Media campionaria (X): Valore atteso (μK = E[X]): Media

Analisi dei Dati - Alessandro Bogliolo
Lezione n. 13
Media
Media campionaria (X ):
Chiamiamo media campionaria (indicata con X ) di una variabile aleatoria X , calcolata su un campione di N
elementi, la media degli N valori osservati di X :
X=
X
1
N 2f1
i
;:::;N
x( )
i
g
Esempio: Si consideri il seguente campione di 10 osservazioni dell'esito del lancio di un dado:
1,3,5,4,5,2,1,1,3,2.
La media campionaria e X = (1 + 3 + 5 + 4 + 5 + 2 + 1 + 1 + 3 + 2)=10 = 2:7. Si noti che la media campionaria
non e necessariamente un possibile esito dell'esperimento.
Valore atteso (
X = E [X ]):
Chiamiamo valore atteso (indicato con X o con E [X ]) di una variabile aleatoria discreta X la media dei
possibili valori di X pesati con le rispettive probabilit
a:
Xxpx
= E [X ] =
X
xj
2X
j
( j)
Esempio:
Nel caso del lancio di un dado, il valore atteso e X = E [X ] = 1 1=6 + 2 1=6 + 3 1=6 + 4 1=6 +
5 1=6 + 6 1=6 = 21=6 = 3:5. Anche il valore atteso non e necessariamente un possibile esito dell'esperimento,
ma rappresenta il valore attorno al quale sono distribuiti tutti i possibili esiti.
Media campionaria come stima del valore atteso:
La media campionaria e una stima del valore atteso della rispettiva variabile aleatoria. Questo si pu
o dimostrare
agevolmente sostituendo le frequenze relative alle probabilita nell'espressione del valore atteso e svolgendo
semplici passaggi matematici che mostriamo di seguito usando l'esempio del lancio di un dado.
Esempio: con riferimento ai dati degli esempi precedenti:
= E [X ] = 1p(1) + 2p(2) + 3p(3) + 4p(4) + 5p(5) + 6p(6)
' 1n1 =N + 2n2 =N + 3n3 =N + 4n4 =N + 5n5 =N + 6n6 =N
X
=
1
N
(1n1 + 2n2 + 3n3 + 4n4 + 5n5 + 6n6 )
1
(1 3 + 2 2 + 3 2 + 4 1 + 5 2 + 6 0)
10
1
=
(1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5)
10
= (1 + 3 + 5 + 4 + 5 + 2 + 1 + 1 + 3 + 2)=10 = 2:7 = X
=
Signicato geometrico della media:
Se si immagina di attribuire un peso unitario ad ogni campione di una variabile aleatoria e di appoggiare
idealmente il campione sull'asse reale in corrispondenza del rispettivo valore, su ogni punto dell'asse gravera
un peso proporzionale alla frequenza relativa di quel valore nel campione. La media compionaria rappresenta il
baricentro dell'asse, cioe il punto in cui l'asse pu
o essere tenuto in equilibrio.
1
0
1
0.6
2
3
4
5
4.8
0
6
2
1
7
8
0
1
3
2
4