La derivata e l`integrale per le prime lezioni di fisica
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La derivata e l`integrale per le prime lezioni di fisica
La derivata e l'integrale per le prime lezioni di fisica Marco Bramanti Ottobre 2005 La maggior parte degli studenti del prim'anno di facoltà scientifiche, nei primi giorni di lezione incontra, nel corso di Fisica 1, i concetti di derivata e di integrale, che nel corso di Analisi 1 saranno introdotti parecchie settimane dopo. Se lo studente non ha studiato questi argomenti già a scuola (liceo scientifico), il disagio è inevitabile. Queste note hanno lo scopo di introdurre questi concetti senza far uso di troppi prerequisiti matematici, e illustrarli sui primi e più semplici esempi che si incontrano in fisica. Di conseguenza la trattazione non è matematicamente rigorosa; tuttavia non dovrebbe neppure introdurre idee matematiche fuorvianti: semplicemente, lo studente riempirà i passaggi logici mancanti a suo tempo, con la strumentazione fornita dal corso di Analisi 11. In definitiva, queste note non hanno lo scopo di aiutare lo studente a preparare l'esame di fisica o di analisi, ma semplicemente di aiutarlo a seguire le sue prime settimane di lezione di fisica, dopo di che avranno esaurito il loro compito e potranno essere felicemente distrutte. Velocità istantanea e derivata di una funzione Consideriamo un punto materiale che si muove su una retta, e supponiamo che la sua posizione all'istante > sia assegnata dalla funzione B œ 0 a>bÞ Come esprimeremmo la velocità media e la velocità istantanea del punto materiale, in termini della funzione 0 ? La velocità media del punto, in un intervallo di tempo c>! ß >! 2d è facile da definire: sarà il rapporto tra lo spazio percorso in questo intervallo di tempo, e la durata dell'intervallo stesso (che è 2); a sua volta, lo spazio percorso è la differenza tra la posizione all'istante finale e quella all'istante iniziale, perciò: @media œ 0 a>! 2b 0 a>! b Þ 2 (1) Si tratta di una velocità con segno: una velocità negativa corrisponde ad uno spostamento nel verso negativo di percorrenza, sulla retta (il punto si è mosso all'indietro). Il rapporto scritto a secondo membro della (1) si dice rapporto incrementale di 0 : è il rapporto tra l'incremento di 0 e l'incremento della variabile >. La velocità istantanea del punto materiale, all'istante >! , è un concetto un po' più sfuggente da definire: intuitivamente, la velocità istantanea è il numero a cui si avvicina la velocità 1 Per una trattazione matematica dei concetti di derivata e integrale, e per altre interpretazioni fisiche di questi concetti, si rimanda ai capp. 5 e 6 del libro di testo: M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare. Zanichelli, 2+ edizione. Bologna, 2004. 1 M. Bramanti: La derivata e l'integrale per le prime lezioni di fisica ___________________________________________________________________________ media, calcolata in un intervallo di tempo contenente >! , quando la durata di tale intervallo è sempre più breve. Dal punto di vista matematico rigoroso, la definizione corretta fa intervenire il limite del rapporto incrementale: 0 a>! 2b 0 a>! b . 2Ä! 2 @istantanea œ lim L'espressione scritta a secondo membro si dice derivata prima di 0 calcolata in >! , e si indica con 0 w a>! b. Quindi la velocità istantanea del punto materiale (che d'ora in poi chiameremo semplicemente velocità) è uguale alla derivata prima della funzione posizione nello stesso istante: @a>! b œ 0 w a>! b Questo è vero per ogni istante >; si può quindi considerare ora la velocità come una nuova funzione del tempo, vedendo la derivata di 0 come una nuova funzione di >: @a>b œ 0 w a>b, definita per > in un certo intervallo. Astraendo dall'esempio fisico della velocità, in generale, data una funzione 0 definita in un intervallo e a valori reali, definiremo la derivata prima di 0 come il limite del suo rapporto incrementale: 0 w a>! b œ lim 2Ä! 0 a>! 