Analisi Matematica II Esercizi sugli integrali multipli, sugli integrali

Analisi Matematica II
Esercizi sugli integrali multipli, sugli integrali
superficiali, sulle formule di Gauss-Green, di
Stokes e della divergenza
Corso di laurea in Ingegneria Meccanica. A.A. 2008-2009.
Esercizio 1. Calcolare i seguenti integrali doppi
Z Z
Z Z
Z Z
1
2
dxdy,
x sin |x − y| dxdy,
(2y + x) dxdy
2
A (x + y)
B
C
con
A = {(x, y) ∈ R2 : 3 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2},
B il quadrato di vertici O = (0, 0), P1 = (1, 0), P2 = (0, 1), P3 = (1, 1) e
C = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, min {x2 , x} ≤ y ≤ max {x2 , x}}.
Esercizio 2. Sia assegnato il dominio piano
D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ y ≤ 2,
√
y ≤ x ≤ y 2 }.
1) Rappresentare D come dominio normale rispetto all’asse x.
2) Interpretando D come una lamina piana omogenea, calcolarne il baricentro B.
3) Calcolare il volume del solido ottenuto ruotando D intorno all’asse x
di un angolo α = π4 .
Esercizio 3. Calcolare l’integrale doppio
Z Z
√
y
2
2
e− x +y 2
dxdy
x + y2
D
con
¾
½
1
2
2
2
D = (x, y) ∈ R : (x − 1) + y ≤ , y ≥ 0 .
4
Esercizio 4. 1) Disegnare nel piano xy la curva γ di equazione
y 2 = x3 (1 − x).
2) Calcolare il volume del solido racchiuso dalla supericie che si ottiene,
facendo ruotare attorno all’asse x la porzione della curva γ che appartiene
al primo quadrante.
1
Esercizio 5. Sia D la regione del piano xy definita da
½
¾
1
D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, ≤ x2 + y 2 ≤ 1
4
e sia V il solido ottenuto, facendo ruotare la regione D attorno all’asse y.
1) Calcolare l’area di D e il volume di V .
2) Trovare le coordinate del baricentro B di V .
Esercizio 6. Calcolare l’integrale doppio
Z Z
2
ey dxdy
T
con T il triangolo chiuso nel piano xy avente per vertici i punti (0, 0), (0, 1)
e (2, 1).
Esercizio 7. Calcolare i seguenti integrali doppi
Z Z p
Z Z
Z Z ³
y ´2
(x3 + y 3 ) dxdy
dxdy,
|x + y − 1| dxdy,
1+
x
A
B
C
con
A = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ y ≤ 2x, 2 − y ≤ x ≤ 4 − y},
B = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, 2], y ∈ [0, 1]}s
e
C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2, y ≥ |x|}.
Esercizio 8. Calcolare il volume dell’insieme
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 − 4x ≤ 12, x ≥ 0, 2 ≤ z ≤ 5}.
Esercizio 9. Calcolare i seguenti integrali tripli
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
1
y
xy dxdydz,
dxdydz,
dxdydz
2 + 2y 2 + 2z 2
2x
x
−
2
A
B
C
con
½
A=
3
(x, y, z) ∈ R : 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
√
¾
1p
2
y, 0 ≤ z ≤
y−x ,
2
B = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, 1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 4}
e
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ z ≤ 3}.
2
Esercizio 10. Sia D il solido generato dalla rotazione attorno all’asse z
della regione piana
C = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 0, x2 − 1 ≤ z ≤ (x − 1)2 , x ∈ [0, 1]}.
Determinare il volume e il baricentro B di D.
Esercizio 11. Sia assegnato il solido
Cr = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≥ r2 , x2 + y 2 ≤ z ≤ 1}.
Determinare il valore del parametro r > 0 tale che il volume di Cr sia uguale
a π8 .
Esercizio 12. Siano assegnati gli insiemi
D1 = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 0, x2 − 4z 2 ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 1}
e
¯
¯
¾
¯
¯ 1
2
D2 = (x, y, z) ∈ R : z = 0, 0 ≤ y ≤ ¯¯− + x ¯¯ , x ∈ [0, 1] .
4
Calcolare il volume del solido ottenuto, ruotando D1 attorno all’asse z e
quello del solido ottenuto, ruotando D2 attorno all’asse x.
½
3
Esercizio 13. Calcolare il volume della regione racchiusa tra il paraboloide
z = x2 + y 2 e il piano z = 8 − 2x.
Esercizio 14. Calcolare l’area della porzione di sfera x2 + y 2 + z 2 = 4z
contenuta nel paraboloide z = x2 + y 2 .
Esercizio 15. Siano assegnati gli insiemi
p
V1 = {(x, y, z) ∈ R3 : 3 + x2 + y 2 ≤ z ≤ 4 x2 + y 2 }
e
V2 = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 , |x| + |y| ≤ 1}.
Calcolare il volume di V1 e quello di V2 .
