La parabola

La parabola
La parabola è una conica ed è anche il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti
da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice che non lo contiene.
N.B. Il fuoco e la direttrice non appartengono al luogo geometrico
Parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate
Equazione canonica
y
Vertice
P(x,y)
Asse di
simmetria
Fuoco
Fuoco
Asse di simmetria
x
Vertice
Direttrice
Direttrice
H
a>0
y = ax 2 + bx + c
 b 4ac − b 2 
V ≡ −
,

4a 
 2a
 b 4ac − b 2 + 1
,
F ≡ −

4a
 2a

b
x=−
2a
4ac − b 2 − 1
y=
4a
Casi particolari
a<0
y = ax2 + bx
c=0
y = ax2
b=c=0
y = ax2 + c
b=0
Tangenti alla parabola uscenti da un punto P( x0 , y0 )
1) Se il punto P(x0 , y0 ) appartiene alla parabola y = ax2 + bx + c allora in P esistono due tangenti
coincidenti (oppure una tangente doppia) e il coefficiente angolare si calcola con la seguente formula:
m = 2ax0 + b
Esempio:
y = x2 - 5x
Dati:
P(1, -4)
coefficiente della tangente
(retta che passa per un punto e
con un certo coefficiente angolare)
m = 2ax0 + b = 2 * 1*1 - 5 = -3
equazione della tangente:
y = -3 x - 1
y + 4 = -3 * (x - 1)
2) Se il punto P(x0 , y0 ) non appartiene alla parabola y = ax2 + bx + c, ma è esterno ad esse, allora in P
esistono due tangenti distinte e per la ricerca dei loro coefficienti angolari si deve applicare la condizione
di tangenza tra il fascio di rette per P e la parabola:
Esempio:
y = x2 - 6x + 5
Dati:
P(0, -5)
(fascio di rette che passa per P)
y + 5 = m * (x)
(intersezione tra la parabola e il fascio)
 y = x 2 − 6x + 5

 y = mx − 5
x2 - 6x + 5 = mx - 5
x2 - (m + 6)x + 10 = 0
Condizione di tangenza
∆=0
(m + 6)2 - 4 * 1 * 10 = 0
m = -6 ± 2√10
equazioni delle tangenti:
y = (-6 ± 2√10) x - 5
3) Se il punto P(x0 , y0 ) non appartiene alla parabola y = ax2 + bx + c, ma è interno ad esse, allora in P non
esistono tangenti, ma solo secanti.
Ricerca dell’equazione della parabola
La curva y = ax2 + bx + c dipende dai tre parametri a, b, c, quindi è necessario impostare un sistema in tre
equazioni nelle tre incognite a, b, c. Osserva lo schema:
La parabola deve soddisfare le condizioni:
Passa per tre punti A, B, C dati;
Sono dati il vertice V e la direttrice;
Sono dati il fuoco F e il vertice V;
E’ dato il vertice V e passa per un punto P;
Allora si pone:
• Si applica la condizione di appartenenza di A, B, C
alla curva.
• Si mettono a sistema le equazioni dell’ascissa e
dell’ordinata del vertice uguagliate al loro valore e
l’equazione della direttice uguagliata al suo valore.
• Si mettono a sistema le equazioni dell’ascissa del
vertice e della direttice uguagliate al loro valore e la
condizione di appartenenza del vertice (come punto)
alla curva.
• Si mettono a sistema le equazioni dell’ascissa e
dell’ordinata del vertice e dell’ordinata del fuoco
uguagliate al loro valore.
• Si mettono a sistema le equazioni dell’ascissa del
vertice e dell’ordinata del fuoco uguagliate al loro
valore e la condizione di appartenenza del vertice
(come punto) alla curva.
• Si mettono a sistema le equazioni dell’ascissa e
dell’ordinata del vertice uguagliate al loro valore e la
condizione di appartenenza del punto alla curva.
• Si mettono a sistema l’equazione dell’ascissa del
vertice uguagliata al suo valore e le condizioni di
appartenenza del vertice e del punto alla curva.
• Si applica la condizione di appartenenza alla curva di
V, P e di P’, dove P’(-b/a, c) è il simmetrico di P
rispetto all’asse di simmetria.
Sono dati il fuoco F e la direttrice;
È data l’equazione della retta tangente e le <condizione1>
e <condizione2>.
(N.B. la conoscenza dell’equazione della tangente vale per
una condizione)
È data l’equazione della retta tangente e le coordinate del
punto di contatto P(...,...) inoltre è data la <condizione1>.
(N.B. la conoscenza dell’equazione della tangente vale per
una condizione e quella delle coordinate del punto di
contatto per un’altra condizione)
• Si applica la definizione della curva come luogo
geometrico.
• Si mettono a sistema le equazioni dell’ascissa e
dell’ordinata del fuoco uguagliate al loro valore e
l’equazione della direttice uguagliata al suo valore.
• Prima di impostare il sistema risolvente, si mette a
sistema l’equazione data della tangente con l’equazione
generica della curva e si impone la condizione di
tangenza (nell’equazione parametrica di secondo
grado): questa condizione è l’equazione da usare nel
sistema risolvente insieme alle <condizione1> e
<condizione2>.
• La condizione di tangenza, da usare nel sistema
risolvente, varia rispetto alla precedente perchè si può
usare la formula m = 2ax0 + b, insieme alla
condizione di appartenenza di P(...,...) alla curva e alla
<condizione1>.