MICROECONOMIA (cod

MICROECONOMIA (cod. 6006) 2008-2009
CLEAM 2 – TERZA ESERCITAZIONE – giovedì 19 marzo 2009 (seconda parte)
Questa esercitazione è suddivisa in 3 sezioni: domande da svolgere ad esercitazione, domande in preparazione
all’esercitazione ed ulteriori esercizi e domande. La maggior parte delle domande e degli esercizi è tratta da vecchi
esami di microeconomia.
Nota: in questo file sono contenute le soluzioni della seconda e terza parte, quella svolta
durante la quarta esercitazione di giovedì 19/03/2009
Domande propedeutiche all’esercitazione
Prima Parte – Definizioni
Si definiscano sinteticamente i seguenti termini anche con l’ausilio, se necessario, di formule e/o
grafici:
a) Isoquanto
E’ l’insieme di tutte le combinazioni di fattori produttivi che consentono all’impresa di ottenere un
certo volume di produzione.
b) Isocosto
E’ l’insieme di tutte le combinazioni di fattori produttivi associate ad un certo costo totale per
l’impresa.
c) Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica
Indica in quale rapporto una data tecnologia consente di sostituire un fattore produttivo con un
altro mantenendo inalterato il livello di produzione. E’ pari all’opposto della pendenza
dell’isoquanto.
d) Rendimenti di scala
I rendimenti di scala indicano il tasso a cui varia l’output totale quando entrambi gli input variano
della stessa proporzione.
Seconda Parte – Vero, falso od incerto.
Si stabilisca se i seguenti enunciati sono veri, falsi, o incerti (cioè veri solo sotto ipotesi restrittive
non contenute nell’enunciato). Si fornisca una spiegazione e si argomenti compiutamente la
risposta. [NB: La spiegazione e l’argomentazione sono più importanti della corretta
classificazione].
a) Se una funzione di produzione presenta rendimenti di scala crescenti, allora la sua funzione di
costo totale di lungo periodo è caratterizzata da economie di scala.
Vero. In presenza di rendimenti di scala crescenti, al fine, per esempio, di raddoppiare il volume di
produzione, l’impresa deve utilizzare una quantità meno che doppia degli input. Di conseguenza, il
costo totale per gli inputs aumenta “meno velocemente” dell’aumento dell’output. Per cui, avremo
costi medi di produzione decrescenti che coincide con la definizione di economie di scala.
b) In una funzione di produzione del tipo Y=f(L,K)=min(L,K), dove Y è l’output e L e K i due
fattori produttivi, i rendimenti di scala sono sempre costanti. Vero o falso? Si motivi la risposta.
Vero, in quanto ogni fattore produttivo L, K ha una produttività costante (data dal reciproco del
coefficiente di utilizzo del fattore stesso) e la tecnologia considerata utilizza i fattori sempre
secondo una proporzione fissa.
c) Se nel breve periodo il prodotto marginale del lavoro è costante, all’aumentare del numero dei
lavoratori l’output totale non varia.
Falso. Se il prodotto marginale del lavoro è costante, ciò significa che all’aumentare del numero
dei lavoratori l’output totale aumenta sempre della stessa proporzione.
d) Data una funzione di produzione y = min(L,K), una variazione del prezzo di uno dei due fattori
produttivi non ha effetto sulla combinazione di fattori utilizzata per produrre una data quantità di
output, ma solo sul costo complessivo di produzione
Vero. Poiché si tratta di una tecnologia in cui i fattori produttivi sono perfetti complementi, la
combinazione economica efficiente dei fattori produttivi è sempre quella corrispondente al vertice
della curva di indifferenza corrispondente al livello di produzione desiderato. Il costo di
produzione, invece, varia al variare del prezzo dei fattori: aumenta quando questi aumentano e
diminuisce in caso contrario.
Terza Parte – Esercizi
1)
Si supponga che la funzione di produzione dell’impresa Pinapple, che produce calcolatrici, X,
sia del tipo:
X = L0.25 K 0.75
Dove L è il lavoro impiegato e K il capitale.
a) Se L aumenta del 10%, quanto deve aumentare K affinché la produzione di X aumenti del
10%?
In questo caso la somma degli esponenti della Cobb-Douglas è pari ad 1, quindi la funzione di
produzione esibisce rendimenti di scala costanti, di conseguenza affinché la produzione di X
aumenti del 10%, dato che L aumenta del 10%, K deve aumentare anch’esso del 10%.
b) Calcolate il MRST tra capitale e lavoro.
MRTS =
∂C / ∂L 1 K
=
∂C / ∂K 3 L
c) Qual è la produttività marginale del lavoro? Quanto vale questa produttività se X=500 e
K=1000?