2b 0 a>! b 2 (purché questo limite esista, problema su cui qui non ci soffermeremo). Se ora iteriamo il discorso e consideriamo la velocità (istantanea) di variazione della velocità, otteniamo il concetto di accelerazione del punto. Questa sarà pari alla derivata della funzione velocità, ossia alla derivata della derivata della funzione 0 , che si chiama derivata seconda di 0 , e si indica con 0 ww a>b. Quindi l'accelerazione è data da: +a>b œ 0 ww a>bÞ Per capire meglio la definizione di velocità (ovvero di derivata) e quindi di accelerazione, invece di approfondire teoricamente il concetto di limite (come si farà nel corso di Analisi), vediamo come questa definizione si usa in alcuni esempi semplici ma significativi. Esempio 1. Moto uniforme. Sia Allora 0 a>b œ 7> ;Þ 0 a>! 2b 0 a>! b c7a>! 2b ; d c7>! ; d œ œ 7. 2 2 In questo caso il rapporto incrementale (ossia la velocità media) è costante, non c'è nemmeno bisogno di passare al limite: @a>b œ 7Þ La velocità istantanea è costante, ed è pari al coefficiente angolare della retta C œ 0 a>b. 2 M. Bramanti: La derivata e l'integrale per le prime lezioni di fisica ___________________________________________________________________________ Esempio 2. Moto uniformemente accelerato. Sia 0 a>b œ 7># Þ Allora 0 a>! 2b 0 a>! b 7a>! 2b# 7>#! #7>! 2 72# œ œ œ #7>! 72. 2 2 2 Quando ora l'incremento 2 è sempre più piccolo, la quantità #7>! 72 tende al valore #7>! . Dunque: @a>b œ 0 w a>b œ #7>. La velocità istantanea è qui una funzione lineare del tempo. Se calcoliamo l'accelerazione, cioè la derivata prima di @a>b otteniamo (vedi esempio precedente): +a>b œ @w a>b œ 0 ww a>b œ #7. In questo caso l'accelerazione è costante. Esempio 3. Moto armonico. Sia: 0 a>b œ sin>Þ Consideriamo, sulla circonferenza trigonometrica, un angolo > generico e un piccolo angolo 2Þ D E C h O t H B s 2 œ GSH s e ! œ IHG s , In figura: se > œ GSFß sina> 2b sin> œ HIÞ (2) HI œ HGcos!Þ (3) HG ¶ 2Þ (4) Ora facciamo una duplice approssimazione. Se 2 è piccolo, il segmento HG , ipotenusa di HIG , è indistinguibile dall'arco HG , che misura 2 (perché la circonferenza ha raggio "); quindi porremo 3 M. Bramanti: La derivata e l'integrale per le prime lezioni di fisica ___________________________________________________________________________ s è Inoltre, se 2 è piccolo, il segmento HG è tangente alla circonferenza, quindi l'angolo HGS retto, e questo implica che s œ GSF s œ >. s ¶ IGS ! œ IHG (5) Perciò (2), (3), (4), (5) implicano sina> 2b sin> ¶ cos> 2 e questa relazione (approssimata se 2 è piccolo), diventa esatta al limite per 2 Ä !. Dunque asin>bw œ cos>Þ Sulla stessa figura, osserviamo che è anche: ccosa> 2b cos>d œ GI e GI œ HGsin!Þ Allora lo stesso ragionamento porta a: ” cosa> 2b cos> • ¶ sin> 2 e quindi acos>bw œ sin>. Torniamo allora al moto armonico: se la posizione del punto materiale all'istante > è 0 a>b œ sin>ß la velocità è: @a>b œ 0 w a>b œ cos> e l'accelerazione è: +a>b œ @w a>b œ acos>bw œ sin>Þ Si ottiene l'interessante risultato: l'accelerazione è in ogni istante uguale e contraria alla posizione. Questa è una caratteristica tipica di fenomeni di tipo vibratorio. Si parla in questo caso di oscillazioni armoniche. Esempio 4. Leggi esponenziali. Sia Il rapporto incrementale di 0 è: 0 a>b œ +> Þ 2 0 a> 2b 0 a>b +>2 +> > + " œ œ+Œ 2 2 2 ossia è il prodotto della funzione 0 a>b stessa per una funzione di 2 (indipendente da >), precisamente 4 M. Bramanti: La derivata e l'integrale per le prime lezioni di fisica ___________________________________________________________________________ - a2b œ +2 " . 