pdf file - Dipartimento di Matematica

Analisi Matematica (Biotecnologie) – 21/02/2011
Cognome e nome:
Numero di matricola:
Firma:
Tempo a disposizione: 2h:30
Punteggi: L’esercizio n. 5 vale 10 punti, tutti gli altri 5 punti
Esercizi 1-4 e 8: Scrivere le soluzioni nei riquadri. Non vengono assegnati punteggi parziali.
Esercizi 5-7: Per ogni esercizio risolto: riportare il procedimento e la soluzione su un foglio allegato. Possono essere assegnati punteggi parziali ma non vengono assegnati punti se manca
il procedimento.
Esercizi 9-11: Barrare la risposta corretta. Non vengono assegnati punteggi parziali.
Spazio riservato alla commissione.
Punti. 1-4.
5-7.
8-11.
Totale.
1. Dire quali valori di x ∈ R soddisfano la disequazione
2x
2 −3
≤ 4x .
2. Scrivere nella forma a + ib il numero complesso
3 + 4i
.
5+i
3. Data la funzione
f (x) = (x + 1)3 ln(x + 1) ,
scrivere il suo polinomio di Taylor di grado 2 intorno al punto
x0 = 0.
4. Risolvere il seguente problema di Cauchy:
0
y − 6y + 9 = 0
y(1) = 2 .
Spazio riservato alla commissione
Punti:
1.
2.
3.
4.
Tot.
5. Data la funzione
r
f (x) =
x3
,
x+1
a) precisare il dominio massimale e discutere il segno;
b) dire se è pari o dispari e calcolare i limiti agli estremi del
dominio;
c) studiare crescenza, decrescenza ed estremi relativi;
d) sapendo che f 00 ha lo stesso dominio di f 0 e che f 00 è sempre
positiva nel suo dominio, tracciare il grafico y = f (x).
6. Una sostanza radioattiva ha decadimento esponenziale e il suo
tempo di dimezzamento è 3 465 anni. Calcolare la percentuale di
sostanza ancora presente dopo 1 505 anni.
7. Rappresentare in scala semilogy (in base 10) i grafici delle
seguenti funzioni:
y = 103x
y = 100 · 103x.
Dire inoltre qual è la funzione y = f (x) il cui grafico in scala
semilogy (in base 10) è la retta z = 2 − 3x.
Spazio riservato alla commissione
Punti:
5.
6.
7.
Tot.
8. Siano A una soluzione all’8% e B una soluzione al 15%. Qual
è il rapporto fra il numero `B di litri di B e il numero `A di litri
di A che si devono mescolare per ottenere una soluzione al 10%?
(cioè: calcolare k = `B /`A)
Z
9. L’integrale indefinito
0
1
1
dx
(1 − x)1/2
a diverge
b è uguale a 1
d nessuna delle precedenti.
c è uguale a 2
ex
10. Siano f (x) = 1 − x e g(x) = . Dire quali delle seguenti
x
affermazioni è corretta:
a
c
lim g(f (x)) = −∞
b
lim g(f (x)) = −∞
d
x→+∞
x→−∞
lim g(f (x)) = 0
x→+∞
lim g(f (x)) = 0.
x→−∞
11. Sia f : [a, b] → R una funzione reale continua in [a, b] e
derivabile in (a, b) tale che f (a) < 0 e f (b) > 0. Allora
a
b
c
d
ha minimo assoluto in x = a e massimo assoluto in x = b
esiste c ∈ [a, b] tale che f 0(c) = 0
f 0 è sempre positiva
nessuna delle precedenti.
Spazio riservato alla commissione
Punti:
8.
9.
10.
11.
Tot.