Soluzione

Primo compitino di Fisica Generale 1 – a.a. 2003/2004
Ingegneria Meccanica
TESTO 1
Esercizio 1
A causa di uno scambio difettoso, due locomotive A e B si trovano a viaggiare sopra lo stesso binario,
una incontro all’altra, con due moduli delle velocità va = vb = v = 90 km/h. Quando le due locomotive
distano L = 511 m il guidatore di A si accorge del pericolo, aziona la sirena e contemporaneamente
aziona i freni: il moto della locomotiva A diviene uniformemente ritardato ed il modulo
dell’accelerazione è aA = 1.25 m/s2. Il guidatore di B, appena percepisce il suono della sirena, aziona i
freni e l’accelerazione della locomotiva B è costante con modulo aB.
(a) Qual è la distanza percorsa dalla locomotiva A prima di fermarsi ?
(b) Qual è la distanza percorsa dalla locomotiva B nell’intervallo di tempo che va dall’istante in cui il
guidatore della locomotiva A aziona la sirena e l’istante in cui il guidatore della locomotiva B ne
percepisce il suono ? (la velocità del suono nell’aria è pari a vs = 340 m/s)
(c) Quale deve essere il minimo valore di aB affinché le due locomotive non si scontrino ?
Soluzione:
Il moto delle due locomotive è di tipo rettilineo, quindi è possibile utilizzare come sistema di riferimento
l’asse x rappresentato in figura. Indicando con xA(t) e xB(t) le posizioni delle due locomotive e con to = 0
l’istante in cui il guidatore di A si accorge del pericolo, si ha che xB(to) - xA(to) = L = 511 m. Entrambe le
locomotive si muovono con decelerazione costante e quindi la legge oraria che ne descrive il moto può
essere ricavata dalla formula generale:
A
B
x
xA
L
xB
x(t) = xo + vo t + 1/2 a t2
(a) Nel caso della locomotiva A si ha che: xA(t) = xA(to) + v t –1.25 t2. Imponendo che la velocità di A
si annulli, ovvero che vA(t) = vo – 1.25 t = 0 m/s, si ricava il tempo necessario a raggiungere la
condizione di quiete, tA; xA(tA) rappresenta lo spazio percorso dalla locomotiva prima di fermarsi.
(b) Fino a quando il suono della sirena non raggiunge B, quest’ultima si muove di moto rettilineo
uniforme. Quindi il tempo necessario al suono per raggiungere B, tS, si ricava imponendo che xB(t)
= xB(to) – v t = xA(to) + vS t = xS(t). Lo spazio percorso da B risulta perciò pari a xB(to) - xB(tS).
(c) Dopo aver udito la sirena, B si muove di moto uniformemente decelerato; quindi il valore minimo
di aB si ricava imponendo che la locomotiva B si fermi in uno spazio pari a D = xB(tS) - xA(tA),
ovvero che la velocità di B sia nulla dopo che B ha percorso una distanza pari a D.
Esercizio 2
Un aereo in picchiata si muove con velocità costante di modulo v = 360 km/h mantenendo
un’inclinazione costante α = π/6 rad rispetto all’orizzontale. Quando l’aereo si trova ad un’altezza pari ad
H = 800 m dal suolo l’aereo sgancia una bomba; si indichi con A la proiezione al suolo dell’aereo
calcolata in questo istante. Chiamando C il punto in cui la bomba raggiunge il suolo,
(a) calcolare il tempo impiegato dalla bomba a raggiungere il suolo;
(b) determinare quale sia la distanza tra il punto A ed il punto C;
(c) calcolare l’angolo (misurato rispetto alla direzione verticale) con cui la bomba raggiunge il suolo.
Soluzione:
Il moto della bomba può essere descritto
utilizzando il sistema di riferimento
rappresentato in figura: l’asse x parallelo al
suolo e l’asse y diretto verso l’alto.
All’istante iniziale, to = 0, la bomba viene
lanciata con una velocità pari a v = 100 m/s;
i moduli delle componenti della velocità
lungo gli assi x ed y, vx e vy, sono perciò pari
a vx = v cos(α) e vy = v sin(α). Se si fissa
l’origine del sistema di riferimento in
corrispondenza del punto A, le leggi orarie
del moto risultano:
x(t) = xo + vx t = vx t e
y(t) = yo – vy t –
2
2
1/2 g t = H – vy t – 1/2 g t
(a) Il tempo impegato dalla bomba a
raggiungere il suolo, tC, si calcola
imponendo y(tC) = 0.
(b) La distanza tra il punto A ed il punto C è pari a x(tC).
(c) L’angolo β rappresenta l’angolo tra il vettore velocità, v1, della bomba (tangente alla traiettoria)
valutato in C, un istante prima che il corpo tocchi il suolo, e la verticale. Una volta note le
componenti di v1, v1x e v1y, si ha che tan(β) = v1x / v1y. Lungo l’asse x il moto della bomba è di tipo
rettilineo uniforme, quindi v1x = vx. Lungo l’asse y si ha che vy(t) = -vy-g t, quindi v1y = vy(tC).
Esercizio 3
Data la seguente relazione (ove E rappresenta un’energia, m una massa e v una velocità)
E = 1/2 m v2
(a) calcolare le dimensioni di E
(b) determinare l’unità di misura di E nel S.I.
(c) determinare l’unità di misura di E nel sistema c.g.s.
Soluzione:
(a) [E] = [m] [v]2 = [M] [L]2 [T]-2
(b) [E]S.I. = kg m2 s-2
(c) [E]c.g.s. = g cm2 s-2