Esercizio 16. Calcolare l’area della porzione del cilindro x2 − 2x + y 2 = 0
compresa fra il piano xy e la superficie di equazione z 2 = x2 + y 2 .
Esercizio 17. Calcolare i seguenti integrali tripli
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
x2 +y 2
2
2
ze
dxdydz,
(x +2y )z dxdydz,
ex+y+z dxdydz
A
B
C
con
A = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 3 − x2 − y 2 , z ≤ 2},
p
B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≥ x2 + y 2 }
e
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x ≥ y, z ≤ 1 − x − y}.
3
Esercizio 18. Calcolare l’area della porzione di cono
½
¾
p
√
√
x
3
2
2
C = (x, y, z) ∈ R : 0 ≤ √ ≤ y ≤ x 3, z = 3(x + y ), z ∈ [0, 4 3] .
3
Esercizio 19. Calcolare l’area della superficie generata dalla rotazione della
cicloide di equazioni parametriche
x(t) = t − sin t, y(t) = 1 − cos t (t ∈ [0, 2π])
attorno all’asse x di un angolo giro.
Esercizio 20. Si consideri la porzione di superficie S di equazione
p
z = 1 − x2 + y 2 , x2 + y 2 ≤ 1.
Calcolare l’integrale superficiale
Z
(1 + z) dσ.
S
Esercizio 21. Calcolare
Z
x dσ
S
con
S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
Esercizio 22. Calcolare l’area della porzione di superficie di equazione
z = 5 + 3x2 + 3y 2 la cui proiezione sul piano xy è data dall’insieme
√
E = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x 3}.
Esercizio 23. Trovare il piano tangente e³il versore normale
all’ellissoide
´
1
1
√
di equazione x2 + 4y 2 + 9z 2 = 1 nel punto √13 , 2√
,
.
3 3 3
Esercizio 24. Calcolare come integrale curvilineo e mediante il ricorso alle
formule di Gauss-Green l’integrale
Z
(x − y 3 ) dx + (y 3 + x3 ) dy
∂D+
dove ∂D è la frontiera del quarto di disco di centro l’origine O = (0, 0) e
raggio 3 contenuto nel primo quadrante del piano xy.
Esercizio 25. Calcolare, usando le formule di Gauss-Green, l’integrale
Z
x2 dxdy
D
con
D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2}.
4
Esercizio 26. Sia D una lamina omogenea (densità costante) delimitata
dalla cicloide, assegnata mediante la parametrizzazione
γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t) (t ∈ [0, 2π])
e dall’asse x.
Calcolare, usando le formule di Gauss-Green, le coordinate del baricentro
B di D.
Esercizio 27. Calcolare l’integrale superficiale
Z
< F, ne > dσ
S
dove F è il campo vettoriale di componenti (x2 + y 2 , 0, z), S è la superficie
cilindrica definita da
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 5x, z ∈ [0, 3]}
e ne denota il versore normale esterno a S.
Esercizio 28. Calcolare il flusso del campo vettoriale
F (x, y, z) = (3x + log(1 + y 2 ), y − y 2 z, yz 2 )
uscente dalla frontiera del cono circolare retto di base
x2 + y 2 ≤ 4, z = 0
e di vertice (0, 0, 3).
Esercizio 29. Sia assegnato il campo vettoriale
F (x, y, z) = (y 2 ez , y 3 , 3x2 z).
Calcolare il flusso di F uscente dalla superficie S, frontiera del dominio
delimitato dal paraboloide di equazione z = 9 − x2 − y 2 , dal piano xy e dal
piano xz e contenuto nel semispazio {y ≥ 0}.
Esercizio 30. Calcolare
Z
< rot F, ne > dσ
S
dove
F (x, y, z) = (xz, z 2 + y 2 , zy),
S è la porzione di superficie di equazione x2 + y 2 + z 2 = 2 contenuta in
{x ≥ 0} ∩ {z ≥ 0} e ne denota il versore normale esterno a S.
5
Esercizio 31. Sia assegnata la curva γ ⊂ R3 attraverso la parametrizzazione
γ(t) = (2 cos t, 2 sin t, 4(cos t + sin t)) (t ∈ [0, 2π]).
Calcolare
Z
x3 dx + (x + y) dy + (x + y + z 2 ) dz
γ
come integrale curvilineo e mediante l’uso di un opportuno integrale superficiale.
Esercizio 32. Verificare il Teorema di Stokes per
F (x, y, z) = (y − z + 2, yz + 4, −xz)
e S la porzione della superficie cubica, frontiera di [0, 2] × [0, 2] × [0, 2],
contenuta fuori dal piano z = 0.
Esercizio 33. Verificare il Teorema della divergenza per
F (x, y, z) = (4x, −2y 2 , z 2 )
e S la frontiera del solido all’interno del cilindro di equazione x2 + y 2 = 4 e
tra i piani orizzontali z = 0 e z = 3.
6