File - Amare la matematica e la fisica

TORINO
SETTEMBRE
COMPENDIO
DI
ESPONENZIALI
E
LOGARITMI
di Bart VEGLIA
1
2010
ESPONENZIALi
§ 1 Equazioni esponenziali
Un’espressione in cui l’incognita compare all’esponente di una o più potenze si chiama
equazione esponenziale
8
3x
Ecco un esempio di equazione esponenziale 2
= 
(1)
2x+2
L’espressione
ax = b
(2)
è una equazione esponenziale elementare
Nel campo reale deve essere a > 0 e b > 0
(Infatti nel campo reale non si definiscono le potenze di un numero negativo con
esponente reale .Inoltre la potenza di un numero positivo è sempre positiva)
Se a e b sono due numeri reali positivi la (2) ammette una ed una sola soluzione:
positiva se a e b sono entrambi > 1 o < 1; negativa se uno dei due numeri è > 1 e
l’altro < 1
L’equazione a x = 1 ha la sola soluzione x = 0
La equazione esponenziale dell’esempio (1) si può risolvere ponendo 2 x = z
La (1) diventa così z 3 = 8 / z 4
da cui
z4 = 2
cioè
z = 2¼
x
¼
Poiché 2 = z e z = 2
è x = ¼ , che è la soluzione cercata.
§ 2 Funzione esponenziale
Una funzione y = a x, con a > 0 ed a ≠ 1, è una funzione esponenziale.
Tale funzione è monotòna, cioè ad ogni valore di x corrisponde un solo valore di y.
È crescente se a > 1; decrescente se 0 < a < 1.
Il suo grafico è sempre positivo. Se a > 1 il grafico è del tipo di fig.1; se 0 < a < 1 il
grafico è del tipo di fig.2; se a = 1 il grafico è semplicemente la retta y = 1 (fig. 3).
Tutti tre i grafici intersecano l’asse y nel punto y = 1
y
y
a >1
y
0<a<1
1
1
1
x
fig. 1
a=1
x
fig. 2
x
fig. 3
Tra le funzioni esponenziali è particolarmente importante la y = e x la cui base è il
numero irrazionale di Nepero 2,718……
2
LOGARITMI
§ 3 Generalità
Dati due numeri positivi a e b, con a ≠ 1, l’equazione a x = b ammette una ed una
sola soluzione che si chiama logaritmo di b in base a, e si indica con loga b
E’ cioè quel numero n che, dato per esponente alla base a, rende la potenza a n = b
b si chiama argomento del logaritmo
§ 4 Proprietà dei logaritmi
§ 4 . 1 Logaritmo di un prodotto
Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori
log ( m n ) = log m + log n
§ 4 . 2 Logaritmo di un quoziente
Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e quello
del divisore
log ( m/n ) = log m - log n
§ 4 . 3 Logaritmo di una potenza
Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente della potenza per il
logaritmo della base
log m n = n log m
§ 4 . 4 Logaritmo di un radicale
Il logaritmo di un radicale è uguale al prodotto del reciproco dell’indice della radice per il
logaritmo del radicando log n√ m = (1/n ) log m
( Infatti la n√ m si può scrivere m 1/n per cui, per il logaritmo, si applica la regola del
§ 4.3)
§ 5 Sistemi di logaritmi
L’insieme dei logaritmi di tutti i numeri positivi, rispetto ad una base a, si chiama sistema
dei logaritmi a base a.
I sistemi di logaritmi di uso più comune sono due:
- i logaritmi decimali, o volgari, o di Briggs
- i logaritmi naturali, o Neperiani
§ 5 . 1 Logaritmi decimali
I logaritmi decimali sono quelli a base 10.
Si indicano con il simbolo log10 o più semplicemente con log
I logaritmi delle potenze di 10 sono dati da un numero uguale all’esponente della potenza
suddetta Es. log 1000 = log 103 = 3
Il logaritmo di un numero non potenza di 10 è un numero decimale, irrazionale, composto
da una parte intera, detta caratteristica, uguale all’esponente della potenza di 10 del
3
numero dato, e da una parte decimale, detta mantissa, che si ricava da apposite tavole
logaritmiche.
Es log 348,53 = log 3,4853 10 2 = 2,54224; 2 è la caratteristica, 54224 è la mantissa
In altri termini si può dire che la caratteristica del logaritmo di un numero maggiore di 1 è
uguale al numero delle cifre della parte intera, diminuito di 1
Più comunemente, si calcola il logaritmo mediante un calcolatore scientifico.
Moltiplicando o dividendo un numero per una potenza di 10, la mantissa del suo logaritmo
non cambia
Per i numeri minori di 1, la caratteristica è negativa ed è uguale all’esponente, negativo,
del numero dato, scritto sotto forma di potenza di 10.
Es. log 0,00812 = log (8,12 10 -3 ) = log 8,12 + log 10 -3 = 0,90955 - 3 che si
scrive, convenzionalmente, 3, 90955 che significa che la caratteristica è negativa e la
mantissa positiva.
Si può quindi affermare che la caratteristica del logaritmo di un numero positivo, minore di
1 è uguale a tante unità negative, quanti sono gli zeri che precedono la prima cifra
significativa, incluso lo zero posto prima della virgola.
Es . La caratteristica di 0,32 è -1; la caratteristica di 0, 00032 è -4
La mantissa anche per questi numeri si ricava dalle tavole logaritmiche
Se il logaritmo di un numero è tutto negativo ( Es. – 3,81374 ) lo si può trasformare nella
forma descritta in precedenza aumentando di un’unità il valore assoluto della parte intera
del numero e facendo il complemento a 9 della parte decimale ( a 10 per l’ultima cifra )
Il numero dell’esempio diventa così 4.18626
§ 5 . 2 Logaritmi naturali
Sono i logaritmi aventi come base il numero irrazionale, di Nepero 2, 71828i828……..
