FUNZIONI E CALCOLO COMBINATORIO Considerate gli insiemi A

FUNZIONI E CALCOLO COMBINATORIO
Il quesito assegnato all’esame di stato 2004 (scientifico Ordinamento e PNI) suggerisce un collegamento
tra funzioni costruite tra insiemi finiti e Calcolo Combinatorio
QUESITO
Considerate gli insiemi A = {1,2,3,4} e B = {a,b,c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di
A in B?
Costruzione delle funzioni
A ciascun elemento di A ( dominio) va associato un elemento di B ( uno solo), mentre un elemento di B può
essere associato a più elementi di A .
Al primo elemento di A può essere associato un elemento di B scelto in 3 modi diversi
Al secondo o elemento di A può essere associato un elemento di B scelto in 3 modi diversi
Al terzo elemento di A può essere associato un elemento di B scelto in 3 modi diversi
Al quarto elemento di A può essere associato un elemento di B scelto in 3 modi diversi
Totale 3*3*3 *3 = 3 4 =81 funzioni
Poiché A possiede 4 elementi e B solo 3, la funzione non può essere iniettiva
Se nessun elemento di B viene tralasciato nelle scelte, la funzione sarà suriettiva
ESEMPI
c
b
a
c
b
a
1
*
Esempio di funzione suriettiva
(1;a) (2;b) (3:a) (4;c)
*
*
1
2
*
3
*
*
2
3
4
Esempio di funzione non suriettiva
*
1
*
4
(1;a) (2;b) (3:b) (4;a)
Funzioni costanti
(1;a) (2;a) (3:a) (4;a)
(1;b) (2;b) (3:b) (4;b)
(1;c) (2;c) (3:c) (4;c)
c
b
a
c
b
a
c
b
a
*
1
*
2
*
3
*
4
*
*
*
*
1
2
3
4
*
*
*
*
1
2
3
4
INTERPRETAZIONE COMBINATORIAL’ insieme B è l’ insieme di di cardinalità n=3 con i cui elementi vanno
costituiti gruppi di cardinalità k=4, secondo il modello delle disposizioni con ripetizione
Possibili modelli

Scrittura di parole di lunghezza 4 su un alfabeto di 3 lettere, del tipo
acbb
abca

