Esercizi - Dipartimento di Matematica

Esercizi di Elementi di Matematica
Corso di laurea in Farmacia
dott.ssa Marilena Ligabò
November 24, 2015
1
Esercizi sulla notazione scientifica
Esercizio 1.1. Eseguire il seguente calcolo utilizzando la notazione scientifica
3400000000
15000000000000
Esercizio 1.2. Eseguire il seguente calcolo utilizzando la notazione scientifica
0.4 · 105 45 · 10−4
·
11 · 103 4 · 10−5
Esercizio 1.3. Eseguire il seguente calcolo utilizzando la notazione scientifica
0.00000000014 · 0.0000047
170000000 · 11 · 10−5
2
Esercizi sulle equazioni di secondo grado
Esercizio 2.1. Risolvere la seguente equazione di secondo grado
2x2 + 3x − 20 = 0
Esercizio 2.2. Risolvere la seguente equazione di secondo grado
1 2 2
x + x+1=0
9
3
Esercizio 2.3. Risolvere la seguente equazione di secondo grado
x2 − 3x + 4 = 0
Esercizio 2.4. Risolvere la seguente equazione di secondo grado
2
x−1 x+1 3−x
=
·
+
3
2
3
3
1
Esercizio 2.5. Risolvere la seguente equazione di secondo grado
7x2 − 14x = 0
Esercizio 2.6. Risolvere la seguente equazione di secondo grado
11x2 + x = 0
Esercizio 2.7. Risolvere la seguente equazione di secondo grado
9 2
x − 5x = 0
2
Esercizio 2.8. Risolvere la seguente equazione di secondo grado
−3x2 + 8 = 0
Esercizio 2.9. Risolvere la seguente equazione di secondo grado
x2 + 4 = 0
3
Esercizi sui sistemi lineari
Esercizio 3.1. Risolvere il seguente sistema lineare
x + y = 24
x−y =6
Esercizio 3.2. Risolvere il seguente sistema lineare
2x + 5y − 3 = 0
3x − 4y + 7 = 0
Esercizio 3.3. Risolvere il seguente sistema lineare
2x + 12 y = 0
x−y =1
Esercizio 3.4. Risolvere il seguente sistema lineare
3x + y = 1
2x − 2y = 1
Esercizio 3.5. Risolvere il seguente sistema lineare
x+1
3 −x=y+1
y − 2 = 2x
Esercizio 3.6. Risolvere il seguente sistema lineare
−x + 5y = 1
3x − 15y = −3
Esercizio 3.7. Risolvere il seguente sistema lineare
4x − 3y = 1
2x − 32 y = 1
2
4
Esercizi di geometria analitica
Esercizio 4.1. Rappresentare nel piano cartesiano i punti A(1, −3), B(2, −4) e determinare la
retta passante per A e B. Calcolare la lunghezza del segmento AB.
Esercizio 4.2. Rappresentare nel piano cartesiano i punti A(1, 3), B(3, −1) e determinare la
retta passante per C(−2, 2) parallela alla retta passante per A e B. Determinare la retta passante
per D(1, 1) perpendicolare alla retta passante per A e B. Calcolare la lunghezza del segmento
CD.
Esercizio 4.3. Rappresentare nel piano cartesiano i punti A(1, −5), B(3, −5) e determinare la
retta passante per C(1, 2) parallela alla retta passante per A e B. Calcolare la lunghezza del
segmento BC.
Esercizio 4.4. Rappresentare nel piano cartesiano la parabola di equazione y = 2x2 + 3x − 20
disegnando il vertice, il fuoco e le eventuali intersezioni con l’asse X.
Esercizio 4.5. Rappresentare nel piano cartesiano la parabola di equazione y = −x2 − x − 1
disegnando il vertice, il fuoco e le eventuali intersezioni con l’asse X.
Esercizio 4.6. Rappresentare nel piano cartesiano la parabola di equazione y = 4x2 + 12x + 9
disegnando il vertice, il fuoco e le eventuali intersezioni con l’asse X.