2 Il limite per 2 tendente a zero di - a2b rappresenta geometricamente il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione +B nel punto B œ !; intuitivamente, è chiaro che questa quantità esiste (finita), e dipende solo dal numero +. Dunque 0 w a>b œ 7+ +> œ 7+ 0 a>bÞ Otteniamo quindi l'interessante risultato: se una grandezza varia nel tempo con legge esponenziale 0 a>b, la sua velocità di variazione è proporzionale alla grandezza stessa. Il coefficiente di proporzionalità è il numero 7+ , che si dimostra essere pari a log+ (logaritmo in base / œ costante di Nepero œ #Þ("ÞÞÞ). Poiché log/ œ ", questo significa che, tra tutte le funzioni esponenziali, la funzione /> è l'unica la cui derivata coincide esattamente con la funzione stessa: grandezza e velocità di variazione coincidono. Anzi, si può dimostrare che tra tutte le funzioni sufficientemente regolari (e non solo tra le funzioni esponenziali) la funzione -/> (con - costante qualunque) è quella con questa proprietà. Osservazione. Un paio di utili regole di derivazione. Gli esempi precedenti contengono i prototipi dei più semplici ma significativi modelli fisici. Per adattare queste formule a situazioni leggermente più generali, è utile sapere anche che: c-0 a>bdw œ -0 w a>bà c0 a->bdw œ -0 w a->bÞ (6) (7) Dimostrazione. Proviamo la (6). Il rapporto incrementale di -0 a>b è uguale a: -0 a> 2b -0 a>b 0 a> 2b 0 a>b œ -” •, 2 2 che ha per limite proprio -0 w a>b. Per provare (7), scriviamo il rapporto incrementale di 0 a->b: 0 a- a> 2bb 0 a->b 0 a-> -2b 0 a->b œ-† œ 2 -2 (ponendo -2 œ 5 e pensando ora a 5 come all'intervallo di tempo che diviene sempre più breve) œ-† e questo ha per limite proprio -0 w a->b. 0 a-> 5 b 0 a->b 5 Esempio 5. Ancora sul moto armonico. Se in base alle relazioni (6) e (7) si ha: 0 a>b œ Esina=>b @a>b œ 0 w a>b œ E=cosa=>bà 5 M. Bramanti: La derivata e l'integrale per le prime lezioni di fisica ___________________________________________________________________________ +a>b œ 0 ww a>b œ E=# sina=>b da cui si vede che l'accelerazione è proporzionale ma di segno opposto alla posizione. La funzione 0 a>b di questo esempio rappresenta un tipico fenomeno vibratorio: la funzione è periodica, di periodo X œ #=1 , il numero = è detto pulsazione, il numero / œ X" œ #=1 frequenza. Il numero E è l'ampiezza dell'oscillazione. Notare che a pulsazione maggiore corrisponde velocità di variazione maggiore. Integrale definito come limite di somme e sua interpretazione fisica Mettiamoci ora da un punto di vista in un certo senso inverso rispetto al paragrafo precedente: supponiamo di conoscere la funzione velocità istantanea di un punto materiale in moto su una retta, e proponiamoci di calcolare lo spazio totale percorso in un intervallo di tempo c!ß X d (inteso come spostamento netto, cioè differenza tra posizione finale ed iniziale, e non come cammino totale percorso negli eventuali "avanti e indietro" del punto). Ragioniamo allora così: suddividiamo l'intervallo temporale c!ß X d in 8 intervallini di ugual durata X Î8 che indichiamo con c>5" ß >5 d, con 5 œ "ß #ß á ß 8Þ Sia W5 lo spazio percorso nell'intervallo c>5" ß >5 d ed W lo spazio totale percorso: 8 W œ "W5 . 5œ" Lo spazio W5 è il prodotto della velocità media nell'intervallo c>5" ß >5 d per la durata dell'intervallino, X Î8; se questo è abbastanza breve, la velocità media in c>5" ß >5 d è quasi uguale alla velocità istantanea nell'istante >5" ; otteniamo quindi: W5 ¶ X @a>5" b 8 e 8 X X 8 W ¶ " @a>5" b œ "@a>5" b. 8 8 5œ" 5œ" La valutazione esatta (e non approssimata) dello spazio totale percorso si ottiene passando al limite per 8 tendente a infinito, ossia quando la suddivisione dell'intervallo temporale c!ß X d si infittisce sempre più. Otteniamo dunque 8 X " W œ lim @a>5" b. 8Ä_ 8 5œ" Tale limite di somme si indica col simbolo X ( @a>b.> ! che si dice "integrale definito della velocità @a>b per > da ! a X ". 6 M. Bramanti: La derivata e l'integrale per le prime lezioni di fisica ___________________________________________________________________________ Questa costruzione si può ripetere per una qualsiasi funzione 0 a>b definita nell'intervallo c!ß X d (o in un qualsiasi intervallo c+ß ,d): si pone 8 X " lim 0 a>5" b. ( 0 a>b.> œ8Ä_ 8 ! 5œ" X L'integrale di una funzione in un intervallo è in ogni caso un limite di somme, che può avere vari altri significati fisici. Ad esempio, se 3aBb è la densità lineare di una sbarra nel punto B, l'integrale , ( 3aBb.B + fornisce la massa totale contenuta nel segmento c+ß ,d della sbarra. Osservazione. Significato geometrico dell'integrale. Se rappresentiamo il grafico di 0 a>b nell'intervallo c!