Si indicano con il simbolo ln
Per questi logaritmi valgono le seguenti formule
ln ef(x) = f(x) ; ln ex = x ; e ln x = x ; ln e ln x = ln x ; ln e = 1 in generale ln en = n
§ 6 Passaggio da un sistema di logaritmi ad un altro
Per trasformare il logaritmo con una certa base in un logaritmo con un’altra base si fa uso
della formula seguente
log b m
log a m = 
ovvero
log b m = log a m • log b
log b a
Se è
logb x = a è ba = x e quindi
blogbx = x
§ 7 Funzione logaritmica
L’espressione y = loga x , con a > 0 e a ≠ 1, si chiama funzione logaritmica
Tale funzione è monotòna ( ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di y );
crescente per a > 1; decrescente per 0 < a < 1
Qualunque sia la base a dei logaritmi è:
loga 1 = 0 ; loga a = 1 ; loga 0 = -∞ per a > 1 ;
I numeri negativi non hanno logaritmo
4
loga 0 = +∞ per 0 < a < 1
Il grafico della curva che rappresenta la funzione loga x, nell’ipotesi di a > 1 è del tipo di
fig 4 : i numeri > 1 hanno il logaritmo > 0; quelli < 1 hanno il logaritmo < 0.
Nell’ipotesi di 0 < a < 1 il grafico è del tipo di fig 5: i numeri > 1 hanno il logaritmo < 0;
quelli < 1 hanno il logaritmo > 0
y
y
a>1
0 <a<1
1
0
1
a
x
0
fig 4
a 1
x
fig 5
§ 8 Equazioni logaritmiche
Le equazioni logaritmiche sono equazioni in cui compare il logaritmo dell’incognita o di una
espressione contenente l’incognita
Per risolvere queste equazioni bisogna trasformarle in una espressione del tipo
log F(x) = log G(x)
da cui
F(x) = G(x)
(3)
che si risolve come una normale equazione algebrica. Bisogna però verificare che le
radici della (3) soddisfino realmente la equazione data
1° esempio
E’ data l’equazione logaritmica
log x + log (2x – 1) – log (2x + 5) = log 3
(4)
Bisogna innanzitutto stabilire che gli argomenti dei logaritmi siano > 0 ossia
x > 0 ; 2x – 1 > 0 ; 2x + 5 > 0 da cui x > 0 ; x > ½ ;
x > -5/2
Cioè deve essere x > ½
x (2x – 1)
Applicando le proprietà dei logaritmi la (4) si può scrivere log  = log 3
2x2 – x
2x + 5
Passando dai logaritmi ai numeri si ha  = 3
2x + 5
Ne nasce una equazione di 2° grado cha come soluz ioni - 3/2 e 5
E’ accettabile solo la soluzione x = 5
2° esempio
E ‘ data l’equazione
1
1 – log x
 +  = 0
(5)
5 – log x
1 + log x
Deve essere x > 0 ; 5 - log x ≠ 0 ; 1 + log x ≠ 0 da cui x > 0 ; log x ≠ 5 ; log x ≠ -1
Cioè deve essere x > 0 e ≠ 10 5 e ≠ da 10 -1
La (5) si può scrivere 1 + log x + (1 – log x) (5 – log x) = 0
da cui log2 x – 5 log x + 6 = 0 Le soluzioni sono x = 102 e 103 entrambe accettabili
5
§ 9 Coordinate logaritmiche
Oltre alle coordinate cartesiane ed a quelle polari ci sono anche le coordinate logaritmiche.
La scala logaritmica si ottiene mettendo su una retta, dopo aver scelto un’opportuna unità
di misura, i punti da 1 a 10 corrispondenti ai rispettivi logaritmi. Ossia al log 1
corrisponde il punto 0, al log 2 corrisponde il punto 0,30103, al log 3 corrisponde il
punto 0, 47712……. al log 10 il punto 1 Ecco un esempio di scala logaritmica
1
|
|
|
1
2
3
4
Se su due assi ortogonali, posti su un
incontro, due scale logaritmiche, i punti
logaritmiche ( k log x ; k log y )
Con questo sistema di coordinate alcune
rette
|
| | | | |
5 6 7 8 9 10
piano, si riportano, a partire dal loro punto di
di questo piano sono individuati da coordinate
curve, grafici di funzioni, sono rappresentate da
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1,5
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
| | | | |
6 7 8 9 10
Ad esempio la funzione x y = 6 rappresenta una iperbole equilatera riferita agli asintoti
Passando ai logaritmi si ha log x y = log x + log y = log 6
Questa espressione in coordinate logaritmiche è una retta.
Per x = 1 è log x = 0 e quindi log y = log 6 cioè y = 6
Per y = 1 è log y = 0 e quindi log x = log 6 cioè x = 6
Congiungendo i due punti trovati si traccia la retta i cui punti hanno tutti come prodotto 6
Analogamente, se si vuole tracciare la funzione p v1/2 = 3, che è l’equazione di una
trasformazione adiabatica, in coordinate logaritmiche, si scrive log p + ½ log v = log 3
Per p = 1 è log p = 0 e quindi log v = 2 log 3 cioè v = 9
Per v = 1 è log v = 0 e quindi log p = log 3
cioè p = 3
La retta che congiunge i punti (1 ; 9) con (3 ; 1) è il grafico voluto
6