testo esame 18-1-2006 I modulo
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testo esame 18-1-2006 I modulo
Esame di istituzioni di geometria superiore I modulo - 18/1/2006 Esercizio 1. Sia x y 4 2 2 2 3 T =: ∈ R : x + y + z + t = 1 . x t • Stabilire se T è una varietà differenziale, e nel caso determinarne dimensione e fibrato tangente. • Produrre un atlante di T . • Stabilire se T è compatta e se è connessa. x (x ∈ T ). Stabilire • Si consideri la mappa f : T → S 3 data da f (x) = kxk se f è ben definita e se è C ∞ . Determinare i valori singolari e regolari di f , e stabilire se è un diffeomorfismo locale. Stabilire se f è iniettiva. Esercizio 2. Sia x y 4 2 2 2 2 2 2 T =: ∈ R : x − y + z − t = x + y − z + t = 1 . x t • Stabilire se T è una varietà differenziale, e nel caso determinarne dimensione e fibrato tangente. • Sia g : T → R2 la proiezione sulle componenti (y, t). Determinare valori regolari e singolari di g; stabilire se g è un diffeomorfsmo locale. • Stabilire se T è compatta. Esercizio 3. Si enunci e dimostri il teorema dell’immersione locale (versione standard e versione per varietà differenziali). Esercizio 4. Sia f : M → N un’applicazione C ∞ , ove M ⊆ Rk e N ⊆ Rl sono varietà differenziali. Sia grafo(f ) ⊆ Rk ×Rl il grafo di f . Si dimostri che grafo(f ) é una varietà differenziale, e se ne descriva esplicitamente lo spazio tangente in ogni punto (come sottospazio di Rk × Rl ). 1