FM - Relatività Ristretta - Dai postulati alle - IIS Severi

La Relatività Ristretta
Dai postulati alle trasformazioni di Lorentz
Liceo Scientifico “F. Severi” - Milano
Alcune premesse
• La teoria si occupa solo dei sistemi di
riferimento inerziali, cioè quei sistemi in cui è
verificato il principio di inerzia
• Il fallimento dell’esperimento di Michelson e
Morley sembra suggerire che la propagazione
della luce avvenga a velocità costante per
osservatori inerziali diversi
• Ciò è in contraddizione con le leggi di
trasformazione di Galileo
I postulati della teoria
• Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i
sistemi di riferimento inerziali
(Principio di Relatività)
• La velocità della luce nel vuoto è costante,
indipendentemente dalla velocità della sorgente
luminosa o dell’osservatore
Concentriamoci sugli
eventi localizzati lungo
l’asse x.
Un evento siffatto è
rappresentato nel sistema K
dall’ascissa x e dal tempo t,
nel sistema K’ dall’ascissa x’
e dal tempo t’
Scopo di questa presentazione è
determinare le equazioni che esprimono
le coordinate x’ e t’ in funzione delle coordinate x e t
Segnali di luce
Un segnale luminoso, che procede nel verso positivo dell’asse x
del sistema K, si propaga secondo l’equazione x=ct, oppure:
x−ct=0
Lo stesso segnale luminoso, per il postulato della costanza
della velocità della luce, deve propagarsi anche rispetto a K’
con la velocità c, secondo una formula analoga:
x’−ct’=0
Un po’ di matematica ...
I punti spazio-temporali (eventi) devono soddisfare
contemporaneamente le due equazioni evidenziate, per cui:
x’−ct’=𝜆(x−ct)
Applicando lo stesso ragionamento a un segnale luminoso che si
propaga nel verso negativo di x e x’, otteniamo la condizione:
x’+ct’=μ(x+ct)
... ancora un po’ di matematica ...
Sommando e sottraendo le ultime due equazioni otteniamo:
2x’=(𝜆+μ)x− (𝜆−μ) ct
−2ct’=(𝜆−μ)x− (𝜆+μ) ct
Ora definiamo le costanti a e b nel modo riportato qui sotto e
scriviamo il sistema di equazioni risultante:
a=
b=
+µ
2
µ
2
⇢
x0 = ax
ct0 = act
bct
bx
[1]
... ancora un po’ e poi basta ...
[1]
⇢
x0 = ax
ct0 = act
bct
bx
Certo, se conoscessimo i
valori di a e b avremmo
già risolto il problema.
Ora ci arriviamo, ancora
un po’ di pazienza!
L’origine di K’ ha permanentemente
coordinata x’=0. Pertanto, secondo la prima
delle equazioni del sistema [1], avremo:
bc
x= t
a
Sappiamo anche che la velocità con cui
l’origine di K’ si muove rispetto a K (velocità
relativa dei sistemi) è v:
bc
v=
a
[2]
E il Principio di Relatività?
Se osservata dal sistema K, la lunghezza di un
regolo-campione in quiete nel sistema K’ deve essere
esattamente identica alla lunghezza, giudicata da K’, di un
regolo-campione in quiete nel sistema K
Per vedere come appaiono i punti dell’asse x’ visti da K, dobbiamo
soltanto prendere “una istantanea” di K’ da K; ciò significa che
dobbiamo assegnare a t (tempo di K) un valore particolare, per
esempio t=0. Per questo valore di t otteniamo allora dalla prima
delle equazioni [1]:
x’=ax
Due punti dell’asse x’ che, se misurati nel sistema K’
hanno tra loro la distanza Δx’=1, avranno dunque
nella nostra fotografia istantanea la distanza:
1
x=
a
[3]
Se prendiamo “una istantanea” di K da K’ (con t’=0),
eliminiamo t dalle equazioni [1] e teniamo conto della [2]:
✓
0
2
x =a 1
◆
v
x
2
c
Da ciò concludiamo che due punti situati sull’asse x separati dalla
distanza 1 (rispetto a K) avranno, nella nostra istantanea, la distanza:
[4]
0
✓
x =a 1
2
v
c2
◆
Ma, da quanto si è detto, le istantanee debbono essere identiche;
pertanto Δx nella [3] deve essere uguale a Δx’ nella [4], così:
[5]
1
2
a =
1
v2
c2
Le equazioni [2] e [5] determinano le costanti a e b. Inserendo nelle
[1] i valori di queste costanti otteniamo, finalmente:
Le trasformazioni di Lorentz
8
x
vt
0
p
>
x =
>
2 /c2 )
>
1
(v
>
>
<y 0 = y
0
>
z =z
>
>
>
t
>
0
:t = p
1
v
x
2
c
(v 2 /c2 )
Bibliografia
Il contenuto della presentazione è liberamente tratto dal libro:
Albert Einstein
RELATIVITÀ: ESPOSIZIONE DIVULGATIVA
Universale Scientifica Boringhieri
L’edizione originale è del 1916