aaac
bbcc
acbc
etc. etc…
4 estrazioni ( con reimbussolamento) da un’urna contenente 3 biglie
contrassegnate dalle lettere a,b,c
GENERALIZZAZIONE DEL PROBLEMA E APPROFONDIMENTO
Dato un insieme A di cardinalità k ( dominio) e un insieme B di cardinalità n , le applicazioni
(funzioni) da A in B sono nk , pari alle disposizioni con ripetizione di n oggetti a
k a k.
Il dominio rappresenta un certo numero di << scelte>> ( estrazioni, lanci), a ciascuna
delle quali corrisponde un elemento di B ( oggetto estratto, risultato di un lancio)Gli
elementi di B possono essere <<ripetuti>> in accordo col fatto che a scelte, estrazioni o
lanci diversi, può corrispondere lo stesso risultato, mentre ovviamente non ha senso ripetere
gli elementi di A ( non si <<ripete>> la prima estrazione, ma si fa una seconda, terza
estrazione)
2
Funzioni iniettive
Nel caso in cui sia n≥k la funzione può essere iniettiva : a elementi distinti di A corrispondono elementi
distinti di B ovvero : ogni estrazione (ogni lancio) dà luogo ad un risultato diverso.
Si ottiene sicuramente una funzione iniettiva nel caso di estrazione senza reimbussolamento
In particolare se n=k si può avere una corrispondenza biunivoca
Per costruire una funzione iniettiva dobbiamo procedere nel modo seguente
Al primo elemento di A può essere associato un elemento di B scelto in n modi diversi
Al secondo o elemento di A può essere associato un elemento di B scelto in n-1 modi diversi
Al terzo elemento di A può essere associato un elemento di B scelto in n-2 modi diversi
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Al k-esimo elemento di A può essere associato un elemento di B scelto in n-k+1 modi diversi
Totale n(n-1)(n-2)…..(n-k+1) funzioni iniettive
Se n=k
il risultato equivale a n!
Interpretazione combinatoria :
Le funzioni iniettive da A(insieme delle k estrazioni) in B (insieme degli n oggetti) sono tante quante le
disposizioni semplici di n oggetti a k a k.
Le funzioni biiettive da A(insieme delle estrazioni) in B (insieme degli oggetti) , entrambi insiemi di
cardinalità n, sono tante quante le permutazioni semplici di n oggetti : n!
ESEMPI
d
c
b
a
c
b
a
3
*
Funzione iniettiva ma non suriettiva (1;a) (2;b) (3:d)
*
*
1
2
3
*
Funzione iniettiva e suriettiva (biiettiva) (1;a) (2;b) (3:c)
*
*
1
Corrispondenza biunivoca
2
3
Come è facile osservare, in quest’ultimo caso, per costruire tutte le funzioni biiettive, gli elementi dl
dominio si pensano fissi e gli elementi del codominio (a,b,c) vanno permutati tra loro, in 3! modi
Funzione inversa
Una funzione biiettiva è invertibile.
La funzione inversa , da B in A,si costruisce scambiando il primo con il secondo elemento di ciascuna
coppia.
Con riferimento all’esempio precedente, la funzione inversa è
(a;1) (b;2) (c;3)
Interpretazione combinatoria
Funzione f -1
Funzione f
ESTRAZIONE
1
2
3
ESITO
a
b
c
ESITO
a
b
c
ESTRAZIONE
1
2
3
PROBLEMI
Risolviamo alcuni problemi di Calcolo Combinatorio o di Calcolo delle Probabilità alla luce delle osservazioni
precedenti
1) Sportelli e code
In un ufficio postale sono aperti 8 sportelli e arrivano contemporaneamente 5 persone che si
distribuiscono casualmente ai vari sportelli. Se per <<coda>> intendiamo un insieme di almeno due
persone allo stesso sportello, qual è la probabilità che non si verifichino code? ( problema tratto da
Re Fraschini- Grazzi: Moduli Mat)
Applichiamo la definizione classica di Probabilità come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili
4
CASI POSSIBILI
Si deve costruire una corrispondenza tra l’insieme degli sportelli
e l’insieme dei clienti
Se vogliamo che la relazione sia una funzione, a ciascun elemento del dominio deve corrispondere uno e
uno solo elemento del secondo insieme.
Quale insieme deve essere preso come dominio ?
Ovviamente l’insieme dei clienti , ovvero quello che non ammette ripetizioni. Un cliente non può stare su
due sportelli, mentre davanti allo stesso sportello possono stare più clienti (coda)
Quindi si deve costruire una funzione da
A
insieme di cardinalità k =5
in
B insieme di cardinalità n=8
Risultato : TUTTE LE POSSIBILI FUNZIONI CHE ASSOCIANO A CIASCUN CLIENTE UN DETERMINATO
k
SPORTELLO SONO : n = 8
5
Significato combinatorio : ogni cliente sceglie uno sportello , si fanno quindi k =5 scelte su 8 elementi
secondo il modello delle Disposizioni con ripetizione
CASI FAVOREVOLI
Per non avere <<code>> , clienti distinti devono scegliere sportelli distinti, cioè le funzioni devono essere
iniettive che sono in numero di
8*7*6*5*4
Significato combinatorio : ogni cliente sceglie uno sportello , si fanno quindi k =5 scelte su 8 elementi
secondo il modello delle Disposizioni semplici D n,k = n(n-1)(n-2)…..(n-k+1)
PROBABILITA’
5
GENERALIZZAZIONE DEL PROBLEMA E APPROFONDIMENTO
Sia n è il numero degli sportelli e k il numero dei clienti:
Se n< k le code sono inevitabili, non ci sono funzioni iniettive
Se n>k si ragiona come nel caso precedente
Se n=k si può avere la corrispondenza biunivoca ( funzione bijettiva)
Il numero delle funzioni biiettive è n!
Gli n clienti si dispongono ognuno davanti ad uno sportello e le configurazione sono le permutazioni di n
elementi.
Probabilità di non avere code
2) Il <<Meglio>> e il <<Peggio>>- ( un po’ di luoghi comuni sui pregi e i difetti di alcuni popoli)(
Si dice che il meglio per un uomo sia avere
CASA
I NGLESE
CUOCO
CINESE
MOGLIE
GIAPPONESE
AMANTE
ITALIANA
STIPENDIO
AMERICANO
AMMINISTRATORE
SVIZZERO
Invece il peggio per un uomo è avere
CASA
GIAPPONESE
CUOCO
INGLESE
MOGLIE
AMERICANA
AMANTE
SVIZZERA
6
STIPENDIO
CINESE
AMMINISTRATORE
ITALIANO
Problema:
Associando casualmente un nome con un aggettivo, qual è la probabilità di trovare il <<Meglio>> o il
<<Peggio>>?
Risposta
Casi possibili 6! ( corrispondenze biunivoche)
Casi favorevoli :2
Probabilità
7