Lezione 07 - Brigantaggio.net
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Le Variabili Casuali Campionarie Stimatori µ Si chiama parametro di una v.c X, e viene indicato in generale con θ, una funzione dei valori che la v.c. assume su tutte le unità della popolazione e che caratterizza la distribuzione della v.c. stessa La stima t è una funzione dei dati campionari utilizzata per prevedere il valore incognito di un parametro θ della v.c. X oggetto di studio nella popolazione di riferimento Lo stimatore Tn è la v.c. generarata dalle stime calcolate su tutti i campioni di Ωn : è quindi una v.c. campionaria •v.c. media campionaria X •v.c. varianza campionaria S2 •v.c. proporzione campionaria Pˆ 1 Proprietà degli Stimatori Correttezza - uno stimatore si dice corretto (o non distorto) se il suo valore atteso coincide con il parametro oggetto di stima E(Tn ) = θ Consistenza - Se uno stimatore è corretto e se all’aumentare di n la sua varianza tende a zero vale a dire limVar(Tn ) = 0 n →∞ Allora lo stimatore Tn si dice consistente Efficienza Relativa - uno stimatore corretto 1Tn è più efficiente di un secondo stimatore corretto 2Tn se la sua varianza è più piccola: Var(1Tn ) < Var(2 Tn ) Variabile Casuale Media Campionaria E’ inverosimile che due campioni estratti dalla stessa popolazione producano le stesse stime: DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA La statistica che stima "meglio" la media µ di una popolazione è lo stimatore MEDIA CAMPIONARIA X le cui realizzazioni sono le stime x , media aritmetica dei valori osservati nel campione 1 n x = ∑ xi n i=1 2 Variabile Casuale Media Campionaria Le leggi di convergenza in probabilità (Leggi dei grandi numeri, Teorema centrale del limite) dimostrano che X n→ ∞ ~ σ 2 N µ , n X X L'ERRORE STANDARD è la deviazione standard della variabile casuale media campionaria. Rappresenta l'unità di misura dell'errore casuale di stima commesso utilizzando la media campionaria come stimatore di µ ES (X ) = σ n →∞ ES (X ) n → 0 L’ERRORE STANDARD cresce al crescere della varianza della variabile X nella L’ERRORE STANDARD crescediminuisce al crescerealdella varianza popolazione crescere di n della variabile X nella popolazione diminuisce al crescere di n Variabile Casuale Media Campionaria ESERCIZIO: Sia data una popolazione costituita da N=2 unità cui corrispondono i valori Y1=1 e Y2=5 rispettivamente con pesi 1/4 e 3/4. Si estraggono con ripetizione tutti i possibili campioni ordinati di quattro unità e si calcoli la media di ogni campione. Lo spazio campionario è costituito da |Ω|=24=16 punti campione cui corrisponde il seguente piano di campionamento: 3 Variabile Casuale Media Campionaria La media della popolazione è Y = (1 ⋅ 1 / 4 + 5 ⋅ 3 / 4) = 4 La varianza della popolazione è σ 2 = (1 ⋅1 / 4 + 25 ⋅ 3 / 4) − 42 = 3 Distribuzione della variabile casuale media campionaria yi ⋅ pi y i ⋅ pi 1/256 24/256 162/256 432/256 405/256 1024/256 1/256 48/256 486/256 1728/256 2025/256 4288/256 yi 1 2 3 4 5 1/256 12/256 54/256 108/256 81/256 1 M (Y ) = 4 σy 2 4288 = − 4 2 = 0 .75 256 2 σy = 2 σ2 n = 3 = 0.75 4 Variabile Casuale Media Campionaria •sottospazio che fornisce una stima esatta di Y C12 , C13 , C14 , C15 p(Y = 4) = 108 = 0.422 256 •sottospazio che fornisce una stima campionaria di Y che non si allontana per più di una unità C6 , C7 , C8 , C9 , C10 , C11 , C16 p{(Y = 3) ∪ (Y = 5)}= 135 = 0.527 256 In questo caso utilizzando lo stimatore media campionaria si ottiene la media esatta nel 42,2% dei casi e non si sbaglia per più di una unità nel 94,7% dei casi 4 Variabile Casuale Varianza Campionaria Se si calcola la varianza del campione (x1,…xn) estratto dalla variabile X si ottiene la quantità n 2 1 s˜ = ∑(xi − x) n i=1 2 Al variare del campione si ottiene la varianza campionaria il cui valore atteso non è la varianza vera: n −1 2 E(S˜ 2 )= σ n Se si considera invece la quantità: s2 = 1 2 n ∑(x − x) n −1 i=1 i Al variare del campione si ottiene la varianza campionaria corretta: E (S 2 ) = σ 2 Variabile Casuale Proporzione Campionaria X variabile casuale Binomiale E(X) = np ; Var(X) = np(1-p) x proporzione campionaria. Al variare n X del campione pˆ descrive lo stimatore Pˆ = n pˆ = () 1 1 E Pˆ = E (X ) = np = p n n 1 1 pq Var Pˆ = 2 Var(X ) = 2 npq = n n n () 5