MPL =
∂X
⎛K⎞
−
= 0.25 L( 0.25 1) K 0.75 = 0.25 ⎜ ⎟
∂L
⎝L⎠
0.75
Dalla funzione di produzione se X=500 e K=1000
500 = L0.2510000.75
L = 62.5
Quindi
MPL =
∂X
⎛K⎞
= 0.25 ⎜ ⎟
∂L
⎝L⎠
0.75
⎛ 1000 ⎞
= 0.25 ⎜
⎟
⎝ 62.5 ⎠
0.75
=2
d) Le proporzioni tra i fattori di produzione, mantenendo invariati i loro prezzi relativi,
dipendono dall’output? Perché?
Affinché l’impresa minimizzi i costi, deve valere che:
MRTS =
w
r
1K w
=
3L r
K
w
=3
L
r
Quindi la proporzionalità tra i fattori impiegati non dipende dall’output, ma dal prezzo dei
fattori e dall’inverso dal rapporto tra il coefficiente del capitale e del lavoro.
2)
L’impresa Alfa fronteggia la seguente funzione di produzione: Q = 2L + 5K, dove Q indica la
quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale, gli unici fattori impiegati
nel processo produttivo.
a) Di che tecnologia si tratta? Rappresentate la mappa degli isoquanti nel grafico sottostante e
calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro (MRTSKL).
Perfetti sostituti
MRTSKL= MPL/MPK = 2/5
K
10
E
E’
25
L
b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono, rispettivamente, PL=1, PK=1, scrivete l’espressione
analitica del generico isocosto.
TC= PLL + PK K
TC = L + K, fascio di rette parallele con pendenza = -1
c) Supponete che l’impresa intenda produrre una quantità Q = 50. Trovate la combinazione di
fattori impiegata in equilibrio e rappresentatela nel grafico precedente.
Isoquanto di riferimento:
50 = 2L + 5 K, retta con pendenza = -2/5 ed intercette (0;10) (25;0)
Isocosti: vedi b)
MRTSKL<(PL/PK) → soluzione verticale (0;10)
d) Supponete, ora, che il prezzo del capitale PK salga a 5. Che effetto avrà tale aumento sulla
combinazione di fattori impiegata in equilibrio? Rispondete analiticamente e graficamente.
Nuova mappa di isocosti:
TC= PLL + PK’ K
TC = L + 5 K, fascio di rette parallele con pendenza = - 1/5
MRTSKL>(PL/PK) → soluzione orizzontale (25;0)
3)
L’impresa Alfa produce dolci (D) utilizzando due fattori produttivi: lavoro (L) e farina (F). La
funzione di produzione dell’impresa è la seguente: D=L0.5F0.5.
a) Che rendimenti di scala ha la funzione di produzione? Motivate la risposta.
Si tratta di una CD, la cui somma degli esponenti è 1: rendimenti di scala costanti.
b) Supponendo che il costo del lavoro sia pari a 12 e quello della farina pari a 3, scrivete la generica
equazione di una retta di isocosto, e rappresentatela graficamente, indicando le intercette e la
pendenza.
C=12L+3F
Pendenza = - 4
F
C/3
C/12
L
c) Nell’ipotesi di voler produrre 60 dolci, quante unità di lavoro e di farina verranno impiegati in
equilibrio? Rappresentate la soluzione nel grafico precedente.
60 = L0.5F0.5 (1)
12/3=F/L (2)
L*=30
F*=120
d) Supponete che nel breve periodo l’impresa voglia produrre 120 dolci e che abbia a disposizione
36 lavoratori. Quante unità di farina verranno utilizzate?
120=6 F0.5
F=400
Ulteriori esercizi e domande
Definizioni
a) Mappa degli isocosti
Intera famiglia delle linee
dei due fattori della produzione.
di
isocosto
corrispondente
a
una
coppia
di
prezzi
b) Rendimenti di scala decrescenti
Una tecnologia è caratterizzata dai rendimenti di scala decrescenti se, aumentando la quantità
utilizzata di tutti i fattori della medesima proporzione, si ottiene un aumento meno che
proporzionale del prodotto.
c) Lungo periodo
Un intervallo di tempo sufficiente affinché tutti i fattori della produzione siano variabili e nessuno
fisso.
d) Rendimenti marginali crescenti
Una tecnologia è caratterizzata da rendimenti marginali crescenti se il prodotto marginale di un
fattore aumenta al crescere della quantità utilizzata di tale fattore.
Vero, falso od incerto
a) Considerate la seguente funzione di produzione: Y=min(L, K), dove Y indica la quantità
complessivamente prodotta, L il numero di lavoratori e K il numero di unità di capitale impiegate.
