statistica - statistics

Nome e Cognome (First and last name):
Politecnico di Torino - Ingegneria per l’autoveicolo
STATISTICA - STATISTICS
Prova scritta, 17 Febbraio 2009 - February 17th, 2009
L’esame è con libri e appunti. Descrivere la logica del vostro ragionamento negli spazi
bianchi e riportare la risposta nelle apposite caselle. Potete abbandonare l’esame senza
conseguenze, ma restituendo il testo, fino a mezz’ora prima della fine. La discussione e la
registrazione dell’esame avverrà oggi stesso.
This is an open-book and open-note exam. Describe the logical steps of your answer in
the blank spaces and write the final answer in the appropriate box. You may leave, by
returning the exam text, up to half an hour before the end of the written exam. Discussion
and registration of your exam will take place today.
Problem 1 (12 points)
In un processo di produzione, vengono prodotti delle viti la cui lunghezza è una variabile
aleatoria di distribuzione normale di media µ e varianza σ 2 . Vengono campionati 6 viti le
cui lunghezze misurate sono pari a (5.54, 5.50, 5.70, 5.54, 5.20, 4.90) (cm).
In a production process, screws are produced whose length is a random variable with normal
distribution of parameters µ and σ 2 . Six screws are sampled and their measured lengths
are equal to (5.54, 5.50, 5.70, 5.54, 5.20, 4.90) (cm).
1. Trovare una stima di µ.
Find an estimate of µ.
Risposta:
2. Trovare una stima di σ 2 .
Find an estimate of σ 2 .
Risposta:
1
3. Supponendo che i valori reali di µ e σ 2 siano uguali ai valori stimati al punto 1 e 2,
calcolare la probabilità che una vite, scelta a caso, abbia lunghezza inferiore a 5 cm.
Assume that the real values of µ and σ 2 are equal to the values estimated in point 1
and 2, compute the probability that a randomly selected screw has length smaller than
5 cm.
Risposta:
4. Sotto le stesse ipotesi del punto 3, calcolare la probabilità che due viti scelte a caso
abbiano entrambe lunghezza inferiore a 5 cm.
Under the same assumptions as in point 3, compute the probability that two randomly
selected screws have both length smaller than 5 cm.
Risposta:
2
Problem 2 (8 points)
summary(modello)
Call:
lm(formula = vendite ~ prezzo + promozione)
Residuals:
Min
1Q
-1680.96 -406.40
Median
53.45
3Q
297.48
Max
1342.43
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 5837.5208
628.1502
9.293 1.79e-10 ***
prezzo
-53.2173
6.8522 -7.766 9.20e-09 ***
promozione
3.6131
0.6852
5.273 9.82e-06 ***
--Signif. codes: 0 ’***’ 0.001 ’**’ 0.01 ’*’ 0.05 ’.’ 0.1 ’ ’ 1
Residual standard error: 638.1 on 31 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.7577,
Adjusted R-squared: 0.7421
F-statistic: 48.48 on 2 and 31 DF, p-value: 2.863e-10
Viene implementato in R un modello di regressione lineare che fornisce l’output di sopra.
A linear regression model has been implemented in R and has given the output above.
1. calcolare la migliore previsione che si possa fare sul valore di vendite corrispondente
ai valori prezzo = 59 e promozione = 200.
Compute the best prediction of vendite corresponding to values prezzo = 59 and
promozione = 200.
Risposta:
2. Dare una interpretazione concisa ma precisa del numero -53.2173. (Usare meno di
40 parole: la prolissità verrà penalizzata. Non basta dare solo una formula)
Give a precise but very concise interpretation of the number -53.2173. (Be very
brief:fewer than 40 words. It is not enough to write simply a formula).
3
Problem 3 (12 points)
Un pezzo metallico che ha forma approssimativamente di parallelepipedo con base quadrata
- chiamamiamolo torre - viene prodotto assemblando uno sopra l’altro tre pezzi prodotti da
tre fornitori diversi. I pezzi hanno altezze X1 , X2 , X3 che sono variabili casuali indipendenti
con valori attesi µ1 = 5 cm, µ2 = 3 cm e µ3 = 4 cm rispettivamente. Alle variabili sono
associate le rispettive incertezze σ1 = 0.03, σ2 = 0.01 e σ3 = 0.02 cm. L’altezza della torre
è H = X1 + X2 + X3 .
A manufactured piece of metal is approximately a prism with a square base: let’s call it
a tower. It is produced by stacking together on top of each other three pieces produced
by three different providers. The pieces have heights X1 , X2 , X3 which are independent
random variables with expectations µ1 = 5 cm, µ2 = 3 cm and µ3 = 4 cm respectively and
uncertainties σ1 = 0.03 cm, σ2 = 0.01 cm and σ3 = 0.02 cm respectively. The height of the
tower is then H = X1 + X2 + X3 .
1. calcolare il valore atteso di H.
calculate the expected value of H.
Risposta:
2. calcolare l’incertezza associata a H.
calculate the uncertainty associated to H.
Risposta:
3. supponiamo che il peso della torre sia 2H 3 grammi. Calcolate approssimativamente
il peso atteso e l’incertezza del peso.
suppose the weight of the tower is 2H 3 gram. Calculate the approximate expected
weight and the uncertainty associated with the weight.
Risposta:
4