Esercizio 4.7. Determinare l’equazione della parabola di vertice V (1, 0) e passante per P (0, 1).
Esercizio 4.8. Determinare l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = x2 −
4x nel punto A(1, 3).
Esercizio 4.9. Determinare l’equazione della retta tangente alla parabola y = x2 + 2x + 1 e
parallela alla retta di equazione 4x + y + 4 = 0.
Esercizio 4.10. Trovare l’equazione della parabola avente per vertice V (2, 4) e per fuoco F (2, 3).
Esercizio 4.11. Trovare le intersezioni della retta di equazione y = x + 4 con la parabola di
equazione y = −x2 + 6x.
Esercizio 4.12. Una parabola con asse parallelo all’asse Y , passa per il punto G(1, 0) ed ha vertice V (4, 9). Scriverne l’equazione e rappresentarla graficamente. La retta passante per P (0, 3), e
di coefficiente angolare 1, interseca detta parabola in due punti A e B. Determinare le coordinate
dei punti A e B. Da A e B si conducono le perpendicolari all’asse X che intersecano l’asse X in
D e C. Calcolare la misura del perimetro e l’area del quadrilatero ABCD (sapendo che l’unità
di misura sugli assi X e Y è il centimetro).
Esercizio 4.13. In un piano cartesiano rappresenta i punti di coordinate: A(−7, 1), B(5, 1), C(5, 9)
e D(−1, 9). Congiungi nell’ordine i punti dati, indica il nome della figura ottenuta. Calcola la
misura del perimetro e l’area del quadrilatero. Rappresenta nello stesso piano cartesiano la retta
di equazione y = x−4 e verifica graficamente e algebricamente che la retta interseca il poligono in
uno dei suoi vertici. Scrivi l’equazione della retta parallela alla retta data passante per l’origine
3
A
↵
B
C
Figure 1: Triangolo Esercizio 5.1
degli assi e rappresentala nello stesso piano cartesiano. Determina l’area totale e il volume di
un prisma retto avente per base il poligono dato e l’altezza uguale ai 7/12 del perimetro di base
(sapendo che l’unità di misura sugli assi X e Y è il centimetro).
Esercizio 4.14. Disegna in un piano cartesiano il triangolo avente per vertici i seguenti punti
A(2, 3), B(5, −1), C(−1, −1). Individua i punti medi dei segmenti AB, BC e AC e indicali con
D, E, F . Disegna il triangolo DEF avente per vertici i punti medi del triangolo ABC e verifica
che il suo perimetro è la metà di quello del triangolo ABC. Calcola le aree dei due poligoni
(sapendo che l’unità di misura sugli assi X e Y è il centimetro).
Esercizio 4.15. Disegna in un piano cartesiano il poligono avente per vertici i seguenti punti
A(2, 0), B(8, 0), C(8, 4), D(2, 4). Descrivi le proprietà della figura ABCD e determina il suo
perimetro e la sua area (sapendo che l’unità di misura sugli assi X e Y è il centimetro). Fissa il
punto E(11, 0) e considera il poligono AECD. Di quale figura si tratta? Descrivi le sue proprietà.
Fai ruotare il poligono AECD di una rotazione completa attorno alla base maggiore. Descrivi il
solido ottenuto e calcolane il volume ed la massa sapendo che la sua densità è di 1500 kg/m3 .
5
Esercizi di trigonometria
Esercizio 5.1. Determinare i lati e gli angoli del triangolo rettangolo in Figura 1 sapendo che
AB = 13 cm e che γ = π/6.
Esercizio 5.2. Determinare il perimetro
e l’area del triangolo in Figura 2 sapendo che AH = 17
√
cm e che sin γ = 1/2 e che sin β = 2/2.
Esercizio 5.3. Determinare l’altezza di un palazzo che proietta un’ombra orizzontale di 12 m
quando l’altezza del sole sull’orizzonte è di π/6.