Per raddoppiare il volume di produzione è sufficiente impiegare una quantità doppia di lavoratori e
capitale.
Vero, la funzione di produzione esibisce rendimenti di scala costanti: è effettivamente sufficiente
raddoppiare gli input per raddoppiare l'output. E’ però corretto anche affermare che ciò non è
sempre necessario. Se si parte da una situazione in cui K è diverso da L basta anche meno.
b) Se una tecnologia è caratterizzata da rendimenti marginali decrescenti, allora presenta rendimenti
di scala decrescenti.
FALSO, consideriamo la seguente tecnologia Cobb-Douglas:
1
1
Y = L2 K 2 .
Essa presenta rendimenti marginali decrescenti ma rendimenti di scala costanti.
c) Considerate la seguente funzione di produzione Y = 2 L + 3K , dove Y indica l’ output, L il lavoro
e K il capitale (unici fattori impiegati nel processo produttivo). La produttività marginale del lavoro
è crescente.
FALSO.
La produttività marginale è definita come il prodotto aggiuntivo che si può ottenere impiegando
una unità in più di un fattore mantenendo invariata la quantità degli altri fattori produttivi. La
funzione di produzione data si riferisce a due fattori produttivi che risultano perfetti sostituti. In tal
caso il prodotto marginale di entrambi i fattori è costante. Infatti:
MPl =
∂Y (l , k )
=2
∂l
d) Considerate la seguente funzione di produzione, Y = L K dove Y indica l’ output, L il lavoro e
K il capitale (unici fattori impiegati nel processo produttivo). La produttività marginale del capitale
è decrescente.
FALSO.
La funzione di produzione presentata è del tipo Cobb-Douglas con il caso particolare di entrambi
gli esponenti relativi ai due fattori produttivi sono pari a 1. Come si vede calcolando il prodotto
marginale del capitale relativo alla funzione data, esso non dipende dal capitale bensì dal lavoro:
MPk =
∂Y (l , k )
=L
∂k
Dato che l’ esponente di L è pari a 1, la produttività marginale del capitale è costante. L’
affermazione risulta quindi falsa.
In generale, nel caso di funzioni Cobb-Doglas, la produttività marginale del capitale dipende dall’
esponente del fattore lavoro. Se questo è pari a 1. il prodotto marginale del capitale sarà costante;
se è >1 sarà crescente; se infine è <1 la produttività marginale sarà decrescente. In questo caso l’
esponete è pari a 2 per questo risulta che il prodotto marginale è crescente.
Ulteriori esercizi
1)
Per produrre l’output Y, l’impresa A combina i fattori produttivi L (lavoro) e K (capitale)
utilizzando la seguente tecnologia:
Y=15L + 45K
a)
Calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro e disegnate, nel
grafico sottostante, l’isoquanto corrispondente al raggiungimento dell’obiettivo di produzione di 75
unità di output, indicandone pendenza e intercette.
MRTSKL= MPL/MPK = 15/45=1/3
K
5/3
Pendenza del
nuovo
isocosto = -1
E=E’
Pendenza
dell’isoquanto
= -1/3
E’
5
Pendenza
dell’isocosto
=
-2/3
L
b)
Se il costo dei fattori produttivi è rispettivamente, PL=20 e PK=60 scrivete l’espressione
analitica dell’isocosto corrispondente e fornitene una rappresentazione nel grafico pretendete
L’isocosto avrà espressione pari a:
TC= PLL + PK K ossia
TC =20 L + 60K, rappresentato da un fascio di rette parallele con pendenza = -2/3
c)
Determinate la combinazione di fattori produttivi di equilibrio per l’impresa A e indicate nel
grafico il punto corrispondente all’equilibrio.
Trattandosi di una tecnologia a fattori produttivi perfetti sostituti, il calcolo dell’equilibrio
d’impresa implica il confronto tra la pendenza dell’isoquanto di riferimento e quella dell’isocosto.
Isoquanto di riferimento:
75 = 15L + 45K, retta con pendenza = -1/3
Isocosto
TC =20 L + 60K, con pendenza = -2/3
Poiché
MRTSKL<(PL/PK) → soluzione verticale (0;5/3)
d) Qualora a seguito di una ricontrattazione salariale il costo del lavoro salisse a 30, pensate che
l’impresa possa impiegare una diversa combinazione di fattori produttivi in equilibrio? Fornite una
risposta analitica e grafica.
L’aumento del costo del lavoro fa aumentare la pendenza dell’isocosto, che ora risulta pari a -1 ma
non cambia il confronto con la pendenza dell’isoquanto relativo agli obiettivi di produzione.
