilibrio è
ρ0 gi (X + u∗ ) +
∂
∗
(Cijkℓ Ekℓ
)=0
∂Xj
(29.2.5)
Facendo la differenza tra 2.9.3 dove u = u∗ + u′ e (29.2.5) si ottiene per u′ l’equazione del
moto, che per un mezzo uniforme diventa
ρ0 (X)
∂ 2 u′i
∂
(E ′ ) + gi (X + u∗ + u′ ) − gi (X + u∗ )
= Cijkℓ
2
∂t
∂Xj kℓ
(29.2.6)
e coincide con (29.2.2) nel caso della la forza peso, perché gi è costante.
Come esempio consideriamo una barra verticale di altezza L, soggetta al suo peso e scaliamo
u e X con L per renderli adimensionali. L’unica componente del tensore degli sforzi è τzz e
se λ = 0, sicché il il modulo di Poisson è nullo e Y = 2µ, l’unica componente del gradiente
∂
(YEzz ) = gρ0 diventa
dello spostamento è Ezz = du/dZ. La equazione per l’equilibrio ∂z
d2 u∗
=ǫ
dZ 2
ǫ=
ρ0 gL
Y
(29.2.7)
che ha soluzione u∗ = ǫ( 21 Z 2 − Z) se l’estremo superiore Z = 1 è libero, cioè soggetto a
sforzo nullo du∗ /dZ = 0. Se invece l’estremo Z = 1 è fisso u(1) = 0, la soluzione diventa
u∗ = 12 ǫ(Z 2 − Z). Nel caso generico in cui sia λ 6= 0 e quindi σ 6= 0 il i gradienti di
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29.3. Onde elastiche
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∗
∗
deformazione orizzontale Exx
, Eyy
non sono nulli . Risolviamo prima la equazione per lo
sforzo supponendo libero l’estremo superiore
∗
dτzz
= ρ0 gL,
dZ
∗
τzz
= ρ0 gL (Z − 1)
−→
(29.2.8)
Scriviamo quindi per gli spostamenti u∗ le equazioni (29.1.15) e Eij = 0 per i 6= j
∂u∗y
∂u∗x
=
= −σǫ(Z − 1),
∂X
∂Y
∂u∗z
= ǫ(Z − 1),
∂Z
(29.2.9)
∂u∗x
∂Y
=
∂u∗y
∂X
∂u∗x
,
∂Z
=
∂u∗z
∂X
,
∂u∗z
∂Y
=
∂u∗y
∂Z
la cui soluzione è data da
u∗x
= −σǫX(Z − 1),
u∗y
= −σǫY (Z − 1),
u∗z
=ǫ
Z2
X2 + Y 2
−Z −σ
2
2
(29.2.10)
29.3. ONDE ELASTICHE
Quando il mezzo è omogeneo oltreché isotropo e non vi sono forze esterne, le equazioni del
moto diventano
∂ ∂ui
∂ ∂uk
∂ 2 ui
+µ
(29.3.1)
ρ0 2 = (λ + µ)
∂t
∂Xi ∂Xk
∂Xj ∂Xj
oppure usando la notazione vettoriale
ρ0
∂2u
= (λ + µ) grad divu + µ∆u
∂t2
Y
!!!!!!
!!!!!!
!!!!!!
!!!!!!
!!!!!!
!!!!!!
X
!!!!!!
!!!!!!
!!!!!!
!!!!!!
Figura!!!!!!
29.3.1. Onde longitudinali.
(29.3.2)
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29. Mezzi elastici
Si considera dapprima la soluzione delle equazioni del moto nel caso di un mezzo semiinfinito X1 ≥ 0 soggetto ad uno spostamento assegnato f (t) sul piano X1 = 0 in direzione
normale al piano stesso. Assumendo che il mezzo sia inizialmente in quiete il campo di
spostamenti è dato da
u1 = u(X, t),
u2 = u3 = 0
(29.3.3)
dove si è posto X = X1 , e u soddisfa l’equazione
∂2u
∂2u
=
(λ
+
µ)
,
u(0, t) = f (t)
(29.3.4)
∂t2
∂X 2
La soluzione è un’onda longitudinale, che si propaga con velocità vL , vedi figura 29.3.1
1/2
λ + 2µ
(29.3.5)
vL =
ρ0
ρ0
(lo spostamento è parallelo alla direzione di propagazione) e si scrive esplicitamente
f (t − X/vL )
se X ≤ vL t
u(X, t) =
(29.3.6)
0
se X > vL t
Se lo spostamento f (t) sul piano X1 = 0 è parallelo al piano stesso, la soluzione è data da
u2 = u(X, t),
u1 = u3 = 0
(29.3.7)
dove u soddisfa l’equazione
∂2u
∂2u
=
µ
,
u(0, t) = f (t)
(29.3.8)
∂t2
∂X 2
La soluzione (29.3.6), dove vL è sostituito da vT , rappresenta un’onda trasversale, vedi
figura 29.3.2, che si propaga con velocità vT dove
1/2
µ
(29.3.9)
vT =
ρ
ρ0
Y
X
Figura 29.3.2.
Onde trasversali.
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29.3. Onde elastiche
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Nel caso generale si hanno ancora onde longitudinali e trasversali che si propagano con
velocità vL e vT . Introducendo un potenziale scalare φ e vettore w come per onde elettromagnetiche
u = grad φ + rot w
(29.3.10)
e sostituendo nella (29.3.2) si ottiene
∂2φ
∂2w
grad ρ0 2 − (λ + 2µ)∆φ + rot ρ0 2 − µ∆w = 0
∂t
∂t
(29.3.11)
La equazione delle onde per u è soddisfatta se φ e w sono soluzione delle equazioni seguenti
∆φ −
1 ∂2φ
= 0,
vL2 ∂t2
∆w −
1 ∂2w
=0
vT2 ∂t2
(29.3.12)
Se il mezzo è incompressibile si hanno solo onde trasversali ma in generale si ha sovrapposizione di onde longitudinali e trasversali, che sono più lente delle prime. Soluzioni
monocromatiche delle equazioni (29.3.12) sono date da
φ = φ0 sin(kL · X − ωt),
w = w0 sin(kT · X − ωt)
(23.4.13)
dove, se n è la direzione di propagazione dell’onda, si ha
kL =
ω
n,
vL
kT =
ω
n
vT
(29.3.14)
Il vettore spostamento è espresso da
u = φ0 kL cos(kL · X − ωt) + kT × w0 cos(kT · X − ωt)
(29.3.15)