Esercizio 5.4. Un osservatore si trova ai piedi di una torre di altezza h ad una distanza L
dalla sua base e vede la cima della torre con un angolo α. Avvicinandosi di 5 m alla torre
l’osservatore vede la cima con un angolo β. Determinare l’altezza h della torre e la distanza
iniziale L dell’osservatore sapendo che α = 50◦ e che β = 60◦ .
4
A
↵
B
C
H
Figure 2: Triangolo Esercizio 5.2
Esercizio 5.5. Una bandiera alta 7.3 m è posizionata sulla cima di un edificio. Un osservatore
che si trova ad una distanza L dalla base dell’edificio vede la cima dell’edificio con un angolo
di 35◦ e la punta della bandiera con un angolo di 40◦ . Determinare l’altezza dell’edificio e la
distanza dell’osservatore dalla base.
6
Esercizi sulle coordinate polari
Esercizio 6.1. Determinare le coordinate cartesiane di un punto P sapendo che le sue coordinate
polari sono r = 2 e θ = 30◦ e disegnare il punto nel piano cartesiano.
Esercizio 6.2. Determinare le coordinate cartesiane di un punto P sapendo che le sue coordinate
polari sono r = 3 e θ = 120◦ e disegnare il punto nel piano cartesiano.
Esercizio 6.3. Determinare le coordinate cartesiane di un punto P sapendo che le sue coordinate
polari sono r = 5 e θ = 300◦ e disegnare il punto nel piano cartesiano.
Esercizio 6.4. Determinare le coordinate polari di un punto P sapendo che le sue coordinate
cartesiane sono P (2, 0) e disegnare il punto nel piano cartesiano.
Esercizio 6.5. Determinare le coordinate polari di un punto P sapendo che le sue coordinate
cartesiane sono P (−3, 0) e disegnare il punto nel piano cartesiano.
Esercizio 6.6. Determinare le coordinate polari di un punto P sapendo che le sue coordinate
cartesiane sono P (1, 1) e disegnare il punto nel piano cartesiano.
Esercizio 6.7. Determinare le coordinate polari di un punto P sapendo che le sue coordinate
cartesiane sono P (−1, −1) e disegnare il punto nel piano cartesiano.
Esercizio 6.8. Determinare le coordinate polari di un punto P sapendo che le sue coordinate
cartesiane sono P (−1, 1) e disegnare il punto nel piano cartesiano.
5
7
Esercizi sulle equazioni esponenziali
Esercizio 7.1. Risolvere la seguente equazione esponenziale
1
52x+1 =
25
Esercizio 7.2. Risolvere la seguente equazione esponenziale
1
85x · 4x+2 =
16
Esercizio 7.3. Risolvere la seguente equazione esponenziale
3x+1 + 5 · 3x−1 + 63 = 7 · 3x
Esercizio 7.4. Risolvere la seguente equazione esponenziale
32x − 3x − 6 = 0
Esercizio 7.5. Risolvere la seguente equazione esponenziale
4x+1 + 3 · 2x − 7 = 0
8
Esercizi sui logaritmi
Esercizio 8.1. Esegui il seguente calcolo
Esercizio 8.2. Esegui il seguente calcolo
√
232
log2 √
4
2
√
e 11 e
ln √
6
e e−1
Esercizio 8.3. Risolvere la seguente equazione logaritmica
ln(x − 2) − ln(x − 3) = ln 4
Esercizio 8.4. Risolvere la seguente equazione logaritmica
log3 (x + 1) − 2 log3 (x − 1) = 0
Risultato x = 3.
Esercizio 8.5. Risolvere la seguente equazione logaritmica
log2 (x + 1) = log4 (2x + 5)
Risultato x = 2.
Esercizio 8.6. Risolvere la seguente equazione logaritmica
4 Log2 x + 2 Logx3 + 2 = 0
Risultato x = 1/100 e x = 1/10.