L’equilibrio rimane quindi nel punto E a cui corrisponde un utilizzo di fattori produttivi
rispettivamente pari a
K*=5/3
L*=0
Quello che cambia rispetto all’equilibrio precedente è l’aumento dei costi di produzione.
2)
L’impresa Beta fronteggia la seguente funzione di produzione: Q = min (K, L), dove Q indica la
quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale, gli unici fattori impiegati
nel processo produttivo.
a) Di che tecnologia si tratta? Rappresentate la mappa degli isoquanti nel grafico sottostante e
indicate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro (MRTSKL).
Perfetti complementi
Retta uscente dall’origine: K=L (retta 45°)
Sul tratto verticale degli isoquanti → MRTSKL = ∝
Sul tratto orizzontale degli isoquanti → MRTSKL = 0
Nei punti angolosi MRTSKL non definito
K
K=L
E = E’
60
b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono, rispettivamente, PL=3, PK=4, scrivete l’espressione
analitica del generico isocosto.
TC= PLL + PK K
TC = 3 L + 4 K, fascio di rette parallele con pendenza = -3/4
c) Supponete che l’impresa intenda produrre una quantità Q = 60. Trovate la combinazione di
fattori impiegata in equilibrio e rappresentatela nel grafico precedente.
Isoquanto di riferimento:
60 = min (K, L)
Isocosti: vedi b)
60 = min (K, L)
K=L
K* = L* = 60
d) Supponete, ora, che il prezzo del lavoro PL salga a 7. Che effetto avrà tale aumento sulla
combinazione di fattori impiegata in equilibrio? Rispondete analiticamente e graficamente.
Nuova mappa di isocosti:
TC = PL’L + PK K
TC = 7 L + 4 K, fascio di rette parallele con pendenza = -7/4
La combinazione di fattori impiegata in equilibrio non varia, E=E’
3)
Supponiamo che nella fabbrica di Willy Wonka vengano prodotte speciali caramelle gommose (C),
impiegando due soli input: frutta (F) e zucchero (Z). L’isoquanto è rappresentato dalla seguente
funzione:
1
1
C = F 2Z 2
Dove sia la frutta che lo zucchero sono espressi in chilogrammi.
a) Spiegate se la funzione di produzione delle caramelle gommose presenta rendimenti di scala
crescenti, costanti o decrescenti.
Si tratta di una funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas con somma degli esponenti pari ad 1,
quindi i rendimenti di scala sono costanti.
b) Calcolate il MRST tra lo zucchero e la frutta.
∂C / ∂F Z
=
∂C / ∂Z F
c) Supponiamo che la frutta costi 4 e che lo zucchero costi 1, nell’ipotesi che in una settimana
si vogliano produrre 36 chili di caramelle, quanti chili di frutta e di zucchero verranno
impiegati in equilibrio?
Per trovare le quantità di equilibrio possiamo mettere a sistema il confronto tra MRST e rapporto
tra i prezzi e la funzione di isoquanto:
MRTS =
⎧Z
⎪F = 4
⎨
1
1
⎪
2
2
=
= 36
C
F
Z
⎩
Dalla prima troviamo Z=4F, sostituito nella seconda:
1
2
C = F (4 F ) 2 = 36
36 = 2 F
Da cui F*=18, sostituendo F* troviamo Z*=72.
Se sostituiamo F* e Z* nell’isoquanto, troviamo:
C = (18) 0,5 (72) 0,5 = 36
d) Calcolate la spesa totale associata alla produzione di 36 chili e scrivete la funzione
dell’isocosto.
1
Isocosto:
IC = p Z Z + p F F
Costo totale:
C=72*1+18*4=144 costo totale.
e) A causa di un pessimo raccolto di frutta, la quantità di frutta è dimezzata rispetto alla
quantità di equilibrio. Nell’ipotesi che si vogliano continuare a produrre 36 chili di
caramelle, come varierà l’impiego del fattore zucchero? Quali considerazioni si possono fare
confrontando i costi economici nel caso d) e nel caso e).
In questo caso sostituiamo ad F=9 e troviamo:
1
2
1
2
C = 9 Z = 36
1
2
3Z = 36
1
2
Z = 12
Z * = 144
In questo caso la frutta è un fattore razionato, se si vuole mantenere lo stesso livello di
produzione, si deve utilizzare una combinazione tecnico-produttiva inefficiente, che quindi non
minimizza i costi. Infatti, in questo caso i costi ammontano a C’=180, maggiori rispetto al caso
precedente.
Esercizi dall’Eserciziario Tangorra
Tutti gli esercizi del capitolo 2