ß X d, e innalziamo segmenti verticali dai punti >5 , vediamo che ogni numero W5 rappresenta l'area del rettangolino la cui base è l'intervallo c>5" ß >5 d e l'altezza è 0 a>5" b; la somma delle aree di questi rettangolini approssima l'area sotto il grafico di 0 a>b. L'integrale di 0 in c!ß X d, che è il limite di queste somme di piccole aree, dà il valore esatto dell'area sotto il grafico. L'integrale di una funzione in un intervallo ha quindi il significato geometrico di area sottesa al grafico. S1 t0 S2 t1 Sn tn t2 Il significato geometrico dell'integrale è un'utile supporto all'intuizione. Si rifletta comunque sul fatto che il ragionamento che porta a identificare l'integrale della velocità con lo spazio totale percorso (o l'integrale della densità con la massa totale) dipende essenzialmente dal concetto di integrale come limite di somme, e non dal suo significato geometrico. Il calcolo effettivo degli integrali mediante una primitiva La definizione di integrale come limite di somme non si presta molto al calcolo effettivo, o per lo meno non si presta al calcolo esatto effettivo2. Il modo più semplice per calcolare un 2 In realtà si presta molto bene al calcolo approssimato: basta calcolare la somma per un 8 abbastanza grande, senza pretendere di calcolare il limite della somma per 8 tendente a infinito. 7 M. Bramanti: La derivata e l'integrale per le prime lezioni di fisica ___________________________________________________________________________ integrale sfrutta invece un altro fatto, ossia la relazione esistente tra integrale e derivata, espressa dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Questa relazione non è così evidente dalla definizione di integrale come limite di somme, ma è suggerita, ad esempio, dalla relazione tra spazio e velocità. Riprendiamo la definizione di integrale per la funzione velocità: X lim " @a>5" bÞ ( @a>b.> œ8Ä_ 8 ! 5œ" 8 X Dimentichiamoci ora del fatto che -lo sappiamo già- questo integrale rappresenta lo spazio totale percorso, e ricordiamoci invece che la velocità è la derivata della funzione posizione: @a>b œ sw a>bÞ Il risultato che troveremo varrà per il calcolo dell'integrale di una qualsiasi funzione 0 di cui si sappia già che è la derivata di una seconda funzione K. Ricordando che =w a>b ¶ =a> 2b =a>b per 2 piccolo 2 possiamo scrivere: @a>5" b œ =w a>5" b ¶ =a>5 b =a>5" b =a>5 b =a>5" b œ . >5 >5" X Î8 Quindi: 8 8 8 X X =a>5 b =a>5" b " @a>5" b ¶ " † " c=a>5 b =a>5" bd. œ 8 8 X Î8 5œ" 5œ" 5œ" Ora, nell'ultima somma scritta si cancellano tutti i termini tranne il primo e l'ultimo: 8 "c=a>5 b =a>5" bd œ 5œ" œ c=a>8 b =a>8" bd c=a>8" b =a>8# bd á c=a>" b =a>! bd œ œ =a>8 b =a>! b œ =aX b =a!b. Passando al limite per 8 tendente a _ la relazione approssimata diventa esatta, e si ha: 8 X X lim " @a>5" b œ =aX b =a!b ( @a>b.> œ8Ä_ 8 ! 5œ" che riscriviamo nella forma: X w ( = a>b.> œ =aX b =a!bÞ ! (8) E' importante ora rendersi conto che, nei passaggi precedenti, l'unica proprietà di @a>b che abbiamo utilizzato è il fatto di essere la derivata di =a>b. In altre parole, la relazione (8) ha un significato generale: l'integrale della derivata di una qualsiasi funzione =a>b (non importa che sia la funzione posizione) si calcola valutando la differenza tra i valori di =a>b negli estremi 8 M. Bramanti: La derivata e l'integrale per le prime lezioni di fisica ___________________________________________________________________________ dell'intervallo. E' questo il contenuto del Teorema Fondamentale sopra citato. In pratica, data una funzione 0 a>b di cui vogliamo calcolare l'integrale, dobbiamo cercare una seconda funzione Ka>b di cui 0 sia la derivata: Kw a>b œ 0 a>b. Una tale K si dice primitiva di 0 , e sotto quest'ipotesi si ha: , ( 0 a>b.> œ Ka,b Ka+bÞ + Esempio 6. Calcoliamo: X !> ( / .> ! per ! ā ! fissato. Sappiamo che a/> b œ /> (Esempio 4)à le (6), (7) dicono allora che w a/!> b œ !/!> e w " !> !> Œ / œ/ Þ ! w Dunque una primitiva di 0 a>b œ /!> è Ka>b œ !" /!> . Perciò: X !> ( / .> œ ! " !X " / !X " / / !! œ ! ! ! 9