6
!
v
!
u
Figure 3: Vettori Esercizio 9.1
9
Esercizi sui vettori
→
→
→
→
→
→
→
Esercizio 9.1. Dati i vettori u e v in Figura 3 determinare graficamente u + v e i vettori 2 u
→
e −3 u .
→
→
→
→
Esercizio 9.2. Dati i vettori u e v in Figura 4 calcolare u · v sapendo che | v | = 3, | u | = 5
e che α = π/3.
→
→
→
→
→
→
Esercizio 9.3. Dati i vettori u = 3 i + j e v = i +7 j applicati nell’origine del piano cartesiano.
→
(a) Determinare l’angolo compreso tra u e l’asse X;
→
(b) Determinare l’angolo compreso tra v e l’asse X;
→
→
→
→
(c) Determinare analiticamente e graficamente u + v esplicitando il modulo e la direzione;
(d) Determinare analiticamente e graficamente v − u esplicitando il modulo e la direzione;
→
→
→
(e) Rappresentare graficamente il vettore w= − u −2 v e determinarne il modulo e la direzione;
→
→
→
→
(f ) Calcolare i prodotti scalari w · u e u · v .
7
!
v
↵
!
u
Figure 4: Vettori Esercizio 9.2
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Esercizio 9.4. Determinare il vettore u sapendo che il suo modulo è | u | = 4 e che u forma
→
un angolo di 30◦ con l’asse X. Determinare le componenti cartesiane di u .
Esercizio 9.5. Determinare il vettore u sapendo che il suo modulo è | u | = 2 e che u forma
→
un angolo di 150◦ con l’asse X. Determinare le componenti cartesiane di u .
Esercizio 9.6. Determinare il vettore u sapendo che il suo modulo è | u | = 5 e che u punta
→
nel verso negativo dell’asse Y . Determinare le componenti cartesiane di u .
Esercizio 9.7. Determinare il vettore u sapendo che il suo modulo è | u | = 5 e che u punta
→
nel verso negativo dell’asse X. Determinare le componenti cartesiane di u .
→
→
→
→
→
→
Esercizio 9.8. Dati i vettori u = 3 i −5 j e v = −4 i +6 j applicati nell’origine del piano
cartesiano.
→
(a) Determinare l’angolo compreso tra u e l’asse X;
→
(b) Determinare l’angolo compreso tra v e l’asse X;
→
→
→
→
→
→
(c) Determinare analiticamente e graficamente u + v esplicitando il modulo e la direzione;
(d) Determinare analiticamente e graficamente u − v esplicitando il modulo e la direzione;
→
(e) Rappresentare graficamente il vettore w= 2 u − v e determinarne il modulo e la direzione;
→
→
→
→
(f ) Calcolare i prodotti scalari w · u e u · v .
→
→
Esercizio 9.9. Dati i vettori u e v in Figura 5 determinare il modulo la direzione ed il verso
→
→
→
→
→
→
di u ∧ v e di v ∧ u sapendo che | v | = 2, | u | = 5 e che α = π/6.
→
→
Esercizio 9.10. Dati i vettori u e v in Figura 6 determinare il modulo la direzione ed il verso
→
→
→
→
→
→
di u ∧ v e di v ∧ u sapendo che | v | = 3, | u | = 7 e che α = 120◦ .
→
→
→
→
→
→
→
→
Esercizio 9.11. Dati i vettori u = −3 i +7 j e v = −5 i − j , calcolare u ∧ v .
8
!
v
↵
!
u
Figure 5: Vettori Esercizio 9.9
!
↵
v
!
u
Figure 6: Vettori Esercizio 9.10
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Esercizio 9.12. Dati i vettori u = − i −2 j + k e v = 2 i −3 j − k , calcolare u ∧ v .
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Esercizio 9.13. Dati i vettori u = − 32 i −2 j + 23 k e v = − i + k , calcolare v ∧ u .
9